2018年, 第40卷, 第3期　刊出日期：2018-09-15

  

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  基于几何连续的AT-β-Spline曲线曲面的构造

  张迪, 刘华勇, 李璐, 张大明, 王焕宝

  计算数学. 2018, 40(3): 227-240. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.227

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  为了更好地修改给定的样条曲线曲面，构造了满足几何连续的带两类形状参数的代数三角多项式样条曲线曲面，简称为AT-β-Spline.这种代数三角曲线曲面不仅具有普通三角多项式的性质，而且具有全局的和局部的形状可调性.同时还具备较为灵活的连续性.当两类形状参数在给定的范围内任意取值时，这种带两类形状参数的AT-β-Spline曲线满足一阶几何连续性；如果给定两段相邻曲线段中的两类形状参数满足-1≤ α ≤ 1，μ_i=λ_i+1或μ_i=λ_i=μ_i+1=λ_i+1时，则带两类形状参数的AT-β-Spline曲线满足C¹∩G²连续.另外利用奇异混合的思想，构造了满足C¹∩ G²插值AT-β-Spline曲线，解决曲线反求的几何连续性等问题.同时还给出了旋转面的构造，描述了两类形状参数对旋转面的几何外形的影响；当形状参数取特殊值时，这种AT-β-Spline曲线曲面可以精确地表示圆锥曲线曲面.从实验的结果来看，本文构造的AT-β-Spline曲线曲面是实用的有效的．
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  特殊五对角与七对角对称正定矩阵的一类反问题

  邓远北, 文亚云

  计算数学. 2018, 40(3): 241-253. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.241

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  针对线性代数方程组Ax=b，利用矩阵分解的思想，构造一类特殊五对角与七对角对称正定阵的矩阵分解，获得这类矩阵反问题解存在的充要条件和通解表达式.最后，给出了具体算法与数值算例.
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  Helmholtz方程Cauchy问题的间接积分方程方法

  孙瑶, 陈博

  计算数学. 2018, 40(3): 254-270. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.254

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  本文处理二维和三维Helmholtz方程的边界数据复原问题.通过利用位势理论近似问题的解，导出了解决Cauchy问题的一种非迭代积分方程方法.为了处理形成问题的不适定性，采用了Tikhonov正则化结合Morozov偏差原理的方法，并且给出了算法的收敛性和误差估计，最后给出了二维和三维的数值算例.通过数值算例我们检验了源点和边界之间距离的关系，算法关于噪声、源点数目的数值收敛性，稳定性.
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  求解时谐涡流模型鞍点问题的分块交替分裂隐式迭代算法的改进

  刘忠祥, 王翠薇, 王增琦

  计算数学. 2018, 40(3): 271-286. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.271

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  分块交替分裂隐式迭代方法是求解具有鞍点结构的复线性代数方程组的一类高效迭代法.本文通过预处理技巧得到原方法的一种加速改进方法，称之为预处理分块交替分裂隐式迭代方法.理论分析给出了新方法的收敛性结果.对于一类时谐涡旋电流模型问题，我们给出了若干满足收敛条件的迭代格式.数值实验验证了新型算法是对原方法的有效改进.
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  几乎不可压线弹性问题的新的Uzawa型自适应有限元方法

  葛志昊, 葛媛媛

  计算数学. 2018, 40(3): 287-298. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.287

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  本文针对几乎不可压线弹性问题设计新的Uzawa型自适应有限元方法，该方法可克服“闭锁”现象.通过引入“压力”变量将弹性问题转化为一个鞍点系统，对该系统将Uzawa型迭代法和自适应有限元方法相结合，建立了Uzawa型自适应有限元方法，并给出了该算法的收敛性.该算法采用低阶协调有限元逼近空间变量，选取的有限元空间对无需满足离散的BB条件.最后，数值算例验证了理论结果的正确性.
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  多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析

  王芬玲, 樊明智, 赵艳敏, 史争光, 石东洋

  计算数学. 2018, 40(3): 299-312. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.299

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  在各向异性网格下，针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程，给出了线性三角形元的高精度分析.首先，基于线性三角形元和改进的L₁格式，建立了一个全离散逼近格式，并证明了其无条件稳定性；其次，利用有限元插值算子与Riesz投影算子之间的关系及相关的高精度结果，导出了超逼近性质.进而，借助于插值后处理技术得到了超收敛估计.值得指出的是，单独利用插值算子或Riesz投影都无法得到上述超逼近和超收敛结果.最后，利用数值算例验证了理论分析的正确性.此外，对一些常见的有限单元在该方程的数值逼近方面，作了进一步探讨.
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  非线性耦合Schrödinger-KdV方程组的一个局部能量守恒格式

  郭峰

  计算数学. 2018, 40(3): 313-324. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.313

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  本文利用平均值离散梯度给出了一个构造哈密尔顿偏微分方程的局部能量守恒格式的系统方法.并用非线性耦合Schrödinger-KdV方程组加以说明.证明了格式满足离散的局部能量守恒律，在周期边界条件下，格式也保持离散整体能量及系统的其它两个不变量.最后数值实验验证了理论结果的正确性.
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  Toeplitz矩阵填充的四种流形逼近算法比较

  韩如意, 王川龙

  计算数学. 2018, 40(3): 325-336. https://doi.org/10.12286/jssx.2018.3.325

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  本文提出Toeplitz矩阵填充的四种流形逼近算法。在左奇异向量空间中对已知部分运用最小二乘法逼近，形成新的可行矩阵；并将对角线上的元素分别用均值，l₁范数，l_∞范数和中间数四种方法逼近使得迭代后的矩阵仍保持Toeplitz结构，节约了奇异向量空间的分解时间。最终找到合理的低秩矩阵来逼近未知的高秩矩阵，进而精确地完成Toeplitz矩阵的填充。理论上，分析了在一定条件下算法的收敛性。实验上，通过取不同的采样密度进行数值实验展示了四种算法的优劣。实验结果说明均值算法和l_∞范数算法大多用的时间较少，但是当采样密度和矩阵规模较大时，中间数算法的精度较高。