快速多极算法(FMM)是处理大规模多体系统的高效数值算法,在分子动力学、天体动力学、声学以及电磁学等领域发挥着重要作用.本文首先回顾了快速多极算法的发展历史,其次以Helmholtz和Maxwell方程为例,介绍了二维和三维情形下基于核解析展开的快速多极算法的数据结构、数学原理、实现步骤和复杂度分析,并给出了相应的自适应FMM实现方法,最后基于MATLAB平台进行了二维和三维情形下多体模拟的数值实验.

针对电路仿真中瞬态分析产生的超大规模稀疏线性方程组, 分块对角加边 (Bordered Block Diagonal, BBD) 方法是一类经典的求解方法. 本文提出了一种改进的 BBD 方法, 通过使用基础列分解和流水线分解结合的方式, 改善了传统 BBD 方法中负载不均衡的问题. 在矩阵边界分解时, 本文通过引入流水线分解克服了传统方法边界难以并行的缺陷. 通过求解 16 个真实电路上产生的超大规模稀疏线性方程组, 我们验证了改进 BBD 方法的有效性. 相较于传统的 BBD 方法, 改进方法在不同线程下的求解速度均有一定提升.

本文在复对称不定线性方程组的等价形式的基础上, 结合预处理的修正的Hermitian与反Hermitian分裂(PMHSS)迭代法的设计思路, 提出了PMHSS迭代方法的一种不均衡变形迭代格式(即: LVPMHSS迭代法). 在理论上详细分析了LVPMHSS迭代法的收敛性, 同时, 还给出了特殊预处理矩阵下的LVPMHSS预处理矩阵的谱性质, 并通过极小化对应迭代法的迭代矩阵谱半径得到拟最优迭代参数. 数值实验的结果验证了新算法的可行性与有效性.

本文主要考虑 1$ < p < \infty$ 时 $p$-Laplace问题的混合高阶方法（HHO方法）.即利用最高次数大于1的分段多项式函数逼近离散未知数, 数值变量在Raviart-Thomas 有限元空间中进行局部梯度重构, 用高阶梯度$\mathbf{Ru_{h}}$代替传统梯度$\mathbf{Dv}$, 且其无需在正则三角剖分上稳定. 我们从能量的角度出发, 将离散能量极小值进行梯度重构, 在新的距离框架下, 通过引入离散应力, 得到了HHO 方法的先验和后验误差估计. 数值算例验证了该混合高阶方法的可靠性和有效性.

时间变步长的两步向后差分公式(BDF2)具有强稳定性,在刚性问题、多尺度动力学等问题中具有广泛的应用,但在偏微分方程最优控制问题的应用研究相对较少.本文主要研究用变步长方法求解一类反应扩散方程源项控制的最优控制问题,时间方向采用变步长BDF2格式,空间方向采用中心差分方法进行离散.利用离散正交卷积(DOC)核和离散互补卷积(DCC)核的分析工具,证明了最优控制问题的最优解在相邻时间步长比介于$\frac{1}{4.8645}$和4.8645之间时,所构建的变步长差分格式在离散的$L^2$范数下是无条件稳定的,且在时间与空间方向都具有二阶收敛精度.最后通过数值算例验证了所构造格式的可行性和有效性.

本文考虑求解一类不可分的非凸非光滑优化问题, 该问题的目标函数由如下两部分组成: 关于全局变量不可分的正常下半连续双凸函数, 与两个关于独立变量的无利普希茨连续梯度的非凸函数. 本文提出广义的惯性交替结构化邻近梯度下降算法(general inertial alternating structure-adapted proximal gradient descent algorithm, 简记为 GIASAP 算法), 该算法框架不仅引入非线性邻近正则项与惯性加速技巧, 同时采用常数步长与动态步长两种策略. 本文证明了GIASAP算法O(1/k)的非渐近收敛率, 以及当目标函数具有Kurdyka-Łojasiewicz性质时, 由GIASAP算法生成的有界序列全局收敛到问题的驻点. 最后, 本文通过数值实验验证了算法的可行性与有效性.

浸入有限元方法是一类基于非拟合网格求解界面问题的有效数值方法.目前, 对带有传统界面跳跃条件的界面问题, 浸入有限元方法已有许多研究,而对带有Robin型跳跃条件的界面问题, 该方法的研究较少.本文针对带有Robin型跳跃条件的一维界面问题提出了浸入有限元方法.本文证明并通过数值算例验证了浸入有限元空间的最优逼近性以及浸入有限元方法的最优收敛性.

本文提出了求解绝对值方程组的单调坐标下降算法,在适当的条件下分析了算法的全局收敛性并用数值实验验证了所提算法的可行性及有效性.本文的另一个目的是指出文献[Optim.Lett.,6:1027—1033,2012]在构造目标函数的下降方向时误用其二阶泰勒展开导致的错误.

Floquet变换是研究具有周期平移不变性算子的数学工具,本文从这个视角讨论了周期体系量子特征值问题的基本数学性质,由Floquet变换得到Bloch函数, 通过Floquet逆变换定义Wannier函数.在此过程中, 证明了作用于周期单元平方可积函数的算子$H({\bf k})$的自伴性及预解集紧性、Wannier函数作为$L^2(\mathbb{R}^d)$基底的正交性与完备性. 还证明了孤立能带关于${\bf k}$的连续可微性,介绍了非孤立能带组的光滑化.最后, 从Wannier函数的Floquet变换出发, 介绍了能带的插值计算.

本文引入线搜索准则, 提出了一种带惯性项的 Bregman 邻近梯度算法求解一类非凸复合优化问题, 其中目标函数为相对光滑的损失函数与非光滑正则函数之和. 在广义凹Kurdyka-Łojasiewicz (KL) 性质的假设下, 证明了算法的全局收敛性. 最后将算法应用于图像恢复问题和非凸的$l_{1/2}$ 稀疏优化问题, 数值实验表明新算法的有效性与优越性.

径向基函数神经网络 (RBFNN) 可用于插值和分类预测, 本文提出基于奇异值分解 (SVD) 技术来改进传统的RBFNN, 从而极大地简化网络结构. 具体来说, 本文提出的方法能够实现隐藏层神经元的自动选取和优化, 删除冗余的神经元, 进而节省内存和计算成本. 同时, 我们将使用 $K$ 折交叉验证法来确定径向基函数 (RBF) 中的径向参数 $\varepsilon$, 以保证算法精度. 更重要的是, 我们基于Halko等提出的近似SVD算法 ${ }^{[2]}$, 逐行读取样本数据并实时处理, 避免将所有样本数据一次性导入内存. 所有的数值实验都表明, 相比于传统的RBFNN, 本文提出的算法在不损失计算精度的前提下, 极大地提高了计算效率, 并简化了RBFNN结构.

在目标函数满足Lojasiewicz性质的条件下, 建立了一般流形上邻近点算法的收敛速度. 所得结果在黎曼流形上是新的, 改进了欧氏空间中的相应结果.

多维标度分析(MDS)是一种用于分析和可视化数据之间相似性或距离关系的统计方法, 它通过将数据点映射到低维空间中的坐标来表示它们之间的相对距离或相似性. 多维标度问题的古典解通过对(非欧氏型)距离矩阵平方进行双中心化处理, 进而通过截断特征值分解寻求低维的拟合构造点. 本文对距离矩阵平方进行直接拟合, 重构问题为零列和Stiefel子流形和线性流形约束下的矩阵优化模型, 并结合乘积流形几何性质, 设计一类自适应问题模型的基于Zhang-Hager技术拓展的黎曼梯度下降求解算法. 数值实验说明通过直接拟合能得到误差更小的拟合欧氏距离矩阵, 且所提算法与已有投影梯度流算法及黎曼优化工具箱中的黎曼一阶和二阶算法在迭代效率上有一定的优势.

本文针对一类块2×2结构的线性方程组, 利用其系数矩阵的结构性质以及Schur补近似矩阵的匹配技巧, 讨论了两类Schur补矩阵的近似矩阵以及它们之间的关系, 提出了一个新的结构约束预处理子, 并且给出了该预处理子理论推导和算法优势. 通过极小化预处理矩阵的谱聚集程度, 得到了优化这两类Schur补矩阵的参数选择策略及特征值分布, 并证明了在满足一定特殊条件下, 可以进一步改进和优化基于Schur补近似的预处理技术. 同时比较了这两类Schur补近似矩阵的效果及其适用范围, 最后总结得到一类通用可靠且有效的预处理技术, 并运用在目前最有效的三类预处理子上. 我们通过几个数值实验例子证明理论分析是可信服的, 也验证了优化的预处理子的有效性.

本文针对多重线性PageRank问题, 结合松弛技术, 提出了新的张量分裂算法, 并给出了相应的收敛性分析. 数值实验表明, 在适当选择松弛参数的情况下, 新算法具有较好的数值效果.

本文研究了向列相液晶和粘性流相场模型的数值逼近.首先运用凸分裂方法去处理Ginzburg-Landau函数,得到了一个向列相液晶和粘性流相场模型的等价模型.其次在数值格式上,使用向后欧拉方法进行了时间离散,使用混合有限元方法进行了空间离散,使用压力矫正方法将压力和速度解耦,得到了一个新的一阶格式.然后通过理论分析,证明了该格式是无条件稳定的.最后,对变量$\mathbf{d},\mathbf{u},\phi$的时间收敛阶,空间收敛阶,能量演化和奇异点湮灭进行了数值模拟,这些数值结果验证了理论部分的准确性和有效性.

本文考虑求解一类特殊的非凸优化问题,即DC优化问题,其目标函数可以写成一个光滑凸函数,一个适当的闭凸函数和一个连续可能非光滑凹函数的和.本文提出广义惯性的邻近DC算法(GIPDCA),该算法框架在经典邻近DC算法的基础上,对惯性方向和求解子问题时的梯度中心和邻近中心采用了三个不同的外推点.该算法可以包括一些经典的算法作为特例.本文证明了当目标函数具有Kurdyka-Łojasiewicz性质且参数满足合适的条件时,由算法GIPDCA生成的有界序列全局收敛到问题的临界点.最后,通过数值实验验证了算法的可行性和有效性.

高非线性随机微分方程的数值方法可以分为显式和隐式两类方法, 通常显式方法的计算量小但稳定性差, 隐式方法的稳定性好但计算量大. 本文提出一种隐式部分截断Euler方法, 证明了它是强收敛和均方稳定的. 此外, 研究结果表明, 对于平移系数含线性函数情况, 它与显式部分截断Euler方法计算量相近, 而稳定性更好, 即兼具显式和隐式方法的优点.

本文主要研究了求解时滞Fisher方程的一类保非负性有限差分法和一类保最大值原理的有限差分法.首先,利用一类加权差分公式和显式欧拉方法分别离散扩散项和一阶时间导数,从而对时滞Fisher方程构造了一类保非负性的差分格式.其次,运用截断技术校正由保非负性差分格式算得的数值解,从而得到了一类满足最大{值}原理的数值方法.然后,利用数值解和精确解的非负性和有界性,得到了它们在最大范数意义下的误差估计和稳定性.数值结果验证了理论结果的正确性和方法的有效性.

本文提出采用隐显分裂方法求解金融期权定价问题中的美式期权满足的线性互补问题.尽管隐显方法已被广泛地应用跳扩散模型,但大多应用在欧式期权,而且在美式期权的数值求解问题中鲜有稳定性分析.在本文中,我们提出在时间上采用隐显二阶向后微分公式(BDF2)、隐显Crank-Nikolson蛙跳(CNLF)和隐显Crank-Nikolson AdamBashforth (CNAB)三种离散化方法,并证明了它们的稳定性.空间上采用有限差分离散,由于初值函数的非光滑性,在执行价格附近考虑局部网格细化策略来提高精度.为了验证理论结果,分别给出了Merton型和Kou型跳扩散模型下美式期权定价的数值结果.数值实验结果表明,我们提出的方法是稳定且有效的.

多集分裂可行性问题 (MSSFP)是分裂可行性问题的推广, 在图像重建、相位恢复等实际问题中具有广泛的应用. 基于选择技巧, Yao等人[Optimization, 2020, 69(2): 269-281]在Hilbert 空间中提出了两种求解MSSFP的投影算法(SPA). 本文修正了SPA的步长参数, 提出了两种求解MSSFP的修正惯性投影算法(MISPA). 在解集非空的假设条件下分别得到了MISPA的弱、强收敛性. 数值实验表明: MISPA是可行的, 惯性方法可以加速SPA.

随着大模型所代表的AI技术革命浪潮的兴起, 以数据为中心的AI研究(Data-centric AI)快速崛起, 使得包括线性可分性在内的数据分析技术愈发受到研究者的重视. 线性可分判定作为数据分析的基础性数学问题, 在大数据时代的应用背景下, 高效的判定方法依然是个未被充分满足的需求. 本文提出并论证了一种基于球面模型的点与集合线性可分的充分必要条件；并基于该充要条件, 进一步提出并论证了两集合线性可分的并行化快速初筛检测方法. 本文方法的优势在于: (1)内在并行化特点, 具备低时间复杂度, 执行效率要远优于现有方法. (2)并行化适用性, 任何线性可分性判定方法均可以使用本文的并行化框架来实现加速. 文中基于基准数据集和人工数据集的验证实验也充分展示了本文方法的准确性和实现的高效性.

本文的目的是重构含时变源的弥散黏滞波方程.源可以分为未知的时间部分和已知的空间部分,未知部分借助非全域范围的额外探测值确定.我们提出了一种基于额外探测值的源重构方法,并证明了弱解的存在唯一性.最后通过算例对理论结果进行了验证.

本文针对低Tucker秩张量补全问题,基于$L_{*}-L_{F}$,提出一种新的非凸优化.采用Lagrange乘子法,设计了三种求解新优化的高精度低秩张量补全算法.在理论方面,分析了算法的全局收敛性.在数值实验方面，针对新的非凸优化和传统的核范数凸优化,利用仿真数据和实际图像修复进行了数值实验.实验结果表明,在精度基本相同的情况下,本文建议的三种算法在CPU时间上优于文献[12]中的高精度张量补全算法.

本文考虑了一类伪Jacobi矩阵的广义双倍维逆特征值问题, 该问题通过从矩阵的特征值和它的$r$阶顺序主子矩阵来重构该矩阵. 该类矩阵特征值的分布与其两个互补主子矩阵特征值的大小关系有关, 当大小关系不同时, 该类矩阵的特征值分布将会发生很大变化. 于是根据该矩阵特征方程根的分布情况来讨论其特征值分布, 并且给出了问题有解的充分必要条件. 然后, 将该问题等价转化为蒋尔雄提出的$k$问题并解决了该问题. 最后, 通过数值算例验证了所给算法的有效性和可行性.

针对广义坐标系上带重力源项的Euler方程,提出一种基于加权紧致非线性差分方法的高阶保平衡型有限差分格式。基本思想是,利用稳态解信息对重力源项进行重构,使之在平衡状态下与流通量中的压力梯度形成对应关系；采用具有尺度不变性的非线性插值计算半节点处的守恒量,确保平衡状态下守恒量的重构值与稳态解的重构值精确相等；采用相同的中心差分格式计算通量导数和网格导数,保证数值格式在曲网格上满足几何守恒律.理论推导和数值试验证明了格式的保平衡性、保几何守恒律性,以及在曲网格能够获得高阶精度和对稳态解附近的小扰动实现精细捕捉.

多维标度分析(MDS)是在低维空间展示和分析多维数据结构的一种数据分析技术,其中的个体差异标度模型(INDSCAL)是一类针对多个数据矩阵同时度量多维标度的特定模型,它不仅对所要分析对象的结构进行分析,还能兼顾到判断主体之间的尺度差异.本文将正交INDSCAL模型拟合问题重构为Stiefel流形和对角矩阵线性流形约束下的矩阵优化模型,结合乘积流形几何性质,设计一类自适应问题模型的强Wolfe型混合黎曼共轭梯度求解算法,并给出算法的全局收敛性.数值实验说明所提算法对问题模型是可行有效的,且较黎曼优化工具箱中已有算法及其他黎曼一阶算法在迭代效率上有一定的优势.

本文粗略地探讨数学形式化的基本原理与应用, 重点介绍形式化语言Lean及其在数学优化中的应用进展. 我们先回顾数学形式化的发展背景, 阐述形式化语言Lean的构建原理及其正确性保障机制, 介绍Lean语言中的定理库Mathlib4的作用. 通过自然语言与形式化证明的对比, 阐述利用形式化验证数学的优势, 强调形式化在数学理论的准确验证中的重要作用. 在数学优化领域, 本文讨论目前数学优化理论的形式化进展, 以二次上界引理等经典定理的形式化实例, 进一步给出形式化数学的特点与优势. 此外, 我们探讨运筹优化中的形式化目标, 以及自动形式化和自动定理证明的可能性, 分析自动化工具在数学形式化过程中的潜力与挑战. 最后总结数学形式化的研究现状, 提出一些推动形式化领域发展的建议, 并探讨形式化在应用数学理论发展中的重要意义.

垂直非线性互补问题在实际中有着广泛的应用, 设计求解垂直非线性互补问题的数值方法是近年来学者们的研究热点. 为充分利用高性能计算机进行求解, 本文运用矩阵多分裂结合垂直非线性互补问题的等价模方程建立了一类模系同步多分裂迭代法, 在$H$-矩阵的假设下给出模系同步多分裂迭代法的若干收敛性条件, 并得到常见的加速超松弛多分裂迭代过程松弛参数的收敛域, 最后在OpenACC框架下通过数值实验展示模系同步多分裂迭代法的高效并行计算效率.

单相多组分渗流问题在油气藏、地下水污染等广泛存在, 对其进行数值模拟研究具有重要的意义.本文针对传统IMPEC(隐式压力显式摩尔密度)方法存在对所有组分不遵循质量守恒问题, 采用一种对每一组分质量守恒的保物理性IMPEC方法进行时间离散, 迎风块中心有限差分方法对压力方程、达西方程和组分方程空间离散.本文在合理的假设条件下, 对所构造的所有组分保质量守恒的特性以及摩尔密度分别进行了严格的证明.最后, 本文通过单相多组分渗流问题进行数值模拟, 验证所算法的有效性.

本文将Hermite多项式作为神经网络的隐层, 利用遗传算法优化Hermite神经网络的初始权值, 同时选取遗传算法优化的Hermite神经网络实际输出与期望输出的误差函数的倒数作为遗传算法的适应度函数, 构造一种新的遗传算法优化的Hermite神经网络求解Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程的数值方法. 结合多点处的泰勒公式, 给出Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程数值解的一般形式, 理论探究了该算法的绝对误差及收敛性. 与现有数值方法进行比较, 结果表明本文方法的有效性和可行性.

本文考虑一类由斜对称三对角矩阵和周期斜对称三对角矩阵结合而成的特殊矩阵, 简称为广义周期斜对称三对角矩阵. 研究了一个构造该矩阵的逆特征值问题, 即从给定的三个平衡集和一个正数中来构造该类矩阵. 首先将该矩阵酉相似于一个广义周期对称三对角矩阵, 从而来分析该矩阵的特征值与其顺序主子矩阵和尾主子矩阵的特征值之间的关系, 分别从这两个主子矩阵的谱是否有交集和尾主子矩阵阶数的奇偶性等两个方面进行讨论. 进而给出不同情形下该逆特征值问题有解的充要条件, 并且确定了解存在时的最大个数和重构算法. 最后通过两个数值算例验证了该算法的有效性.

推导二维Sobolev方程具有空间四阶精度的紧致差分格式, 证明了紧致差分格式的收敛性. 改写差分格式为矢量形式, 利用特征投影分解(Proper Orthogonal Decomposition, 简称 POD)方法构造降维高阶紧致差分格式, 并证明了近似解的误差估计. 给出数值算例, 分别计算紧致差分格式和降维紧致差分格式的数值误差, 空间收敛阶和时间收敛阶, 验证了实验结果和理论分析相符, 进一步对比降维前后两种格式的CPU计算时间, 表明了应用POD方法用于紧致格式降维的优越性.

本文针对一类含$\alpha\in(0,1)$阶Riemann-Liouville导数的时间分数阶扩散方程,提出了一类时空混合有限元法: 空间离散采用$m(m\geq0)$阶的Raviart-Thomas(RT)有限元, 时间离散采用分片$r(r\ge 0)$次间断Galerkin(DG)有限元. 由于解在$t=0$附近有奇性, 时间方向上使用等级网格. 分析了全离散格式的适定性. 对于时间离散采用分片常数$(r=0)$DG格式和分片线性$(r=1)$DG格式这两种情形, 推导了全离散误差估计, 并给出了数值实验.

本文提出了一种带惯性项的自适应步长三算子分裂算法求解非光滑 DC 规划问题. 在适当的条件下, 证明了由算法产生的迭代序列收敛到问题的稳定点. 最后将算法应用于稀疏恢复问题, 数值实验表明新算法的有效性和优越性.

本文主要讨论了一类含有多项延迟的中立型延迟微分方程数值解的振动性, 利用线性$\theta$-方法离散原方程得到相应的差分方程, 通过讨论差分方程解的性质，把原方程数值解的振动性质转化为一个非中立型差分方程解的振动性.根据差分方程振动性与特征方程特征根的关系, 分别讨论了当$0\leq \theta \leq \frac{1}{2}$ 和$\frac{1}{2}<\theta \leq1$ 时数值解的振动性. 同时对非振动数值解的性质也做了研究, 最后给出了数值算例阐述了结论.

多维标度分析是一种在低维空间中以点间距离展现观测对象之间相似性测度或亲疏关系的多维数据分析方法, 其通过在低维空间中表示高维数据, 保留数据点之间的相对距离关系. 本文主要针对对称多维标度中一类考虑观测对象之间个体差异的个体差异标度模型(O-INDSCAL)设计有效的数值求解算法. 首先基于交替最小二乘迭代算法思想将模型对应的多变量约束矩阵优化问题转换为不动点迭代问题, 并结合向量序列加速原理给出加速算法的具体实施过程, 进而设计适应问题模型的基于极小多项式外推加速, 降秩外推加速和修正极小多项式外推加速, 以及Anderson加速的不动点迭代加速算法. 数值实验说明表明所考虑的加速算法均可提高由不动点迭代生成序列的收敛速度, 同时较O-INDSCAL 模型求解已有的基于连续时间的投影梯度流算法和基于流形优化的黎曼优化工具箱Manopt中若干黎曼一阶和二阶算法在迭代效率上均有较为明显的优势.