2012年, 第34卷, 第1期　刊出日期：2012-02-15

  

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  特征值问题的预变换方法 (Ⅱ):任意三角形域Laplace特征值的计算分析

  孙家昶

  计算数学. 2012, 34(1): 1-24. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.1

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  本文基于三类特殊三角形(等边、等腰直角及(30°,60°,90°)三角形域)Laplace特征函数系的构造,提出任意三角形区域上Laplace特征值的近似公式与算法.给出任意三角形域上所有特征值的逼近公式:λ_m,n≈π²/24S²(h₁²(7m²-12mn+7n²)+h₂²(3m²-4mn+3n²)-2h₃²(m²-4mn+n²)),m > n ≥1,特别, 对于最小特征值λ_min=λ_2,1≈π²/S² 11h₁²+7h₂²+6h₃²/24,其中S是该三角形(h₁≤h₂≤h₃)的面积,可作为数值PDE中三角剖分质量的一种新标准q(T):=3h₃²/16S² 11h₁²+7h₂²+6h₃²/24.结合数值计算与符号计算, 将这三类三角形的基底综合形成统一的新基底, 以反映几何(三条边)对于特征问题的影响, 从而提高任意三角形域的求解精度.
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  (R,S,μ)对称矩阵逆问题和最佳逼近问题及扰动分析

  李姣芬, 胡锡炎, 张磊

  计算数学. 2012, 34(1): 25-36. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.25

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  称R∈C^m×m为k次轮换矩阵若 R的最小多项式为x^k-1(k≥2).令μ∈{0,1,…,k-1}和ζ=e^2πi/k.若R∈C^m×m和S∈C^n×n为k次轮换矩阵,则称A∈C^m×m为(R,S,μ)对称矩阵若RAS^-1=ζ^μA.本文研究了(R,S,μ) 对称矩阵的逆问题和最佳逼近问题,得到了解的表达式. 并讨论了最佳逼近解的扰动分析,得到了比较满意的理论结果, 最后通过数值算例验证了该理论结果的正确性.
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  一类求解鞍点问题的广义不精确Uzawa方法

  豆铨煜, 殷俊锋

  计算数学. 2012, 34(1): 37-48. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.37

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  本文提出了一类求解大型稀疏鞍点问题的新的广义不精确Uzawa算法.该方法不仅可以包含 前人的方法, 而且可以拓展出很多新方法. 理论分析给出该方法收敛的条件, 并详细的分析了其收敛性质和参数矩阵的选取方法. 通过对有限元离散的Stokes问题的数值实验表明, 新方法是行之有效的, 其收敛速度明显优于原来的算法.
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  利用边界元法求解一类重调和方程

  崔玉环, 屈静国, 陈一鸣, 杨爱民

  计算数学. 2012, 34(1): 49-56. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.49

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  边界元法(BEM)和多重互易法(MRM)相结合求解一类重调和方程.通过重调和基本解序列给出的MRM-方法和BEM, 推导出该类问题的MRM-边界变分方程, 用边界元法求解该变分方程, 从而得到重调和方程的近似解, 并给出了解的存在唯一性证明.通过数值算例说明了MRM-方法具有收敛速度快、计算精度高, 易编程等优点, 为使用边界元法数值求解重调和方程提供了方法和理论依据.适合于工程中的实际运算.
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  二维土壤溶质输运方程的有限体积元格式

  刘群, 孙萍, 罗振东

  计算数学. 2012, 34(1): 57-67. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.57

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  本文导出二维的土壤溶质输运方程的有限体积元格式, 并分析其误差.通过数值例子说明, 有限体积元格式比有限元格式稳定.
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  线性变系数中立型变延迟微分方程谱方法的收敛性

  王文强, 李东方

  计算数学. 2012, 34(1): 68-80. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.68

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  本文主要研究了应用谱方法求解线性变系数中立型变延迟微分方程,构造了相应的基于Chebyshev和Legendre正交多项式的数值方法, 证明了其收敛性,最后给出了数值算例. 这些结果表明应用谱方法求解延迟微分方程可以获得谱收敛与谱精度的计算效果.
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  建立在修正BFGS公式基础上的新的共轭梯度法

  王开荣, 刘奔

  计算数学. 2012, 34(1): 81-92. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.81

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  共轭梯度法是一类非常重要的用于解决大规模无约束优化问题的方法. 本文通过修正的BFGS公式提出了一个新的共轭梯度方法. 该方法具有不依赖于线搜索的充分下降性. 对于一般的非线性函数, 证明了该方法的全局收敛性. 数值结果表明该方法是有效的.
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  一类凸优化的混合下降算法

  徐海文

  计算数学. 2012, 34(1): 93-102. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.93

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  邻近点算法(PPA)是一类求解凸优化问题的经典算法, 但往往需要精确求解隐式子问题,于是近似邻近点算法(APPA)在满足一定的近似规则下非精确求解PPA的子问题, 降低了求解难度. 本文利用近似规则的历史信息和随机数扩张预测校正步产生了两个方向, 通过随机数组合两个方向获得了一类凸优化的混合下降算法.在近似规则满足的情况下, 给出了混合下降算法的收敛性证明. 一系列的数值试验表明了混合下降算法的有效性和效率性.
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  Wolfe线搜索下一个全局收敛的混合共轭梯度法

  江羡珍, 韩麟, 简金宝

  计算数学. 2012, 34(1): 103-112. https://doi.org/10.12286/jssx.2012.1.103

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  对无约束优化问题, 本文给出了一个新的混合共轭梯度法公式. 在标准Wolfe非精确线搜索下,证明了由新公式所产生的算法具有下降性和全局收敛性, 并对算法进行了数值试验, 其结果表明该算法是有效的.