2019年, 第41卷, 第2期　刊出日期：2019-06-15

  

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青年评述
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  类Hartree-Fock方程的数值方法

  林霖

  计算数学. 2019, 41(2): 113-125. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.113

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  本文的主要目的是介绍近年来大基组下的类Hartree-Fock方程数值求解的一些进展.类Hartree-Fock方程出现在Hartree-Fock理论和含杂化泛函的Kohn-Sham密度泛函理论中，是电子结构理论中一类重要的方程.该方程在复杂的化学和材料体系的电子结构计算中有广泛地应用.由于计算代价的原因，类Hartree-Fock方程一般只被用在较小规模的量子体系（含几十到几百个电子）的计算.从数学角度上讲，类Hartree-Fock方程是一个非线性积分-微分方程组，其计算代价主要来自于积分算子的部分，也就是Fock交换算子.通过发展和结合自适应压缩交换算子方法（ACE），投影的C-DⅡS方法（PC-DⅡS）方法，以及插值可分密度近似方法（ISDF），我们大大降低了杂化泛函密度泛函理论的计算代价.以含1000个硅原子的体系为例，我们将平面波基组下的杂化泛函的计算代价降至接近不含Fock交换算子的半局域泛函计算的水平.同时，我们发现类Hartree-Fock方程的数学结构也为一类特征值问题的迭代求解提供了新的思路.
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  高阶分裂步(θ₁,θ₂,θ₃)方法的强收敛性

  岳超

  计算数学. 2019, 41(2): 126-155. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.126

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  本文首先提出一类高阶分裂步（θ₁，θ₂，θ₃）方法求解由非交换噪声驱动的非自治随机微分方程.其次在漂移项系数满足多项式增长和单边Lipschitz条件下，证明了当1/2 ≤ θ₂ ≤ 1时该方法是1阶强收敛的.此类方法包含很多经典的方法：如随机θ-Milstein方法，向后分裂步Milstein方法等.最后数值实验验证了所得结论.
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  Q_p空间中的de la Vallée Poussin平均

  陈英伟, 王钥

  计算数学. 2019, 41(2): 156-169. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.156

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  本文研究了单位球上的Q_p空间中的de la Vallée Poussin平均算子，并通过高阶光滑模来建立Jackson逼近定理.此外，我们还得到了Bernstein不等式，K-泛函和光滑模的等价刻画等结果.
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  求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的数值方法

  杨晋平, 李志强, 闫玉斌

  计算数学. 2019, 41(2): 170-190. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.170

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  本文利用Diethelm方法构造了一种逼近Riesz空间分数阶导数的O（△x^3-α）格式，其中1 < α < 2，△x是空间步长.进一步对一阶时间导数采用Crank-Nicolson方法离散，得到了求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的有限差分格式，并用矩阵方法证明了稳定性和收敛性，其误差估计为O（△t²+△x^3-α），其中△t为时间步长.最后，数值算例验证了差分格式的正确性和有效性.
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  非线性抛物方程混合有限元方法的高精度分析

  王俊俊, 李庆富, 石东洋

  计算数学. 2019, 41(2): 191-211. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.191

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  采用双线性元及零阶Raviart-Thomas元（Q₁₁+Q₁₀×Q₀₁）对非线性抛物方程讨论了一种H¹-Galerkin混合有限元方法.提出一个线性化的二阶格式，利用数学归纳法有技巧的导出了原始变量u在H¹（Ω）模意义下及流量p=▽u在L²（Ω）模意义下的O（h²+τ²）阶超逼近性质.引入一个有关初始点的时间离散方程，并利用其得到了▽ ·在L²（Ω）模意义下的O（h²+τ²）阶的超逼近结果.同时利用插值后处理技巧得到整体超收敛.最后，数值算例结果验证了理论分析（其中，h是剖分参数，τ是时间步长）.
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  线性分式多乘积规划问题的完全多项式时间近似算法

  申子慧, 申培萍

  计算数学. 2019, 41(2): 212-218. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.212

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  本文针对线性分式多乘积规划问题，通过Charnes-Cooper转化将原问题转化为一个等价问题，借助此等价问题提出一个获得原问题全局近似最优解的算法，最终证明了算法的收敛性，且提供了算法运算时间的理论分析.
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  关于“一类非奇异H-矩阵判定的新条件”一文的注记

  庹清, 陈茜

  计算数学. 2019, 41(2): 219-224. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.2.219

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  通过构造新的正对角因子元素，本文给出了几个判定非奇异H-矩阵新的充分条件，改进和推广了"一类非奇异H-矩阵判定的新条件"一文的主要结果，并用数值例子说明了文中结果判定范围的更加广泛性.