2025年, 第47卷, 第3期　刊出日期：2025-08-14

  

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青年评述
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  内蕴有限元:流,离散几何,周期表

  胡凯博

  计算数学. 2025, 47(3): 385-417. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1308
  CSTR: 32030.14.jssx.j2025-1308

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  本文围绕内蕴有限元,探讨其在数值偏微分方程中的应用,及其与离散微分几何和拓扑数据分析的潜在联系.由保持连续问题的数学与物理结构的数值离散驱动,本文简要回顾有限元外微分(Finite Element Exterior Calculus,FEEC)的发展.通过经典de Rham复形及BGG复形的规范离散,提出一个扩展的形式值微分形式有限元周期表,涵盖Whitney形式、分布有限元、Regge有限元及Hessian和div div复形等,为张量问题的数值求解提供统一工具.本文进一步分析内蕴有限元在Riemann-Cartan几何、广义连续介质及引力波计算等跨学科应用中的潜力.
论文
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  非线性波动方程基于E-SAV方法的一阶线性数值格式

  李欢欢, 李蒙, 罗贤兵

  计算数学. 2025, 47(3): 418-435. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1235
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1235

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  近年来,指数标量辅助变量(E-SAV)方法作为一种流行的方法用来近似相场模型,主要是由于E-SAV方法不需要假设非线性函数下有界的优越性,本文将E-SAV方法和向后欧拉公式相结合对一类非线性波动方程进行离散,得到了具有一阶精度的线性格式,并给出了相应的误差估计,进一步通过两个数值实验验证了理论的有效性和相较于其他格式的优越性.
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  三块复合优化问题的加速原始对偶不动点算法

  罗月英, 蔡邢菊, 孙越泓

  计算数学. 2025, 47(3): 436-450. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1236
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1236

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  对机器学习和图像处理中大量出现的三块复合优化问题,原始对偶不动点算法(PDFP)是解决这类问题的一类有效算法.本文结合PDFP和Nesterov加速技术提出了加速原始对偶不动点算法(APDFP).APDFP可以包含加速临近交替预测校正算法(APAPC)作为特殊情况.在适当的条件下,我们证明了APDFP有非遍历意义下O(1/N)的收敛率.此外,针对fused lasso和计算机断层扫描(CT)图像重建问题的数值实验验证了算法的有效性.
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  高非线性随机微分方程的隐式半驯化Euler方法

  范振成

  计算数学. 2025, 47(3): 451-470. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1238
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1238

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  迄今为止,高非线性随机微分方程的驯化方法都是显式的.针对平移系数可分为线性和高非线性两项的随机微分方程,提出隐式半驯化Euler方法.该方法的计算量和显式方法相近.在Khasminskii-型条件和多项式增长条件下,证明了方法是收敛的.此外,研究了方法的稳定性,证明了它能够保持一个稳定系统的解析解的稳定性.最后,完成了一些数值实验,实验结果验证了理论结论,并表明了本文方法的稳定性明显优于一些显式驯化方法.
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  多边形网格上非线性Sobolev方程非协调虚拟元方法的最优误差分析

  祝鹏, 陈艳萍, 刘婉香

  计算数学. 2025, 47(3): 471-489. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1244
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1244

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  本文结合向后欧拉格式,提出了一种在多边形网格上求解非线性Sobolev方程的非协调虚拟元方法.为了分析该方法的最优收敛性,我们利用离散三线性型构造了一个新的投影算子,并给出了L²范数和分片H¹半范数中相应的误差估计.利用该投影算子,我们证明了非协调虚拟元全离散格式的最优误差估计.最后在各种多边形网格上通过一些数值算例验证了非协调虚拟元方法的理论分析的准确性和最优收敛性.
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  基于二维搜索的加速替代超平面Kaczmarz方法

  郭璇, 李蕊, 殷俊锋

  计算数学. 2025, 47(3): 490-501. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1247
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1247

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  通过在二维子空间中搜索最优的加权向量并生成一个新的超平面,本文提出和研究了基于二维搜索的加速替代超平面Kaczmarz方法.理论分析给出了新方法的收敛速率.数值实验表明加速替代超平面Kaczmarz方法是收敛的,在迭代步数和计算时间上比原方法更快.
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  非负最小二乘问题的约束随机Gauss-Seidel方法

  李晓玲, 魏伟, 石涛

  计算数学. 2025, 47(3): 502-518. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1249
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1249

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  为了求解具有非负约束的大规模超定线性最小二乘问题,本文提出了两种约束Gauss-Seidel方法,即基于贪婪概率准则的约束贪婪随机Gauss-Seidel方法和基于随机采样策略的约束随机采样Gauss-Seidel方法.本文建立了这两种方法的收敛性理论,并进行了数值试验.数值结果表明,所提两种方法都显著优于现有方法.
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  Cahn-Hilliard-Hele-Shaw模型的拉格朗日乘子法研究

  刘将华, 翟术英, 李晓丽

  计算数学. 2025, 47(3): 519-534. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1252
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1252

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  Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS)模型是Darcy方程与Cahn-Hilliard方程的耦合,被广泛应用于模拟多孔介质中的两相流动以及肿瘤生长.针对CHHS模型,本文提出了两种基于拉格朗日乘子法的能量耗散格式.时间方向分别采用Backward-Euler和Crank-Nicolson格式,空间方向采用傅里叶谱方法.理论分析表明两种时间离散下得到的数值格式均可保持系统的原始能量耗散.最后,通过数值实验证明了数值格式的有效性.
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  一类含时PNP方程的有限元两水平算法

  毛万涛, 沈瑞刚, 阳莺

  计算数学. 2025, 47(3): 535-546. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1254
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1254

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  针对一类含时Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程,提出了一种基于有限元离散的两水平算法.该算法通过线性有限元近似解对PNP方程进行解耦,然后在二次有限元空间上求解解耦后的方程.与经典的基于有限元离散的Gummel算法相比,该算法能够加快求解过程.基于所给出的有限元两水平解的L²模误差估计,建立了H¹模误差估计.数值实验验证了理论结果的正确性以及两水平算法的有效性.
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  Klein-Gordon方程的任意高阶保能量格式

  束思琪, 汪佳玲

  计算数学. 2025, 47(3): 547-560. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1257
  CSTR: 32030.14.jssx.j2024-1257

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  本文构造了Klein-Gordon方程的一类任意高阶能量守恒算法.通过引入二次辅助变量将哈密顿能量转化为二次形式,即将能量守恒定律转化为二次不变量.同时,原系统被改写为具有二次不变量的新系统.接着,我们利用傅里叶拟谱方法和辛龙格-库塔方法得到全离散格式.该算法在时间上达到任意高阶收敛,空间上达到谱精度,并且精确保持原始能量守恒.数值结果进一步证明了算法的有效性和高精度收敛性.