2025年, 第47卷, 第1期　刊出日期：2025-02-14

  

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青年评述
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  基于MATLAB的自适应快速多极算法简易实现

  赖俊, 张金锐

  计算数学. 2025, 47(1): 1-20. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1267

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  快速多极算法(FMM)是处理大规模多体系统的高效数值算法,在分子动力学、天体动力学、声学以及电磁学等领域发挥着重要作用.本文首先回顾了快速多极算法的发展历史,其次以Helmholtz和Maxwell方程为例,介绍了二维和三维情形下基于核解析展开的快速多极算法的数据结构、数学原理、实现步骤和复杂度分析,并给出了相应的自适应FMM实现方法,最后基于MATLAB平台进行了二维和三维情形下多体模拟的数值实验.
论文
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  向列相液晶和粘性流相场模型的数值逼近

  王旦霞, 刘静

  计算数学. 2025, 47(1): 21-36. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0981

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  本文研究了向列相液晶和粘性流相场模型的数值逼近.首先运用凸分裂方法去处理Ginzburg-Landau函数,得到了一个向列相液晶和粘性流相场模型的等价模型.其次在数值格式上,使用向后欧拉方法进行了时间离散,使用混合有限元方法进行了空间离散,使用压力矫正方法将压力和速度解耦,得到了一个新的一阶格式.然后通过理论分析,证明了该格式是无条件稳定的.最后,对变量$\mathbf{d},\mathbf{u},\phi$的时间收敛阶,空间收敛阶,能量演化和奇异点湮灭进行了数值模拟,这些数值结果验证了理论部分的准确性和有效性.
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  二维时滞Fisher方程的保非负性和保最大值原理的加权有限差分法

  胡梦婷, 邓定文

  计算数学. 2025, 47(1): 37-60. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1154

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  本文主要研究了求解时滞Fisher方程的一类保非负性有限差分法和一类保最大值原理的有限差分法.首先,利用一类加权差分公式和显式欧拉方法分别离散扩散项和一阶时间导数,从而对时滞Fisher方程构造了一类保非负性的差分格式.其次,运用截断技术校正由保非负性差分格式算得的数值解,从而得到了一类满足最大{值}原理的数值方法.然后,利用数值解和精确解的非负性和有界性,得到了它们在最大范数意义下的误差估计和稳定性.数值结果验证了理论结果的正确性和方法的有效性.
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  求解Merton和Kou跳跃扩散模型下美式期权定价的隐显方法

  陈迎姿, 王晚生, 谢家泉

  计算数学. 2025, 47(1): 61-78. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1175

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  本文提出采用隐显分裂方法求解金融期权定价问题中的美式期权满足的线性互补问题.尽管隐显方法已被广泛地应用跳扩散模型,但大多应用在欧式期权,而且在美式期权的数值求解问题中鲜有稳定性分析.在本文中,我们提出在时间上采用隐显二阶向后微分公式(BDF2)、隐显Crank-Nikolson蛙跳(CNLF)和隐显Crank-Nikolson AdamBashforth (CNAB)三种离散化方法,并证明了它们的稳定性.空间上采用有限差分离散,由于初值函数的非光滑性,在执行价格附近考虑局部网格细化策略来提高精度.为了验证理论结果,分别给出了Merton型和Kou型跳扩散模型下美式期权定价的数值结果.数值实验结果表明,我们提出的方法是稳定且有效的.
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  一类线性反应扩散方程最优控制问题的变步长BDF2格式的数值分析

  吕彤, 叶星旸

  计算数学. 2025, 47(1): 79-97. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1177

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  时间变步长的两步向后差分公式(BDF2)具有强稳定性,在刚性问题、多尺度动力学等问题中具有广泛的应用,但在偏微分方程最优控制问题的应用研究相对较少.本文主要研究用变步长方法求解一类反应扩散方程源项控制的最优控制问题,时间方向采用变步长BDF2格式,空间方向采用中心差分方法进行离散.利用离散正交卷积(DOC)核和离散互补卷积(DCC)核的分析工具,证明了最优控制问题的最优解在相邻时间步长比介于$\frac{1}{4.8645}$和4.8645之间时,所构建的变步长差分格式在离散的$L^2$范数下是无条件稳定的,且在时间与空间方向都具有二阶收敛精度.最后通过数值算例验证了所构造格式的可行性和有效性.
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  多维标度中个体差异标度模型的一类黎曼共轭梯度法

  周菁, 陈新, 周学林, 李姣芬

  计算数学. 2025, 47(1): 98-121. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1179

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  多维标度分析(MDS)是在低维空间展示和分析多维数据结构的一种数据分析技术,其中的个体差异标度模型(INDSCAL)是一类针对多个数据矩阵同时度量多维标度的特定模型,它不仅对所要分析对象的结构进行分析,还能兼顾到判断主体之间的尺度差异.本文将正交INDSCAL模型拟合问题重构为Stiefel流形和对角矩阵线性流形约束下的矩阵优化模型,结合乘积流形几何性质,设计一类自适应问题模型的强Wolfe型混合黎曼共轭梯度求解算法,并给出算法的全局收敛性.数值实验说明所提算法对问题模型是可行有效的,且较黎曼优化工具箱中已有算法及其他黎曼一阶算法在迭代效率上有一定的优势.
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  求解绝对值方程组的单调坐标下降法

  李雪花, 陈林婕, 陈彩荣

  计算数学. 2025, 47(1): 122-134. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1182

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  本文提出了求解绝对值方程组的单调坐标下降算法,在适当的条件下分析了算法的全局收敛性并用数值实验验证了所提算法的可行性及有效性.本文的另一个目的是指出文献[Optim.Lett.,6:1027—1033,2012]在构造目标函数的下降方向时误用其二阶泰勒展开导致的错误.
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  带重力源项Euler方程的保平衡型加权紧致有限差分格式

  唐玲艳, 刘涛, 王志远

  计算数学. 2025, 47(1): 135-148. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1186

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  针对广义坐标系上带重力源项的Euler方程,提出一种基于加权紧致非线性差分方法的高阶保平衡型有限差分格式。基本思想是,利用稳态解信息对重力源项进行重构,使之在平衡状态下与流通量中的压力梯度形成对应关系；采用具有尺度不变性的非线性插值计算半节点处的守恒量,确保平衡状态下守恒量的重构值与稳态解的重构值精确相等；采用相同的中心差分格式计算通量导数和网格导数,保证数值格式在曲网格上满足几何守恒律.理论推导和数值试验证明了格式的保平衡性、保几何守恒律性,以及在曲网格能够获得高阶精度和对稳态解附近的小扰动实现精细捕捉.
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  基于L_*-L_F非凸优化的低秩张量补全算法

  王川龙, 李文韦, 温瑞萍, 赵佩佩

  计算数学. 2025, 47(1): 149-171. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1187

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  本文针对低Tucker秩张量补全问题,基于$L_{*}-L_{F}$,提出一种新的非凸优化.采用Lagrange乘子法,设计了三种求解新优化的高精度低秩张量补全算法.在理论方面,分析了算法的全局收敛性.在数值实验方面，针对新的非凸优化和传统的核范数凸优化,利用仿真数据和实际图像修复进行了数值实验.实验结果表明,在精度基本相同的情况下,本文建议的三种算法在CPU时间上优于文献[12]中的高精度张量补全算法.
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  三块非光滑DC优化问题的广义惯性邻近DC算法

  王坛兴, 宋永忠, 蔡邢菊

  计算数学. 2025, 47(1): 172-190. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1192

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  本文考虑求解一类特殊的非凸优化问题,即DC优化问题,其目标函数可以写成一个光滑凸函数,一个适当的闭凸函数和一个连续可能非光滑凹函数的和.本文提出广义惯性的邻近DC算法(GIPDCA),该算法框架在经典邻近DC算法的基础上,对惯性方向和求解子问题时的梯度中心和邻近中心采用了三个不同的外推点.该算法可以包括一些经典的算法作为特例.本文证明了当目标函数具有Kurdyka-Łojasiewicz性质且参数满足合适的条件时,由算法GIPDCA生成的有界序列全局收敛到问题的临界点.最后,通过数值实验验证了算法的可行性和有效性.