本文主要研究了一般形式的延迟积分微分方程，将连续Runge-Kutta方法用于求解该类问题，并讨论了方法的稳定性，证明了（k，l）-代数稳定的Runge-Kutta方法当0 < k < 1时对应的连续Runge-Kutta方法是渐近稳定的.最后我们通过数值试验验证了方法的有效性及所获结论的正确性.

分数阶偏微分方程的研究有很长的历史,并在最近十多年得到快速发展.相比极为有限的理论成果,数值方法的研究成果已经相当丰富,几个国际研究团队对此作出了贡献.本文旨在对分数阶微分方程的理论与数值方法研究成果做个简要的评价,聚焦总结评述与高阶方法发展密切相关的研究.主要内容为讨论最基本的三类方程:时间分数阶扩散方程、空间分数阶扩散方程、以及时空分数阶扩散方程的理论进展和数值方法研究在最近十年取得的结果.我们还有针对性地选择一些算例,用以说明几个重要方法的精度和有效性.

本文将一种改进的二步迭代算法作为预测，将高斯-勒让德求积公式作为校正，提出了一种求解非线性方程组的具有3p收敛阶的迭代方法.最后给出了一些数值实例，将本文的实验结果与现有的几种迭代方法的实验结果作了比较分析，验证了本文所提出的结果.

在Riesz空间分数阶对流-扩散方程的数值求解中, 通过采用加权移位的Grünwald差分格式对其空间导数进行离散以及Crank-Nicolson 格式对其时间导数进行离散, 得到一个系数矩阵为单位矩阵与两个对称正定Toeplitz矩阵之和的线性方程组. 在本文中, 对该线性方程组, 利用其系数矩阵的结构,提出了一种$\tau$预处理矩阵, 并采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组. 理论分析给出了预处理后系数矩阵的谱分布以及条件数估计. 数值实验结果也说明了所构造的预处理矩阵在采用预处理共轭梯度法求解Riesz空间分数阶对流-扩散方程离散后得到的线性方程组的有效性.

设p是大于1的偶数.本文基于方程x^p-1=0的Newton和Halley求根公式给出计算非奇异矩阵酉极因子的数值方法，并证明算法的收敛性.用数值列子说明算法的有效性.

针对迭代过程中的Jacobi奇异问题，本文提出了一种新的数值延拓法.通过构造双参数同伦算子，采用可控条件和适当选取参数的方式克服Jacobi奇异性，并分析了方法的收敛性.最后，通过数值实验对比，验证了方法的可行性和优越性.特别是具有可调控越过Jacobi奇异（点、线、面）的优势，从而也在某种程度上解决了数值延拓法严重依赖于初值的问题.

我们生活在数字的时代，数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分，而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题，包括图像降噪，去模糊，修复，生物医学成像等，是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法，即以小波（框架）为代表的计算调和分析法、偏微分方程（PDE）方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式，探讨它们之间的联系与区别，优点与缺点，探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.

针对由Galerkin有限元离散椭圆PDE-约束优化问题产生的具有特殊结构的3×3块线性鞍点系统，提出了一个预条件子并给出了预处理矩阵特征值及特征向量的具体表达形式.数值结果表明了该预条件子能够有效地加速Krylov子空间方法的收敛速率，同时也验证了理论结果.

本文研究了由白噪音驱动的随机非自伴波方程的有限元近似，由于线性算子A非自伴，不能应用A的特征值和特征向量，从而得到的结果更具有一般性.空间离散上采用标准的有限元法，并借助强连续算子函数的性质，得到了该方程的强收敛误差估计.本文方法也适用于多维情况的分析.最后用数值算例验证了理论分析的正确性.

利用正弦函数构造了一类新的带有形状参数ω的left（2n-1right）点二重动态逼近细分格式.从理论上分析了随n值变化时这类细分格式的C^k连续性和支集长度；算法的一个特色是随着细分格式中参数ω的取值不同，相应生成的极限曲线的表现张力也有所不同，而且这一类算法所对应的静态算法涵盖了Chaikin，Hormann，Dyn，Daniel和Hassan的算法.文末附出大量数值实例，在给定相同的初始控制顶点，且极限曲线达到同一连续性的前提下和现有几种算法做了比较，数值实例表明这类算法生成的极限曲线更加饱满，表现力更强.

本文利用Jacobi谱配置方法数值求解了一类分数阶多项延迟微分方程，并证明了该方法是收敛的，通过若干数值算例验证了相应的理论结果，结果表明Jacobi谱配置方法求解这类方程是非常高效的，同时也为这类分数阶延迟微分方程的数值求解提供了新的选择，对分数阶泛函方程的数值方法的研究有一定的指导意义.

本文针对双调和算子特征值问题设计了基于混合变分形式的三角谱元逼近格式，其基函数采用指标为（-1，-1，-1）的广义Koornwinder多项式.在H¹-及H₀¹-正交谱元投影的逼近理论基础上，我们建立了双调和算子特征值与特征函数的收敛性估计；它关于网格尺寸h是最优的，关于多项式次数M是次优的.然而，在H₀²-正交谱元投影的最优估计假设前提下，关于M的次优收敛阶估计则提升为最优.此外，Koornwinder分片多项式逼近的结果还表明，在带权Besov空间范数的度量下，对于存在着区域角点奇性的双调和算子特征值问题，谱元方法的收敛阶能达到h-型有限元方法的2倍.最后，本文的数值实验结果展示了谱元逼近格式的高效性，同时也验证了相关理论的正确性.

本文利用投影型插值和Ritz-Volterra投影研究一维变系数抛物方程的有限元方法,直接得到导数和位移的一个强校正格式.对于有限元解,分别对应力和位移获得整体的hk+2和hk+3阶的强结果.

相位恢复在多个不同领域均被提出，如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景，亦具有丰富的数学内涵，因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注，如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题，特别是最少观测次数问题，并介绍求解相位恢复的模型性能，以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.

设R∈Cn×n是满足R=RH=R-1≠±In的广义反射矩阵.若A∈Cn×n满足RAR=A,则称A为n阶广义中心对称矩阵,n阶广义中心对称矩阵的全体记为GCSCn×n.令X1,Z1∈Cn×k1,Y1,W1∈Cn×l1,S={A|‖AX1-Z1‖2+‖Y1HA-W1H‖2=min,A∈GCSCn×n},本文研究如下问题.问题Ⅰ.给定矩阵Z2,X2∈Cn×k2,Y2,W2∈Cn×l2,求A∈S,使得其中‖·‖是Frobenius范数.问题Ⅱ.给定矩阵A∈Cn×n,求A∈SE,使得其中SE是问题Ⅰ的解集合.本文给出了问题Ⅰ解集合SE的表达式,并导出了矩阵方程AX2=Z2,Y2HA=W2H有解A∈S的充分必要条件及其通解表达式,并给出了问题Ⅱ解的表达式以及求解问题Ⅱ的数值方法和数值例子.

1.引言与预备知识 为方便起见,我们仅考虑如下的模型问题: -△u=f,在Ω中,u|Ω=0, (1.1)其中Ω R~2是边平行坐标轴的矩形域。 W~(m,p)(Ω),W_0~(m,p)(Ω)(m为整数,1≤p≤∞)表示通常定义的Sobolev空间,||·||_(m,p,Ω),|·|_(m,p,Ω)为通常定义的范数和半范数,定义W~(m,2)(Ω):=H~m(Ω),W_0~(m,2)(Ω):=H_0~m(Ω)。

本文对二维发展型对流扩散方程的迎风有限元格式给出了显式后验误差估计,证明了真实误差被后验误差估计器上下界定;并通过误差估计器建立了相应的自适应算法,数值例子表明了方法的有效性.

给出一种带有参数的有理三次三角Hermite插值样条, 具有标准三次Hermite插值样条相似的性质. 利用参数的不同取值不但可以调控插值曲线的形状, 而且比标准三次Hermite插值样条更好地逼近被插曲线. 此外, 选择合适的控制点, 该种插值样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线.

Parareal 算法是一种非常有效的实时并行计算方法. 与传统的并行计算方法相比,该算法的显著特点是它的时间并行性 | 先将整个计算时间划分成若干个子区间,然后在每个子区间内同时进行计算. Parareal算法收敛速度快, 并行效率高, 且易于编程实现, 从 2001 年由 Lions,Maday 和 Turinici等人首次提出至今, 在短短的几年间得到了广泛的研究和应用. 最近, Parareal 算法在随机微分方程数值解中的应用也得到了一些学者的关注. 本文中, 我们研究 Parareal算法在随机微分方程数值解中的均方稳定性, 分析保持算法稳定的充分性条件. 通过分析, 我们得到了如下结论: a)Parareal 算法在有限时间区间内是超线性收敛的; b)在无限时间区间内, 该算法是线性收敛的. 最后, 通过数值试验, 我们验证了本文中的理论结果.

1990年, Pardoux和Peng(彭实戈)解决了非线性倒向随机微分方程(backward stochastic differential equation, BSDE)解的存在唯一性问题, 从而建立了正倒向随机微分方程组(forward backward stochastic differential equations, FBSDEs)的理论基础;之后, 正倒向随机微分方程组得到了广泛研究, 并被应用于众多研究领域中, 如随机最优控制、偏微分方程、金融数学、风险度量、非线性期望等.近年来, 正倒向随机微分方程组的数值求解研究获得了越来越多的关注, 本文旨在基于正倒向随机微分方程组的特性, 介绍正倒向随机微分方程组的主要数值求解方法.我们将重点介绍讨论求解FBSDEs的积分离散法和微分近似法, 包括一步法和多步法, 以及相应的数值分析和理论分析结果.微分近似法能构造出求解全耦合FBSDEs的高效高精度并行数值方法, 并且该方法采用最简单的Euler方法求解正向随机微分方程, 极大地简化了问题求解的复杂度.文章最后, 我们尝试提出关于FBSDEs数值求解研究面临的一些亟待解决和具有挑战性的问题.

利用特征正交分解(proper orthogonal decomposition,简记为POD)技术研究交通流的Aw-Rascle-Zhang(ARZ)模型. 建立一种基于 POD方法维数较低的外推降维有限差分格式, 并用数值例子检验数值计算结果与理论结果相吻合, 进一步表明基于POD方法的外推降维有限差分格式对于求解交通流方程数值解是可行和有效的.

本文提出了一类求解大型稀疏鞍点问题的新的广义不精确Uzawa算法.该方法不仅可以包含 前人的方法, 而且可以拓展出很多新方法. 理论分析给出该方法收敛的条件, 并详细的分析了其收敛性质和参数矩阵的选取方法. 通过对有限元离散的Stokes问题的数值实验表明, 新方法是行之有效的, 其收敛速度明显优于原来的算法.

本文首先应用分歧方法给出计算立方体上Henon方程边值问题D₄(3)对称正解的三种算法, 然后以Henon方程中的参数r为分歧参数, 在D₄(3)对称正解解枝上 用扩张系统方法求出对称破缺分歧点, 进而用解枝转接方法计算出其它具有不同对称性质的正解.

A alternating explicit-implicit difference scheme for solving the initial-boundary problem of the nonlinear wave equations at one dimension, two dimensions and three dimensions is given. The convergence of the difference solution is obtained.

提出了求解一类线性乘积规划问题的分支定界缩减方法, 并证明了算法的收敛性.在这个方法中, 利用两个变量乘积的凸包络技术, 给出了目标函数与约束函数中乘积的下界, 由此确定原问题的一个松弛凸规划, 从而找到原问题全局最优值的下界和可行解. 为了加快所提算法的收敛速度, 使用了超矩形的缩减策略. 数值结果表明所提出的算法是可行的.

 

In this paper, a fully discrete format of nonlinear Galerkin mixed element method with backward one-step Euler discretization of time for the non stationary conduction-convection problems is presented. The scheme is based on two finite element spaces XH and Xh for the approximation of the velocity, defined respectively on a coarse grid with grids size H and another fine grid with grid size h<< H, a finite element space Mh for the approximation of the pressure and two finite element spaces AH and Wh, for the approximation of the temperature,also defined respectivply on the coarse grid with grid size H and another fine grid with grid size h. The existence and the convergence of the fully discrete mixed element solution are shown. The scheme consists in using standard backward one step Euler-Galerkin fully discrete format at first L0 steps (L0 2) on fine grid with grid size h, but using nonlinear Galerkin mixed element method of backward one step Euler-Galerkin fully discrete format through L0 + 1 step to end step. We have proved that the fully discrete nonlinear Galerkin mixed element procedure with respect to the coarse grid spaces with grid size H holds superconvergence.

本文对二阶椭圆问题构造了一个新的非常规Hermite型矩形单元并用各向异性插值基本定理证明了其各向异性特征,从而可用于任意的矩形剖分.同时还得到了与网格的正则性假设和拟一致假设无关的超逼近和超收敛性质以及外推.数值结果表明该单元确实是一个具有很好应用价值的单元且与理论分析是相吻合的.

为解决4维散乱数据Hermit-Birkhoff型插值问题, 在使给定的目标泛极小的条件下, 构造了一种带自然边界条件的三元多项式样条函数方法. 研究了插值问题解的特征, 存在唯一性, 收敛性及误差, 最后给出了一些数值算例.

本文用分裂正定混合有限元方法研究二阶粘弹性方程. 首先构造一种新的分裂正定混合变分形式和基于这种分裂正定混合变分形式关于时间的半离散格式, 然后绕开关于空间变量的半离散化格式, 直接从时间半离散出发构造出全离散化的分裂正定混合有限元格式, 并给出这种分裂正定混合有限元解的误差估计. 这种研究思路使得理论论证变得更简单,这是处理二阶粘弹性方程的一种新的尝试.

提出了求解无约束优化问题的新型DL共轭梯度方法. 同已有方法不同之处在于,该方法构造了一种修正的Armijo线搜索规则,它不仅能给出当前迭代步步长, 而且还能同时确定计算下一步搜索方向时需要用到的共轭参数值. 在较弱的条件下, 建立了算法的全局收敛性理论. 数值试验表明,新型共轭梯度算法比同类方法具有更好的计算效率.

多层快速多极子方法(MLFMM)可用来加速迭代求解由Maxwell方程组 或Helmholtz方程导出的积分方程,其复杂度理论上是O(Nlog N), N为未知量个数. MLFMM依赖于快速计算每层的转移项, 以及上聚和下推过程中的层间插值.本文引入计算类似N体问题的一维快速多极 子方法(FMM1D).基于FMM1D的快速Lagrange插值算法可将转移项的计算复杂度由O(N^1.5)降低到O(N).运用FMM1D与FFT混合的快速谱插值算法可将层间插值的计算复杂度由O(K²)降低到O(Klog L), K为插值取样点数.数值结果显示了基于这两种快速插值的MLFMM具有近似线性的时间复杂度.

本文基于三类特殊三角形(等边、等腰直角及(30°,60°,90°)三角形域)Laplace特征函数系的构造,提出任意三角形区域上Laplace特征值的近似公式与算法.给出任意三角形域上所有特征值的逼近公式:λ_m,n≈π²/24S²(h₁²(7m²-12mn+7n²)+h₂²(3m²-4mn+3n²)-2h₃²(m²-4mn+n²)),m > n ≥1,特别, 对于最小特征值λ_min=λ_2,1≈π²/S² 11h₁²+7h₂²+6h₃²/24,其中S是该三角形(h₁≤h₂≤h₃)的面积,可作为数值PDE中三角剖分质量的一种新标准q(T):=3h₃²/16S² 11h₁²+7h₂²+6h₃²/24.结合数值计算与符号计算, 将这三类三角形的基底综合形成统一的新基底, 以反映几何(三条边)对于特征问题的影响, 从而提高任意三角形域的求解精度.

本文给出一个求解非线性对称方程组问题的修改的信赖域方法,在适当的条件下我们将建立此方法的全局收敛性.对给定的问题而言,数值结果表明此方法是有效的.

本文将 Crouzeix-Raviart 型非协调线性三角形元应用到抛物方程,建立了一个新的混合元格式.在抛弃传统有限元分析的必要工具 Ritz 投影算子的前提下,直接利用单元的插值性质和导数转移技巧, 分别得到了各向异性剖分下关于原始变量u 的H^-1-模和积分意义下L²-模以及通量p=-▽u 在L²-模下的最优阶误差估计.数值结果与我们的理论分析是相吻合的.

本文研究非定常Stokes方程的有限体积元方法,给出一种基于两个局部高斯积分的稳定化全离散格式,并给其有限体积元解的误差分析.

(广义)周期Sylvester方程来源于周期离散线性系统. 本文主要研究这类方程满足特征值分别位于开左半复平面和开右半复平面或位于单位圆周内和单位圆周外条件时用矩阵符号函数求解的数值方法.并通过数值例子说明我们的结论.

本文根据求积公式, 给出了三种求解非线性方程组的迭代方法, 并证明了所提出的三步迭代方法具有五阶收敛性. 最后给出了四个数值实例, 将本文的实验结果与现有的几种迭代方法的实验结果作了比较分析, 表明本文所提出的方法具有明显的优越性.

本文讨论了Sine-Gordon方程的一类低阶非协调有限元一般逼近格式,直接利用插值技巧和单元的特殊性质导出了相应未知量的最优误差估计.