2015年, 第37卷, 第4期　刊出日期：2015-11-15

  

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综述
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  正倒向随机微分方程组的数值解法

  赵卫东

  计算数学. 2015, 37(4): 337-373. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.337

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  1990年, Pardoux和Peng(彭实戈)解决了非线性倒向随机微分方程(backward stochastic differential equation, BSDE)解的存在唯一性问题, 从而建立了正倒向随机微分方程组(forward backward stochastic differential equations, FBSDEs)的理论基础;之后, 正倒向随机微分方程组得到了广泛研究, 并被应用于众多研究领域中, 如随机最优控制、偏微分方程、金融数学、风险度量、非线性期望等.近年来, 正倒向随机微分方程组的数值求解研究获得了越来越多的关注, 本文旨在基于正倒向随机微分方程组的特性, 介绍正倒向随机微分方程组的主要数值求解方法.我们将重点介绍讨论求解FBSDEs的积分离散法和微分近似法, 包括一步法和多步法, 以及相应的数值分析和理论分析结果.微分近似法能构造出求解全耦合FBSDEs的高效高精度并行数值方法, 并且该方法采用最简单的Euler方法求解正向随机微分方程, 极大地简化了问题求解的复杂度.文章最后, 我们尝试提出关于FBSDEs数值求解研究面临的一些亟待解决和具有挑战性的问题.
论文
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  互补约束问题的一种新松弛规划及其收敛性

  刘兵

  计算数学. 2015, 37(4): 374-389. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.374

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  在G.H. Lin 与 M. Fukushima思想的启发下, 针对一般形式的互补约束问题, 本文构造了一种新的松弛规划. 通过修正和简化G.H. Lin与M. Fukushima的证明方法, 在比其更弱的假设条件下获得了该松弛规划的收敛性质.
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  关于Katz指标的二级分裂迭代方法

  潘春平

  计算数学. 2015, 37(4): 390-400. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.390

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  本文研究复杂网络中计算Katz指标的迭代法, 基于网络拓扑结构, 在快速Katz指标算法的基础上, 运用二级分裂迭代思想, 提出了具有两个参数的二级分裂迭代法, 并研究了该方法的收敛性. 基于该方法的收缩因子的计算公式, 讨论了迭代参数可能的选择, 通过参数的选择能有效提高二级迭代法的收敛效率. 最后通过数值实例验证了此方法的有效性.
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  关于热传导方程半离散差分格式的一个注记

  李厚彪, 钟尔杰

  计算数学. 2015, 37(4): 401-414. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.401

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  本文研究了热传导方程初边值问题的半离散化差分格式直接解算法. 分别从Dirichlet和Neumann边界条件出发, 直接由空间差分格式导出与时间相关的一阶常微分方程组, 随后通过正/余弦变换获得了原方程的半解析解, 并给出了相关收敛性分析.并对中心差分格式和紧差分格式的精度差异, 通过矩阵特征值理论给出了相关原因分析. 另外, 对于二维热传导方程初边值问题, 应用矩阵张量积运算, 该直接解算法可直接演变成二重正(余)弦变换. 该方法由于不涉及时间上的离散, 从而具有较好的计算效率.
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  一个充分下降的有效共轭梯度法

  简金宝, 尹江华, 江羡珍

  计算数学. 2015, 37(4): 415-424. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.415

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  对于大规模无约束优化问题, 本文提出了一个充分下降的共轭梯度法公式, 并建立相应的算法. 该算法在不依赖于任何线搜索条件下, 每步迭代都能产生一个充分下降方向. 若采用标准Wolfe非精确线搜索求步长, 则在常规假设条件下可获得算法良好的全局收敛性. 最后, 对算法进行大规模数值试验, 并采用Dolan和Moré的性能图对试验效果进行刻画, 结果表明该算法是有效的.
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  一类非线性延迟微分方程数值解的振动性分析

  宋福义, 高建芳

  计算数学. 2015, 37(4): 425-438. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.425

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  本文考虑一类非线性延迟微分方程-带有单调造血率的造血模型数值解的振动性. 通过研究特征方程根的情况得到数值解振动的条件并且讨论了非振动的数值解的一些性质. 为了更有力的说明我们的结果, 最后给出了相应的算例.
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  粒子输运方程的子网格平衡格式的稳定性和收敛性

  杨容, 袁光伟, 朱少红

  计算数学. 2015, 37(4): 439-448. https://doi.org/10.12286/jssx.2015.4.439

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  本文研究四边形网格上求解粒子输运方程的有限体积格式, 其中角方向变量采用离散纵标(Sn)方法, 空间离散采用子网格平衡(SCB)格式. 利用能量估计方法, 证明了在正交网格上该格式的稳定性和离散解的收敛性.数值实验结果验证了格式的稳定性和离散解的收敛性.