线性子空间上求解AX=B的最小二乘问题的迭代算法

doi:10.12286/jssx.j2021-0834

计算数学 ›› 2023, Vol. 45 ›› Issue (1): 93-108.DOI: 10.12286/jssx.j2021-0834

线性子空间上求解AX=B的最小二乘问题的迭代算法

周海林

南京理工大学泰州科技学院, 泰州 225300

收稿日期:2021-07-07 出版日期:2023-02-14 发布日期:2023-02-13
基金资助:
江苏高校“青蓝工程”(2020)资助项目.

PDF ( 87 ) 引用

周海林. 线性子空间上求解AX=B的最小二乘问题的迭代算法[J]. 计算数学, 2023, 45(1): 93-108.

Zhou Hailin. AN ITERATIVE ALGORITHM TO THE LEAST SQUARES PROBLEM OF AX=B OVER LINEAR SUBSPACE[J]. Mathematica Numerica Sinica, 2023, 45(1): 93-108.

AN ITERATIVE ALGORITHM TO THE LEAST SQUARES PROBLEM OF AX=B OVER LINEAR SUBSPACE

Zhou Hailin

Taizhou Institute of Sci. & Tech., NJUST., Taizhou 225300, China

Received:2021-07-07 Online:2023-02-14 Published:2023-02-13
Supported by:
The project was supported by the National Key Research and Development Program of China (2019YFC1905301);National Natural Science Foundation of China (22078115,21776108,21690083,22008078).

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AX=B在任意线性子空间上的最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AX=B的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.

关键词： 线性子空间, 共轭梯度, 投影算子, 最小二乘解, 最佳逼近

Applying the conjugate gradient method and linear projection operator, an iterative algorithm is presented to solve the least squares problem of linear matrix equation AX = B over any linear subspace. It is proved that the least squares solution, the minimum-norm least squares solution and the optimal approximation of the matrix equation AX = B can be obtained in finite iteration steps by the method without considering rounding errors. The numerical examples verify the efficiency of the algorithm.

Key words: linear subspace, conjugate gradient, projection operator, least squares solution, optimal approximation

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[1] Bjerhammer A. Rectangular reciprocal matrices, with special reference to geodetic calculations[J]. Bull. Geodesique, 1951, 20:188-220.
[2] 张磊. 对称非负定矩阵反问题解存在的条件[J]. 计算数学, 1989, 11(4):337-343.
[3] Chu K E. Symmetric solutions for linear matrix equations by matrix decompositions[J]. Linear Algebra App1., 1989, 119:35-55.
[4] Dai H. On the symmetric solutions of linear matrix equations[J]. Linear Algebra Appl., 1990, 131:1-7.
[5] 廖安平. 线性流形上矩阵方程AX=B的一类反问题及数值解法[J]. 计算数学, 1998, 20(4):371-376.
[6] 谢冬秀, 张磊胡锡炎. 一类双对称矩阵反问题的最小二乘解[J]. 计算数学, 2000, 22(1):29-40.
[7] 周富照, 胡锡炎, 张磊. 线性流形上中心对称矩阵的最佳逼近[J]. 高等学校计算数学学报, 2002, 24(3):265-272.
[8] 袁永新, 戴华. 子空间上的一类矩阵反问题[J]. 高等学校计算数学学报, 2005, 2005, 27(1):69-77.
[9] Peng J, Hu X Y, Zhang L. The (M, N)-symmetric Procrustes problem[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 198(1):24-34.
[10] 向金娟. 一类中心对称矩阵最小二乘解及其最佳逼近问题[D].长沙:湖南大学, 2010.
[11] 彭亚新. 求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究[D]. 长沙:湖南大学,2004.
[12] 李姣芬. 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法[D].长沙:湖南大学,2010.
[13] Jiang B, Tian Y G. Rank/inertia approaches to weighted least-squares solutions of linear matrix equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2017, 315(15):400-413.
[14] 李涛, 周学林, 李姣芬. 半张量积下矩阵方程组AX=B, XC=D的最小二乘解[J]. 数学杂志,2018, 38(3):525-538.
[15] Wang H X. Least squares solutions to the rank-constrained matrix approximation problem in the Frobenius norm[J]. Calcolo, 2019, 56(47):1-18.
[16] 戴华. 对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件[J]. 高等学校计算数学学报, 2002, 24(2):169-178;
[17] Zhou F Z, Zhang L, Hu X Y. Least-square solutions for inverse problems of centrosymmetric matrices[J]. Comput. Math. Appl., 2003, 45(10):1581-1589.
[18] Roger A Horn, Vladimir V Sergeichuk, Naomi Shaked-monderer. Soution of linear matrix equations in a congruence class[J]. Electron. J. Linear Algebra, 2005, 13:153-156.
[19] Zhang Z Z, Liu C R. Least-Squares Solutions of the Equation AX=B Over Anti-Hermitian Generalized Hamiltonian Matrices[J]. Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities(English Series), 2006, 15(1):60-66.
[20] Liu Z Y, Tian Z L, Tan Y X. Computing the least-square solutions for centrohermitian matrix problems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2006, 174(1):566-577.
[21] 王明辉, 魏木生, 姜同松. 子矩阵约束下矩阵方程AXB=E的极小范数最小二乘对称解[J]. 计算数学, 2007, 29(2):147-154.
[22] 景何仿, 尤传华, 李春光, 司书红. 反对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解[J]. 兰州大学学报(自然科学版), 2007, 43(5):125-129.
[23] Yuan Y X, Dai H. The nearness problems for symmetric matrix with a submatrix constraint[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 213(1):224-231.
[24] Li F Y, Peng J J, Peng Z Y. The least squares stochastic solutions of the matrix equation AX=B[J]. Journal of Algebra, Number Theory:Advances and Applications, 2012, 8(1-2):19-39.
[25] 周富照, 邹阳芳. 子矩阵约束下矩阵方程$AX=B$的正交投影迭代解法[J]. 高等学校计算数学学报, 2015, 37(4):337-347.
[26] Iveta Hnětynková, Martin Plesinger, Jana záková. Solvability classes for core problems in matrix total least squares minimization[J]. Applications of Mathematics, 2019, 64:103-128.
[27] 张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京:清华大学出版社, 2011, 271-278.

[1]	孔令畅, 魏科洋, 周学林, 李姣芬. 广义特征值极小扰动问题的一类黎曼共轭梯度法[J]. 计算数学, 2022, 44(4): 508-533.
[2]	郭洁, 万中. 求解大规模极大极小问题的光滑化三项共轭梯度算法[J]. 计算数学, 2022, 44(3): 324-338.
[3]	刘金魁, 孙悦, 赵永祥. 凸约束伪单调方程组的无导数投影算法[J]. 计算数学, 2021, 43(3): 388-400.
[4]	李姣芬, 秦树娟, 张丽, 候文婷. 多元统计分析中一类矩阵迹函数最小化问题的有效算法[J]. 计算数学, 2021, 43(1): 70-86.
[5]	冯艳昭, 张澜. 子空间约束下矩阵方程A^TXB+B^TX^TA=D的解及最佳逼近[J]. 计算数学, 2020, 42(2): 246-256.
[6]	吴敏华, 李郴良. 求解带Toeplitz矩阵的线性互补问题的一类预处理模系矩阵分裂迭代法[J]. 计算数学, 2020, 42(2): 223-236.
[7]	周海林. 线性子空间上求解矩阵方程组A₁XB₁=C₁,A₂XB₂=C₂的迭代算法[J]. 计算数学, 2017, 39(2): 213-228.
[8]	刘金魁. 解凸约束非线性单调方程组的无导数谱PRP投影算法[J]. 计算数学, 2016, 38(2): 113-124.
[9]	简金宝, 尹江华, 江羡珍. 一个充分下降的有效共轭梯度法[J]. 计算数学, 2015, 37(4): 415-424.
[10]	周海林. 矩阵方程AXB+CYD=E的M对称解的迭代算法[J]. 计算数学, 2015, 37(2): 186-198.
[11]	刘群锋, 曾金平, 张忠志, 程万友. 基于混合非单调下降条件的直接搜索方法[J]. 计算数学, 2015, 37(2): 213-224.
[12]	李姣芬, 张晓宁, 彭振, 彭靖静. 基于交替投影算法求解单变量线性约束矩阵方程问题[J]. 计算数学, 2014, 36(2): 143-162.
[13]	张凯院, 牛婷婷, 聂玉峰. 一类非线性矩阵方程对称解的双迭代算法[J]. 计算数学, 2014, 36(1): 75-84.
[14]	刘金魁. 两种有效的非线性共轭梯度算法[J]. 计算数学, 2013, 35(3): 286-296.
[15]	潘克家, 胡宏伶, 陈传淼, 汤井田. 外推瀑布式多网格法的OpenMP并行化[J]. 计算数学, 2012, 34(4): 425-436.

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