本文从计算数学的视角, 介绍周毓麟先生在离散泛函分析方法和大型科学计算方法等领域的研究工作.

通过在空间方向上使用双线性元和最低阶的 Nedeléc 元 (即Q₁₁ + Q₀₁ × Q₁₀)以及在时间方向上使用二阶精度的数值逼近格式, 得到了在矩形网格上二阶双曲方程全离散混合元格式下的对原始变量的L^∞(H¹) 和流量的L^∞((L²)²)的超逼近和超收敛的误差结果. 在分析过程中, 巧妙地使用了上述混合单元对在矩形网格上的特有的高精度积分恒等式和精确解的投影和插值之间的在H¹范数意义下的超逼近的估计. 最后, 给出一些数值结果来验证理论分析的正确性.

本文针对带非线性源项的 Riesz 回火分数阶扩散方程, 利用预估校正方法离散时间偏导数, 并用修正的二阶 Lubich 回火差分算子逼近 Riesz 空间回火的分数阶偏导数, 构造出一类新的数值格式. 给出了数值格式在一定条件下的稳定性与收敛性分析, 且该格式的时间与空间收敛阶均为二阶. 数值试验表明数值方法是有效的.

本文主要研究高维带弱奇异核的发展型方程的交替方向隐式 (ADI) 差分方法. 向后欧拉 (Euler) 方法联立一阶卷积求积公式处理时间方向的离散, 有限差分方法处理空间方向的离散, 并进一步构造了 ADI 全离散差分格式. 然后将二维问题延伸到三维问题, 构造三维空间问题的 ADI 差分格式. 基于离散能量法, 详细证明了全离散格式的稳定性和误差分析. 随后给出了 2 个数值算例, 数值结果进一步验证了时间方向的收敛阶为一阶, 空间方向的收敛阶为二阶, 和理论分析结果一致.

本文研究了一类新的模型问题: 非线性随机分数阶延迟积分微分方程. 当方程中的漂移项和扩散项满足全局 Lipschitz 条件和线性增长条件时, 基于压缩映射原理给出了该方程解存在唯一的充分条件. 由于理论求解的困难, 构造了一种数值方法(Euler-Maruyama 方法), 并证得强收敛阶为α-1/2,α∈ (2/1, 1]. 最后通过数值试验, 验证了这一理论结果.

本文研究理想晶体发生位错时如何发生形变, 应用本地化拟连续方法(QCL)、基于能量的拟连续方法(Q CE)、 非本地化拟连续方法(QNL), 分析了多体作用下Frenkel-Kontorova模型在一维情形中先验误差分析, 推导了该误差估计与原子模型解的光滑性的关系, 并且由于考虑的是一维原子链, 该误差还具备超收敛性.本文将一致性误差分析分解为模型误差和粗粒化误差, 并推导出基于负范数的误差估计, 稳定性分析将均匀应变扩充为非线性应变.最后利用数值实验说明了本文的分析结果.

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AX=B在任意线性子空间上的最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AX=B的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.

本文基于现有的切比雪夫神经网络, 提出了一种利用遗传算法优化切比雪夫神经网络求解分数阶 Bagley-Torvik 方程数值解的新方法, 结合多点处的泰勒公式原理, 给出数值解的一般形式, 将原问题转化为求解无约束最小化问题. 与现有数值方法的数值结果进行比较表明了本文方法的可行性和有效性, 为分数阶微分方程中类似问题的求解提供了新的思路.

本文考虑全离散插值系数有限元方法求解半线性抛物最优控制问题, 其中控制变量用分片常数函数逼近, 状态变量和对偶状态变量用分片线性函数逼近. 对于方程中的半线性项, 先用插值系数技巧处理, 再用牛顿迭代法求解. 通过引入一些辅助变量和投影算子, 并利用有限元空间的逼近性质, 得到半线性抛物最优控制问题插值系数有限元方法的收敛性结果；数值算例结果验证了理论结果的正确性.