Parareal 算法是一种非常有效的实时并行计算方法. 与传统的并行计算方法相比,该算法的显著特点是它的时间并行性 | 先将整个计算时间划分成若干个子区间,然后在每个子区间内同时进行计算. Parareal算法收敛速度快, 并行效率高, 且易于编程实现, 从 2001 年由 Lions,Maday 和 Turinici等人首次提出至今, 在短短的几年间得到了广泛的研究和应用. 最近, Parareal 算法在随机微分方程数值解中的应用也得到了一些学者的关注. 本文中, 我们研究 Parareal算法在随机微分方程数值解中的均方稳定性, 分析保持算法稳定的充分性条件. 通过分析, 我们得到了如下结论: a)Parareal 算法在有限时间区间内是超线性收敛的; b)在无限时间区间内, 该算法是线性收敛的. 最后, 通过数值试验, 我们验证了本文中的理论结果.
给出一种带有参数的有理三次三角Hermite插值样条, 具有标准三次Hermite插值样条相似的性质. 利用参数的不同取值不但可以调控插值曲线的形状, 而且比标准三次Hermite插值样条更好地逼近被插曲线. 此外, 选择合适的控制点, 该种插值样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线.
本文对Darcy-Stokes问题提出了一种统一的稳定化有限体积法.在离散问题中, 采用两种剖分, 一种为三角形剖分, 一种为其对偶四边形剖分. 速度及压力分别采用非协调线性元及分片常数元来做逼近. 经证明, 文中的统一格式, 具有稳定性及最优误差估计. 最后用数值算例验证了本文的理论结果.
多层快速多极子方法(MLFMM)可用来加速迭代求解由Maxwell方程组 或Helmholtz方程导出的积分方程,其复杂度理论上是O(Nlog N), N为未知量个数. MLFMM依赖于快速计算每层的转移项, 以及上聚和下推过程中的层间插值.本文引入计算类似N体问题的一维快速多极 子方法(FMM1D).基于FMM1D的快速Lagrange插值算法可将转移项的计算复杂度由O(N1.5)降低到O(N).运用FMM1D与FFT混合的快速谱插值算法可将层间插值的计算复杂度由O(K2)降低到O(Klog L), K为插值取样点数.数值结果显示了基于这两种快速插值的MLFMM具有近似线性的时间复杂度.
构造正交滤波器组, 在多相域里就等价于构造仿酉矩阵, 而仿酉矩阵的构造涉及到非线性方程组的求解.通过对Cayley变换的研究, 把仿酉矩阵的构造转换为更易构造的仿斜厄米特矩阵, 基于这种变换构造了二元紧支撑正交小波滤波器组, 并给出了算例.
基于仿酉矩阵扩充方法, 本文构造了一维d带紧支撑的最小能量框架,给出了一维d带紧支撑最小能量框架的显式构造算法.所构造的最小能量框架的支撑不超过尺度函数的支撑.当所给的尺度函数具有对称性时, 研究了紧支撑对称最小能量框架的结构.最后, 构造了两个算例.
本文对耗散对称正则长波方程的初边值问题进行了数值研究, 提出了一个两层隐式Crank-Nicolson差分格式, 讨论了差分解的存在唯一性, 并利用能量方法分析了该格式的二阶收敛性与稳定性, 数值算例表明本文的格式是可靠的.
时滞均值回复θ过程用于描述受时间延迟影响的利率、波动率等金融特征,本文利用随机时滞微分方程理论证明了过程在1/2≤θ<1 情况时解的存在唯一性和非负性.由于表示该过程的随机时滞微分方程没有显示解,所以数值近似解是研究过程的重要的方法,本文证明了时滞均值回复θ过程Euler-Maruyama 数值解的p(p≥2)阶矩意义上的强收敛性.
本文指出了频域划分和拓扑群之间的联系,给出了构造 shearlet 框架的一般方法, 并具体地构造出了一个衰减性良好的shearlet 函数. 在数值计算方面,本文提出了框架系数的计算方法和基于此方法的图像重构算法.最后的数值实验说明本文构造的 shearlet 在图像重构方面表现良好.
本文研究非定常Stokes方程的有限体积元方法,给出一种基于两个局部高斯积分的稳定化全离散格式,并给其有限体积元解的误差分析.
