本文考虑了基本初等函数的高精度快速算法问题. 首先讨论与Bernoulli 数B_2n或Euler数E_2n相关的基本初等函数(如tanx、secx、tanhx等)的幂级数展开问题, 并给出相应的幂级数展开式的快速算法. 然后,对于基本初等函数、双曲函数和反双曲函数, 在复数域上给出基于幂级数展开的任意精度的快速算法. 由于指数、对数函数可以用幂级数表示, 本文设计的算法适用于所有初等函数的计算. 算法的特点是编程简单、容易实现, 可以自成计算初等函数的体系.

本文对嵌套网格上水平集函数的符号函数进行插值, 利用插值误差建立运动界面流场的离散多分辨分析, 根据多分辨系数确定局部网格尺度和计算格式, 构造了一类多尺度水平集方法. 对于多分辨系数较大的运动界面附近区域, 采用高精度WENO格式进行时间推进, 其余区域则直接采用多项式插值. 与单一尺度的水平集方法相比, 该方法可以在较少的CPU计算时间内捕捉到更为精细、锐利的运动界面.

利用勒让德多项式逼近理论和高斯-洛巴托求积公式, 构造了一个4级4阶的隐式Runge-Kutta方法.理论分析发现, 该算法具有良好的稳定性-是A(α)稳定的且α接近于90°, 是刚性稳定的且D值接近于0, 几乎是A稳定的和L稳定的, 并能有效求解刚性常微分方程初值问题, 数值算例显示了该算法的有效性.

GaBP(Gaussian Belief Propagation)是一种解线性代数方程组的迭代算法, 它是基于递归更新的概率推理算法, 具有低复杂性和高并行性. MIC是英特尔的至强融核Xeon Phi的Many Integerated Core架构. 它提供数百个同时运行的硬件线程, 能充分满足对高并发度的大量需求. 本文研究了如何高效地求解大规模稀疏线性方程组的并行算法, 通过挖掘GaBP算法特性, 优化算法存储结构和加速迭代, 同时 给出了一种求解大规模稀疏对称线性方程组的基于MIC的GaBP并行算法; 并从美国Florida大学开发的稀疏矩阵库(UFget)中抽取了部分大规模对称稀疏矩阵作为算例进行测试, 计算结果表明, 在相同精度下,基于MIC的GaBP并行算法相对于GaBP算法具有更显著的高效率.

本文设计了任意维空间中具有线性复杂度的希尔伯特序编码解码算法并提出了希尔伯特 空间填充曲线的一种变体. 本文同时对编码解码算法进行了改进, 设计了复杂度更低的算法, 降低了计算量. 文中给出的希尔伯特空间填 充曲线的变体保证曲线的编码顺序不随曲线阶数的改变而变化.

非奇H-矩阵作为一类特殊矩阵, 在科学和工程计算中有着重要的应用. 本文利用迭代系数构造正对角阵, 给出了非奇H-矩阵的一组迭代判别法, 并证明了其充分必要性, 推广和改进了近期的一些结果. 数值算例也说明了该组迭代判别法的有效性.

本文给出了三种有限元的特征值方法求解三维Laplace算子特征值和边值问题的数值计算结果; 探索了已有的非协调元和协调元的一些理论性质; 猜测新的七个自由度三维NF₁元的数值规律. 数值实验表明: 七个自由度三维NF₁元和三维EQ₁^rot元特征值都下逼近准确特征值; 七个自由度三维NF₁元和三维EQ₁^rot元二网格离散方案 特征值都下逼近准确特征值; 七个自由度三维NF₁元外推特征值下逼近准确 特征值; 七个自由度三维NF₁元比三维EQ₁^rot元有较好的数值表现; 八节点等参数元特征值上逼近准确特征值.

将计算实矩阵的Moore-Penrose逆和Drazin逆转化为线性矩阵方程组的求解问题, 然后采用修正共轭梯度法求线性矩阵方程组的一般解,并通过简单的矩阵乘法运算或者直接得到实矩阵的Moore-Penrose逆和Drazin逆.修正共轭梯度法不同于通常的共轭梯度法, 它不要求涉及的线性代数方程组的系数矩阵正定、可逆或者列满秩, 因此总是可行的. 数值算例表明, 这种算法是有效的.

非奇异H-矩阵在数值线性代数的理论与应用中起着重要作用, 因此判定一个矩阵是否为非奇异H-矩阵有着非常重要的意义. 本文根据广义严格α-链对角占 优矩阵和广义严格α-对角占优矩阵的性质, 以及引入迭代因子, 给出了一组非奇异H-矩阵新的迭代判定条件. 这些判定条件推广和改进了相关已有结果, 丰富和完善了非奇异H-矩阵的理论, 数值算例说明了其有效性.

本文对hp自适应策略进行了研究, 在前人提出的几种基于误差下降预测的~hp 自适应策略的基础上给出了一个新的 hp 自适应加密策略. 该策略适用于二维三角形、四边形和三维四面体、六面体等不同类型的单元, 适用于正则加密、二分加密等不同自适应加密方式. 数值实验表明, 该策略可以达到最优的误差指数下降阶, 并在数值解的精度和计算效率上优于文献中的一些策略. 该部分工作已集成到自适应有限元计算框架 PHG 的 hp 自适应模块.

本文选取多项式、有理多项式以及三角函数等五类函数作为基函数, 设计相应的谱方法逼近格式并实现相应算法, 对任意三角形上Laplace特征值问题进行数值求解对比研究. 比较实验结果显示, 谱方法相较于经典有限差分、有限元等低阶方法有较多的可信特征值; 其中的 Koornwinder多项式谱方法与基于Koornwinder多项式的有理谱方法, 其可信特征值的数量达到全部计算特征值的4/(π²), 并且达到“ 指数阶收敛”; 而三角函数谱方法, 则保持了稳定的收敛阶且有较多的可信特征值.

本文给出了一个基于谱分割并行求解稀疏矩阵特征值的方案,将矩阵的特征值求解区间划分为多个独立的子区间,分别对各个子区间内的特征值进行独立的并行求解. 在该方案中,提出了一种通过盖尔圆信息估计矩阵特征值分布的方法,并结合二分法以及插值方法修正特征值的分布,提高估计的准确性,进行谱区间分割. 本文还结合谱分割和基于围道积分的近似谱投影算法设计出一个特征值问题多级并行算法,并在“深腾7000” 和 “元”超级计算机上验证了本文提出谱分割方案的有效性、均衡性以及特征值并行求解的高效性. 同通用求解方法相比,基于谱区间分割的并行算法在1024核上性能提高了5倍以上,并行求解的可扩展性显著提升.

本文设计了一个带三个台阶重构的熵格式, 并和带一个台阶的熵格式相结合计算一维Euler方程组.对四个经典的数值算例进行了数值计算, 并且与一阶Godunov格式以及二阶的ENO格式进行了数值比较, 数值结果表明, 本文的格式优于一阶的Godunov格式, 和二阶ENO格式相当.

本文给出了非负矩阵Perron根的一些新界值.设A为任意非负矩阵,ρ为其Perron根, f(A)为任意满足f(A)≥0的A的多项式,行和非零,则min(r_i(A·f(A))/r_i(f(A)))≤ρ≤r_i(A·f(A))/r_i(f(A))该结果推广了相关文献的结果,且可通过选择合适的多项式得到更精确的界值.

偏微分方程的并行求解,关键问题之一是网格划分,它不仅要求每个进程拥有相等的计算负载,同时要求有良好的划分质量,以减少进程间通信.在自适应有限元计算过程中,网格/基函数不断调整,会导致负载不平衡,必须动态地调整网格分布,从而实现动态负载平衡.本文研究了不同的负载平衡方法,并在并行自适应有限元平台PHG中实现.数值实验表明我们的动态负载平衡算法具有很高的划分质量,运行速度快,可有效划分网格并减少运行时间.

平面波方法已证明是实波数Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组的高效离散化方法,但是还鲜有工作研究复波数情形的平面波离散化方法.本文基于平面波间断Galerkin方法的思想,导出了离散复波数Helmholtz方程和时谐Maxwell方程组的平面波间断Petrov-Galerkin方法.数值结果表明由该方法得到的数值解具有高的精度.

本文针对代数多重网格(algebraic multigrid, AMG)并行实现中的稀疏矩阵-向量乘,建立了稀疏矩阵新的分布和数据存储模式,提出了一类具有最小通信量以及隐藏通信的新稀疏矩阵-向量乘并行算法,并实现了基于K-循环迭代的求解阶段并行算法.针对现代多核处理器,结合细粒度的并行编程模型,实现了MPI+OpenMP混合编程并行算法.通过同hypre软件包测试比较,在深腾7000集群上求解三维Laplace方程并行规模达到512核心时,并行求解阶段运行时间较hypre(high performance preconditioners)软件包提高了56%,在元集群上提高了39%,验证了算法的有效性.

H-张量在科学计算和工程应用中具有重要的作用,但在实际中要判定一给定张量为H-张量是不容易的.本文通过构造不同的正对角阵和运用不等式的放缩方法,给出了H-张量的一组实用性新判定方法.作为应用,给出了偶数阶实对称张量正定性判定的新条件.数值算例表明了结果的有效性.

分子束外延(molecular beam epitaxy,简称MBE)是一种在晶体基片上生长高质量的晶体薄膜的新技术,本文主要研究一维MBE方程线性部分的性质.首先,用分离变量法导出方程的理论解并证明了的解的存在性.其次,利用Fourier谱方法从数值上研究方程的解的性质,同时进行了稳定性、收敛性、误差分析.由于方程本身含有稳定项和非稳定项,且其中的未知参量决定了稳定项所占权重,故参量的大小影响着解的稳定性.数值分析结果显示,当参量较小时方程的解是不稳定的,随着时间增长,振幅最终会增大至无穷;而当参量较大时,方程的解是稳定的,随着时间增长,振幅最终趋于0.这与理论分析的结果也是一致的.

基于分裂场的完全匹配层(PML)吸收边界条件完成了对非物理反射波的吸收,初步实现了有限区域对无限开放空间的数值模拟,然而在计算区域的边界上需要对场分量进行分裂,增加了Maxwell方程组中独立方程的个数,使场分量迭代复杂,增大了数值计算量.单轴各向异性完全匹配层(UPML)边界条件则不需要对场分量进行分裂,迭代公式简单,便于程序实现,本文在常规UPML上增加了自由可变因子,使得对低频成分的反射波具有更好的吸收效果.本文首先推导了TMz波的改进型UPML方程组,给出了改进型UPML的介电参数分布方式,详细介绍了该算法的程序实现步骤,并以数值算例进行验证,分别采用基于分裂场的PML、常规UPML和改进型UPML边界条件进行数值计算,并从波场快照、时间域反射误差和频率域反射误差等方面,对比了三者的吸收效果,结果表明;在电磁波传播后期,改进型UPML吸收边界条件对低频率成分的反射波具有更好的吸收效果,更真实地模拟了开放的无限空间.

针对经典Prony算法对多正弦信号频率估计易受噪声影响的问题,提出了改进的Prony算法.基于经典Prony算法,该算法构造出一组新的序列,然后建立一种新的Prony多项式,最后得到高精度的多正弦信号频率估计算法.仿真结果表明,本文所提出的算法对频率估计的性能稳定,在低信噪比时,对信号的频率仍有较高的估计精度且优于经典Prony算法.

本文依据多尺度快速配置法求解第一类Fredholm积分方程的Richardson迭代正则化方程.该方法得到了离散Richardson迭代正则化方程的快速解,在积分算子是弱扇形紧算子时,利用改进的迭代停止准则,给出了Richardson迭代正则化方法所得近似解的收敛率.最后,数值例子说明了算法的有效性.

本文中,提出了改进的再生核方法并求解了线性Fredholm型积分微分方程.首先构造了一个新的再生核希尔伯特空间并求解了其再生核.其次简要介绍了再生核方法.随后我们给出了改进的再生核方法.最后给出了四个数值算例.通过将本文的方法与CAS小波方法、微分变换法、改进的同伦摄动法、Runge-Kutta方法、传统的再生核方法进行比较,可知本文提出的方法具有精度高、计算速度快的优点.

采用修正共轭梯度法(MCG算法)求由Newton算法每一步迭代计算导出的线性矩阵方程的近似子矩阵约束(SMC)对称解或者近似SMC对称最小二乘解,建立求离散时间代数Riccati矩阵方程SMC对称解的非精确Newton-MCG算法.该算法仅要求Riccati矩阵方程有SMC对称解,不要求它的SMC对称解唯一,也不要求导出的线性矩阵方程有相应的SMC对称解.数值算例表明,非精确Newton-MCG算法是有效的.

本文中,对于具有不同密度与粘性差的多相流移动接触线问题,我们提出了一种自适应有限元方法.我们所使用的模型为Cahn-Hilliard-Navier-Stokes模型,以及其广义Navier边界条件.在时间上,我们使用分裂方法来求解此系统:对于Cahn-Hilliard方程,使用一种基于凸分解的半隐式方法求解;对于Navier-Stokes方程,采用了压力稳定化方法求解.这种方法在满足某些条件下,是能量稳定的,而且对于处理大密度差问题特别有效.在空间上,我们采用了满足LBB条件的有限元方法进行离散,而且基于后验误差估计理论,我们给出了其网格的自适应加密/放粗方法.数值试验证明了我们算法的正确性与有效性.

本文针对对角占优的对称矩阵(SDD)构成的稀疏线性系统,采用组合预处理技术从谱逼近角度分析并实现一种新型的预条件子.其与ILU类预条件子和AMG类预条件子相比,具有更高的并行可扩展性,满足通量守恒或者等效电阻原理. SDD矩阵通过数学上的规约手段,可以约化为标准的Laplace矩阵,其对应于图论中的无向图.基于此我们首先利用Ofer等提出的算法建立具有low stretch度量的一类生成树.然后采用树分解算法将生成树分解为子树,通过对子树选择合适的连接边进行加边修正得到相应的增广子图.最后将增广子图对应的Laplace矩阵转化为SDD矩阵,该矩阵即为原系数矩阵的预条件子.数值实验表明,与不完全Cholesky分解预条件子相比,该类预条件子更高效,其收敛速度对问题边界类型以及矩阵排序算法不敏感,并且其效率对矩阵规模增长不太敏感.