2013年, 第35卷, 第3期　刊出日期：2013-08-15

  

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  求解第一类Fredholm积分方程的多层迭代算法

  李繁春, 杨素华, 罗兴钧, 彭玉兵

  计算数学. 2013, 35(3): 225-238. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.225

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  本文先把正则化后的第二类积分方程分解为等价的一对不含积分算子K^*K、仅含积分算子K以及K^*的方程组, 再用截断投影方法离散方程组, 采用多层迭代算法求解截断后的等价方程组, 并给出了后验参数的选择方法, 确保近似解达到最优.与传统全投影方法相比, 减少了积分计算的维数, 保持了最优收敛率. 最后, 算例说明了算法的有效性.
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  各向异性EQ₁^rot非协调元高精度分析的一般格式

  石东洋, 王芬玲, 史艳华

  计算数学. 2013, 35(3): 239-252. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.239

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  本文在各向异性网格下讨论了一般二阶椭圆方程的EQ₁^rot非协调有限元逼近. 利用Taylor展开, 积分恒等式和平均值技巧导出了一些关于该元新的高精度估计. 再结合该元所具有的二个特殊性质: (a)当精确解属于H³时, 其相容误差为O(h²)阶比它的插值误差高一阶; (b)插值算子与Ritz投影算子等价,得到了在能量模意义下O(h²)阶的超逼近性质. 进而,借助于插值后处理技术给出了整体超收敛的一般估计式.
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  散乱数据带自然边界条件二元样条光顺及数值微分

  徐应祥, 关履泰

  计算数学. 2013, 35(3): 253-270. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.253

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  考虑一种新的散乱数据带自然边界二元样条光顺问题.根据样条变分理论和Hilbert空间样条函数方法,构造出了显式的二元带自然边界光顺样条解,其表达式简单且系数可以由系数矩阵对称正定的线性方程组确定.证明了解的存在和唯一性,讨论了收敛性和误差估计.并由此得到一种新的基于散乱数据上的正则化二元数值微分的方法.最后,给出了一些数值例子对方法进行了验证.
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  Zienkiewicz元插值的非各向异性估计

  陈绍春, 梁冠男, 陈红如

  计算数学. 2013, 35(3): 271-274. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.271

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  本文证明著名的用于四阶椭圆问题尤其是板弯曲问题的Zienkiewicz元的插值误差在各向异性网格下不收敛, 从而表明, 发展各向异性有限元的理论和单元构造是必要的.
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  基于不光滑边界的变系数抛物型方程的高精度紧格式

  郑宁, 殷俊锋

  计算数学. 2013, 35(3): 275-285. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.275

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  本文讨论基于不光滑边界的变系数抛物型方程求解的高精度紧格式.首先构造一般变系数抛物型方程的高精度紧格式,并在理论上证明格式具有空间方向四阶精度.然后针对非光滑边界条件,引入局部网格加密技巧在奇异点附近进行不均匀的网格加密.数值实验以期权定价中Black-Scholes偏微分方程的求解为例,验证高精度紧格式用于光滑边界条件的微分方程离散可以达到四阶精度.对于处理非光滑边界条件,网格局部加密技巧能有效的提高数值解精度,使得高精度紧格式用于定价欧式期权可以接近四阶精度.
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  两种有效的非线性共轭梯度算法

  刘金魁

  计算数学. 2013, 35(3): 286-296. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.286

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  根据CG-DESCENT算法[1]的结构和Powell在综述文献[11]中的建议,给出了两种新的求解无约束优化问题的非线性共轭梯度算法. 它们在任意线搜索下都具有充分下降性质, 并在标准Wolfe线搜索下对一般函数能够保证全局收敛性. 通过对CUTEr函数库中部分著名的函数进行试验, 并借助著名的Dolan & Moré[2]评价方法, 展示了新算法的有效性.
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  三步五阶迭代方法解非线性方程组

  张旭, 檀结庆

  计算数学. 2013, 35(3): 297-304. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.297

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  本文根据求积公式, 给出了三种求解非线性方程组的迭代方法, 并证明了所提出的三步迭代方法具有五阶收敛性. 最后给出了四个数值实例, 将本文的实验结果与现有的几种迭代方法的实验结果作了比较分析, 表明本文所提出的方法具有明显的优越性.
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  三阶线性常微分方程Sinc方程组的结构预处理方法

  任志茹

  计算数学. 2013, 35(3): 305-322. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.305

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  三阶线性常微分方程在天文学和流体力学等学科的研究中有着广泛的应用.本文介绍求解三阶线性常微分方程由Sinc方法离散所得到的线性方程组的结构预处理方法.首先, 我们利用Sinc方法对三阶线性常微分方程进行离散,证明了离散解以指数阶收敛到原问题的精确解.针对离散后线性方程组的系数矩阵的特殊结构, 提出了结构化的带状预处理子,并证明了预处理矩阵的特征值位于复平面上的一个矩形区域之内.然后, 我们引入新的变量将三阶线性常微分方程等价地转化为由两个二阶线性常微分方程构成的常微分方程组, 并利用Sinc方法对降阶后的常微分方程组进行离散.离散后线性方程组的系数矩阵是分块2×2的, 且每一块都是Toeplitz矩阵与对角矩阵的组合.为了利用Krylov子空间方法有效地求解离散后的线性方程组,我们给出了块对角预处理子, 并分析了预处理矩阵的性质.最后, 我们对降阶后二阶线性常微分方程组进行了一些比较研究.数值结果证实了Sinc方法能够有效地求解三阶线性常微分方程.
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  奇异摄动问题内罚间断有限方法的最优阶一致收敛性分析

  祝鹏, 尹云辉, 杨宇博

  计算数学. 2013, 35(3): 323-336. https://doi.org/10.12286/jssx.2013.3.323

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  本文在Bakhvalov-Shishkin网格上分析了采用高次元的内罚间断有限元方法求解一维对流扩散型奇异摄动问题的最优阶一致收敛性. 取k(k≥1)次分片多项式和网格剖分单元数为N时,在能量范数度量下, Bakhvalov-Shishkin网格上可获得O(N^-k)的一致误差估计. 在数值算例部分对理论分析结果进行了验证.