2020年, 第42卷, 第1期　刊出日期：2020-02-15

  

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青年评述
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  弱有限元方法在线弹性问题中的应用

  张然

  计算数学. 2020, 42(1): 1-17. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.1

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  本文考虑弱有限元（简称WG）方法在线弹性问题中的应用.WG方法是传统有限元方法的推广，用于偏微分方程的数值求解.和传统有限元一样，它的基本思想源于变分原理.WG方法的特点是使用在剖分单元内部和剖分单元边界上分别有定义的分片多项式函数（即弱函数）作为近似函数来逼近真解，并针对弱函数定义相应的弱微分算子代入数值格式进行计算.除此之外，WG方法允许在数值格式中引进稳定子以实现近似函数的弱连续性.WG方法具有允许使用任意多边形或多面体剖分，数值格式与逼近函数构造简单，易于满足相应的稳定性条件等优点.本文考虑WG方法在求解线弹性问题中的应用.围绕线弹性问题数值求解中常见的三个问题，即：数值格式的强制性，闭锁性，应力张量的对称性介绍WG方法在线弹性问题求解中的应用.
论文
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  中立型随机延迟微分方程分裂步θ方法的强收敛性

  彭捷, 代新杰, 肖爱国, 卜玮平

  计算数学. 2020, 42(1): 18-38. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.18

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  中立型随机延迟微分方程常出现在一些科学技术和工程领域中.本文在漂移系数和扩散系数关于非延迟项满足全局Lipschitz条件，关于延迟项满足多项式增长条件以及中立项满足多项式增长条件下，证明了分裂步θ方法对于中立型随机延迟微分方程的强收敛阶为1/2.数值实验也验证了这一理论结果.
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  广义鞍点问题的改进的类SOR算法

  张纯, 贾泽慧, 蔡邢菊

  计算数学. 2020, 42(1): 39-50. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.39

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  针对广义鞍点问题，本文提出了一个改进的类逐次超松弛迭代算法，在较弱的条件下，分析了算法的收敛性及线性收敛率.新算法的每步计算量与已有的算法类似，都是需要（近似）求解线性方程组，但新算法有更好的灵活度通过合适地选取参数矩阵，每一步子问题可以容易地求解，甚至可以有闭式解（closed-form solution）.数值实验结果显示了新算法的有效性.
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  正则化HSS预处理鞍点矩阵的特征值估计

  曹阳, 陈莹婷

  计算数学. 2020, 42(1): 51-62. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.51

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  最近，Bai和Benzi针对鞍点问题提出了一类正则化HSS（Regularized Hermitian and skew-Hermitian splitting，RHSS）预处理子（BIT Numer.Math.，57（2017）287-311）.为了进一步分析RHSS预处理子的效果，本文重点研究了RHSS预处理鞍点矩阵特征值的估计，分析了复特征值实部和模的上下界、实特征值的上下界，还给出了特征值均为实数的充分条件.当正则化矩阵取为零矩阵时，RHSS预处理子退化为HSS预处理子，分析表明本文给出的复特征值实部的界比已有的结果更精确.数值算例验证了本文给出的理论结果.
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  求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法

  王丽, 罗玉花, 王广彬

  计算数学. 2020, 42(1): 63-79. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.63

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  为了快速求解一类来自加权线性最小二乘问题的2×2块线性系统，本文提出一类新的预处理子用以加速GAOR方法，也就是新的预处理GAOR方法.得到了一些比较结果，这些结果表明当GAOR方法收敛时，新方法比原GAOR方法和之前的一些预处理GAOR方法有更好的收敛性.而且，数值算例也验证了新预处理子的有效性．
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  自适应稀疏伪谱逼近新方法

  林济铿, 袁恺明, 申丹枫, 罗萍萍, 刘阳升

  计算数学. 2020, 42(1): 80-100. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.80

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  自适应稀疏伪谱逼近法是广义混沌多项式类方法的最新进展，相对于其它方法具有计算精度高、速度快的优点.但它仍存在如下缺点：1）终止判据对逼近误差的估计精度偏低；2）只适用于单输出问题.本文提出了适用于多输出问题且具有更高逼近精度的自适应稀疏伪谱逼近新方法.本文首先提出了新型终止判据及基于此新型终止判据的自适应稀疏伪谱逼近新方法，并以命题的形式证明了新型终止判据相比于现有终止判据具有更高的估计精度，从而使基于此的逼近函数精度更接近于预期精度；进而，本文基于指标集的统一策略和新型终止判据，提出了适用于多输出问题的自适应稀疏伪谱逼近新方法，该方法因能充分利用各输出变量的抽样结果，具有比将单输出方法直接推广到多输出问题更高的计算效率.多个算例验证了本文所提出新方法的有效性和正确性.
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  非稳态奇异系数微分方程的时间间断时空有限元方法

  何斯日古楞, 李宏, 刘洋, 方志朝

  计算数学. 2020, 42(1): 101-116. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.101

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  针对一类二维单轴奇异系数非稳态问题构造了一种时间间断时空有限元格式，利用以Radau点为节点的Lagrange插值多项式的特性，结合有限差分法和有限元法的技巧证明了格式的稳定性和有限元解的时间最大模、空间加权L²（?）-模误差估计.最后列举了一些数值试验结果，验证了理论结果和格式的可行性.
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  计算矩阵函数双线性形式的Krylov子空间算法的误差分析

  贾仲孝, 孙晓琳

  计算数学. 2020, 42(1): 117-130. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.1.117

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  矩阵函数的双线性形式u^Tf（A）v出现在很多应用问题中，其中u，v ∈ Rⁿ，A ∈ R^n×n，f（z）为给定的解析函数.开发其有效可靠的数值算法一直是近年来学术界所关注的问题，其中关于其数值算法的停机准则多种多样，但欠缺理论支持，可靠性存疑.本文将对矩阵函数的双线性形式u^Tf（A）v的数值算法和后验误差估计进行研究，给出其基于Krylov子空间算法的误差分析，导出相应的误差展开式，证明误差展开式的首项是一个可靠的后验误差估计，据此可以为算法设计出可靠的停机准则.