2019年, 第41卷, 第4期　刊出日期：2019-12-15

  

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青年评述
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  图像反问题中的数学与深度学习方法

  董彬

  计算数学. 2019, 41(4): 343-366. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.343

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  我们生活在数字的时代，数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分，而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题，包括图像降噪，去模糊，修复，生物医学成像等，是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法，即以小波（框架）为代表的计算调和分析法、偏微分方程（PDE）方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式，探讨它们之间的联系与区别，优点与缺点，探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.
论文
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  一类融合逼近和插值的曲线细分

  马欢欢, 张莉, 唐烁, 檀结庆

  计算数学. 2019, 41(4): 367-380. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.367

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  采用生成多项式为主的方法对一类融合逼近和插值三重细分格式的支撑区间、多项式生成、连续性、多项式再生及分形性质进行了分析，给出并证明了极限曲线C^k连续的充分条件.通过对融合型细分规则中参数变量的适当选择来实现对极限曲线的形状调整，从而衍生出具有良好性质的新格式，并将这类新格式与现有格式进行比较.数值实例表明这类新格式生成的极限曲线具有较好的保形性.
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  非定常对流扩散方程保正格式解的存在性

  张燕美, 兰斌, 盛志强, 袁光伟

  计算数学. 2019, 41(4): 381-394. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.381

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  本文发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.该格式为单元中心型有限体积格式，保持局部通量的守恒性，适用于任意星形多边形网格，本文证明了该离散格式解的存在性，并给出数值结果，表明该格式具有二阶精度.
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  二阶锥线性互补问题的广义模系矩阵分裂迭代算法

  李枝枝, 柯艺芬, 储日升, 张怀

  计算数学. 2019, 41(4): 395-405. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.395

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  通过将二阶锥线性互补问题转化为等价的不动点方程，介绍了一种广义模系矩阵分裂迭代算法，并研究了该算法的收敛性.进一步，数值结果表明广义模系矩阵分裂迭代算法能够有效地求解二阶锥线性互补问题.
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  一类张量特征值互补问题

  罗刚, 杨庆之

  计算数学. 2019, 41(4): 406-418. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.406

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  矩阵特征值互补问题在力学系统领域有广泛的应用.在本文中，我们提出了一类特殊的四阶张量特征值互补问题，它是矩阵特征值互补问题的推广.我们对该特征值互补问题解的存在性，计算复杂度等性质进行了初步的研究.在一定条件下，我们建立了该互补问题同一类非线性约束优化问题的等价性联系，并由此提出了平移投影幂法来求解该特征值互补问题.
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  矩阵形式二次修正Maxwell-Dirac系统的多尺度算法

  付姚姚, 曹礼群

  计算数学. 2019, 41(4): 419-439. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.419

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  带二次修正项的Dirac方程在拓扑绝缘体、石墨烯、超导等新材料电磁光特性分析中有着十分广泛的应用.本文工作的创新点有：一是首次提出了矩阵形式带有二次修正项的Dirac方程，它是比较一般的数学框架，涵盖了上述材料体系很多重要的物理模型，具体见附录A；二是针对上述材料体系的电磁响应问题，提出了有界区域Weyl规范下具有周期间断系数矩阵形式带二次修正项Maxwell-Dirac系统的多尺度渐近方法，结合Crank-Nicolson有限差分方法和自适应棱单元方法，发展了一类多尺度算法.数值试验结果验证了多尺度渐近方法的正确性和算法的有效性.
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  带乘性噪声的空间分数阶随机非线性Schrödinger方程的广义多辛算法

  刘子源, 梁家瑞, 钱旭, 宋松和

  计算数学. 2019, 41(4): 440-452. https://doi.org/10.12286/jssx.2019.4.440

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  带乘性噪声的空间分数阶随机非线性Schrödinger方程是一类重要的方程，可应用于描述开放非局部量子系统的演化过程.该方程为一个无穷维分数阶随机Hamilton系统，且具有广义多辛结构和质量守恒的性质.针对该方程的广义多辛形式，在空间上采用拟谱方法离散分数阶微分算子，在时间上则采用隐式中点格式，构造出一类保持全局质量的广义多辛格式.对行波解和平面波解等进行数值模拟，结果验证了所构造格式的有效性和保结构性质，时间均方收敛阶约在0.5到1之间.