2018年, 第40卷, 第2期　刊出日期：2018-06-15

  

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  前言

  武海军

  计算数学. 2018, 40(2): 117-118. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.117

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  高波数波动问题的多水平方法

  卢培培, 许学军

  计算数学. 2018, 40(2): 119-134. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.119

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  本文主要讨论求解高波数Helmholtz方程的多水平方法，主要回顾了一些具有代表性的多重网格方法.如Erlangga等人的shifted Laplacian预处理的多重网格法；Elman等提出的修正的多重网格方法；以及我们的基于连续内罚有限元（CIP-FEM）离散代数系统的多水平算法.最后还介绍了求解高波数时谐Maxwell方程的CIP-FEM离散代数系统的多水平算法.
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  Helmholtz问题的Robin型区域分解法

  刘勇翔, 许学军

  计算数学. 2018, 40(2): 135-148. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.135

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  Helmholtz问题的数值模拟在科学工程计算领域有着广泛的应用，快速高效求解Helmholtz方程离散代数系统一直是科学计算的重要研究方向.本文简要回顾了Helmholtz方程的区域分解型求解器的发展历程，重点介绍了我们提出的Robin型区域分解算法，同时比较了各类算法的优劣和特点.近年来Helmholtz方程的求解效率有了极大的提升，然而仍有一些本质困难尚待突破，如何高效求解Helmholtz方程，仍是具有挑战意义的研究课题.
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  高波数问题的超收敛性

  杜宇

  计算数学. 2018, 40(2): 149-170. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.149

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  本文考虑求解Helmholtz方程的有限元方法的超逼近性质以及基于PPR后处理方法的超收敛性质.我们首先给出了矩形网格上的p-次元在收敛条件k（kh）^2p+1≤C₀下的有限元解和基于Lobatto点的有限元插值之间的超逼近以及重构的有限元梯度和精确解之间的超收敛分析.然后我们给出了四边形网格上的线性有限元方法的分析.这些估计都给出了与波数k和网格尺寸h的依赖关系.同时我们回顾了三角形网格上的线性有限元的超收敛结果.最后我们给出了数值实验并且结合Richardson外推进一步减少了误差.
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  Helmholtz方程有限差分方法概述

  王坤, 张扬, 郭瑞

  计算数学. 2018, 40(2): 171-190. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.171

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  文章对最近二十年来Helmholtz方程有限差分方法方面的发展进行了概述.以相位误差为基础，文章分别对一维、二维、三维空间中该方面的研究结果进行了陈述，阐述了各种方法之间的差别与联系，特别展现了在高波数情况下不同差分格式对Helmholtz方程的计算效果，并且对高波数Helmholtz方程有限差分方法研究中现在存在的一些主要困难进行了讨论.
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  高波数Helmholtz方程的有限元方法和连续内罚有限元方法

  武海军

  计算数学. 2018, 40(2): 191-213. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.191

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  本文介绍高波数Helmholtz方程的有限元方法和连续内罚有限元方法.将以线性元情形为例，给出方法的明显依赖于波数k的预渐近稳定性和误差分析.我们将介绍三种证明方法.我们还讨论了内罚有限元方法的罚参数的选取以显著减少方法的污染误差.最后还给出数值例子验证理论结果.
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  薛定谔方程的整体几何光学近似

  郑春雄

  计算数学. 2018, 40(2): 214-226. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.2.214

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  整体几何光学方法是一种新的求解高频线性波动方程初值问题的渐进近似理论.该理论最初是对WKB初值数据问题提出来的.在本文中，我们将采用不同的方法，对这一方法予以重新推导，使得该理论同样适用于初值为扩展WKB函数的情形.特别地，我们将建立的理论用于薛定谔方程传播子的半经典近似上来.结果表明，整体几何光学方法提供的波场近似恰好是Kay提出的半相空间公式的一个实例.作为副产品，我们指出Van Vleck近似中起到关键作用的Maslov指标可以通过一个简单的代数关系式来确定.