在电子结构计算领域, Kohn-Sham方程是最为广泛使用的数学模型之一. 然而, 由于现有的交换关联能近似仍存在缺陷, Kohn-Sham方程无法较好地描述强关联多电子体系. 近年来, 有学者从密度泛函理论的强相关极限出发, 提出了严格关联电子能量的优化模型. 该模型有望弥补Kohn-Sham方程的缺陷, 从而拓宽密度泛函理论的应用面. 由于在该模型中存在维数灾难, 近年来, 它的一些低维转化模型陆续被提出. 在本文中, 我们将介绍严格关联电子能量的优化模型、它的研究重点以及现有的一些低维转化模型. 我们也将介绍这些转化模型的数值求解方法, 并探讨未来的研究方向.

针对带非线性源项的变系数双侧空间回火分数阶对流-扩散方程, 采用隐式中点法离散一阶时间偏导数, 中心差商公式离散对流项, 用二阶回火加权移位差分算子逼近左、右 Riemann-Liouville 空间回火分数阶偏导数, 构造了一类新的数值格式. 证明了数值方法的稳定性和收敛性, 且方法在时间和空间均为二阶收敛. 数值试验验证了数值方法的理论分析结果.

构造一维粘弹性波动方程的H$^1$-Galerkin时空有限元分裂格式. 这种新的分裂格式在时空两个方向同时利用有限元离散, 具有H$^1$-Galerkin 混合有限元方法和时空有限元方法的优点, 如在不受LBB 相容性条件限制的同时能够高精度逼近流体的压力和达西速度, 有限元空间可以利用不同次数的多项式空间, 能同时得到时间和空间两个变量的形式高阶精度等. 通过构造时空投影算子并讨论其相关逼近性质, 证明了解的存在唯一性和稳定性, 给出混合时空有限元解的误差估计, 给出数值算例验证了理论推导结果的合理性和算法的有效性,并和传统H$^1$-Galerkin方法做比较,得到了更小的误差和超收敛阶.

拟牛顿法是求解非线性方程组的一类有效方法. 相较于经典的牛顿法, 拟牛顿法不需要计算 Jacobian 矩阵且仍具有超线性收敛性. 本文基于 BFGS 和 DFP 的迭代公式, 构造了新的充分下降方向. 将该搜索方向和投影技术相结合, 本文提出了无导数低存储的投影算法求解带凸约束的非线性单调方程组并证明了该算法是全局且 $R$-线性收敛的. 最后, 将该算法用于求解压缩感知问题. 实验结果表明, 本文所提出的算法具有良好的计算效率和稳定性.

本文研究一个分数阶生长-抑制线性系统模型及其参数反问题.首先利用Laplace逆变换得到正问题解的唯一存在性.其次, 考虑一个利用内点观测数据确定微分阶数与衰减率的反问题, 应用极值原理在Laplace像空间中证明反演的唯一性.最后, 基于正问题的有限差分解, 应用同伦正则化算法进行数值反演.计算结果表明算法的收敛性及反问题的数值稳定性.

线性最小二乘问题是科学计算与工程领域普遍存在的问题, 有着广泛的应用背景. 本文提出了两个新的贪婪随机坐标下降算法来求解大规模的线性最小二乘问题. 理论上分析了算法的收敛性. 数值实验结果进一步表明了算法的可行性和有效性.

潜在空间模型是网络数据统计建模和可视化的有效工具. 随着网络规模的不断扩大, 潜在空间模型的计算也面临着巨大挑战. 在本文我们应用对偶半邻近交替方向乘子法(dual semi-proximal Alternating Direction Method of Multipliers, 简称dsADMM)求解大型网络的通用潜在空间模型拟合问题. 并在一些温和的条件下分析了该算法的全局收敛性. 数值试验验证了该算法的有效性.

本文提出了求解二阶锥绝对值方程组 (SOCAVE) 的非单调光滑牛顿算法. 在适当的条件下分析了算法的全局收敛性和局部二次收敛性. 数值结果表明用非单调光滑牛顿算法求解 SOCAVE 是可行且高效的.