计算数学

汤华中

2021, 43(4): 413-425. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0798

摘要 ( 350 )

PDF (435KB) ( 424 )

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本文讨论双曲型守恒律方程的熵稳定格式.对于给定的熵对，格式所满足的熵条件中的数值熵通量是不唯一的.Tadmor的充分条件可以唯一地确定标量方程的熵守恒通量，但不能唯一确定方程组的熵守恒通量，却可以给出方程组的空间一阶精度的熵守恒格式.也讨论了在熵守恒通量上添加数值粘性得到的显式熵稳定格式需要满足的条件及常见的时间离散对熵守恒和熵稳定的影响.

非线性弱奇性Volterra积分方程的谱配置法

古振东

2021, 43(4): 426-443. DOI: 10.12286/jssx.j2019-0642

摘要 ( 200 )

PDF (357KB) ( 320 )

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基于已有文献的研究成果及前期工作，我们考察了非线性弱奇性Volterra积分方程（VIE）的谱配置法，并对该方法进行了收敛性分析.得到的结论是数值误差呈谱收敛.误差收敛阶与配置点个数及方程解的正则性相关.数值实验也证实了这一结论.本文的方法解决了已有文献中类似数值方法（Allaei（2016），Sohrabi（2017））存在的问题.

一类特征值反问题(IEP)的基于矩阵方程的Ulm型算法

王艺宏, 李耀堂

2021, 43(4): 444-456. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0662

摘要 ( 179 )

PDF (360KB) ( 230 )

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应用求解算子方程的Ulm方法构造了求解一类矩阵特征值反问题（IEP）的新算法.所给算法避免了文献[Aishima K.，A quadratically convergent algorithm based on matrix equations for inverse eigenvalue problems，Linear Algebra and its Applications，2018，542：310-33]中算法在每次迭代中要求解一个线性方程组的不足，证明了在给定谱数据互不相同的条件下所给算法具有根收敛意义下的二次收敛性.数值实验表明本文所给算法在矩阵阶数较大时计算效果优于上文所给算法.

四阶不完全对称张量M-特征值的新包含域及应用

何军, 刘衍民, 许光俊

2021, 43(4): 457-470. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0667

摘要 ( 206 )

PDF (484KB) ( 162 )

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四阶不完全对称张量的M-特征值在非线性弹性材料分析中有着广泛的应用.本文的目的是给出四阶不完全对称张量M-特征值的新包含域，得到最大M-特征值上界更精确的估计，并将得到的上界估计值应用到计算最大M-特征值的WQZ算法中，数值例子验证了结果的有效性.最后，基于得到的包含域，给出了四阶不完全对称张量正定性判定的充分条件.

逆奇异值问题的一个二阶收敛算法

魏水艳, 陈小山

2021, 43(4): 471-483. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0678

摘要 ( 197 )

PDF (355KB) ( 125 )

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设$n+1$个$m\times n（m\geq n）$实矩阵$\{A_i\}_{i=0}^n$和给定的$n$个正数$\{\sigma_i^{*}\}_{i=1}^n$.本文研究如下的逆奇异值问题：求$n$个实数$\{c_i^{*}\}_{i=1}^n$，使得矩阵$A_0+c_1^{*}A_1+\cdots +c_n^{*}A_n$有奇异值$\{\sigma_i^*\}_{i=1}^n.$基于矩阵方程，我们给出了求解逆奇异值问题的一个新的算法，并证明了它的二阶收敛特性.该算法可以看成是Aishima[Linear Algebra and its Applications，2018，542：310-333]中逆对称特征值问题算法的推广.数值例子表明算法的有效性.

信赖域方法在Hölderian局部误差界下的收敛性质

马积瑞, 范金燕

2021, 43(4): 484-492. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0692

摘要 ( 181 )

PDF (293KB) ( 230 )

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信赖域方法是求解非线性方程组的一种重要方法.本文研究了求解非线性方程组的信赖域半径趋于零的信赖域算法在Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的全局收敛性质，以及其在Hölderian局部误差界和Jacobi矩阵Hölderian连续条件下的收敛速度.

分布阶扩散—波动方程的有限元解的误差估计

高兴华, 李宏, 刘洋

2021, 43(4): 493-505. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0701

摘要 ( 220 )

PDF (570KB) ( 263 )

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本文考虑了分布阶时间分数阶扩散波动方程，其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的，其阶次$\alpha，\beta$分别属于（0，1）和（1，2）.文中提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟分布阶时间分数阶扩散波动方程.在时间上，通过中点求积公式把分布阶项转换为多项的时间分数阶导数项，并且利用$L1$和$L2$公式来近似Caputo分数阶导数；空间上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于$H^1$范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明，最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.

椭圆最优控制问题分裂正定混合有限元方法的超收敛性分析

唐跃龙, 华玉春

2021, 43(4): 506-515. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0703

摘要 ( 161 )

PDF (335KB) ( 154 )

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首先利用变分原理和最优化理论得到了原问题的等价最优性条件；其次构造了椭圆最优控制问题分裂正定混合有限元方法的逼近格式；再次通过引入一些重要的中间变量和投影算子，并利用投影算子的相关性质，结合分裂正定混合有限元本身的逼近结果，得到了椭圆最优控制问题分裂正定混合有限元方法的超收敛性；最后数值实验结果验证了所得理论结果的正确性.

低秩稀疏矩阵恢复的快速非单调交替极小化方法

孙青青, 王川龙

2021, 43(4): 516-528. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0712

摘要 ( 253 )

PDF (513KB) ( 255 )

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针对低秩稀疏矩阵恢复问题的一个非凸优化模型，本文提出了一种快速非单调交替极小化方法.主要思想是对低秩矩阵部分采用交替极小化方法，对稀疏矩阵部分采用非单调线搜索技术来分别进行迭代更新.非单调线搜索技术是将单步下降放宽为多步下降，从而提高了计算效率.文中还给出了新算法的收敛性分析.最后，通过数值实验的比较表明，矩阵恢复的非单调交替极小化方法比原单调类方法更有效.

非线性特征值问题平移对称幂法的收敛率估计

唐耀宗, 杨庆之

2021, 43(4): 529-538. DOI: 10.12286/jssx.j2020-0713

摘要 ( 255 )

PDF (363KB) ( 175 )

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平移对称幂法（SS-HOPM）在求解源自玻色-爱因斯坦凝聚态的非线性特征值问题时，不仅具有较高的计算效率，而且具有点列收敛性，但其收敛率尚未得到有效估计.本文通过将多项式Kurdyka-Łojasiewicz（K-Ł）指数界的相关结果应用到所涉及优化问题的Lagrange函数上，得到了平移对称幂法的次线性收敛率估计，从理论上解释了平移对称幂法的计算效率.

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