2022年, 第44卷, 第2期　刊出日期：2022-05-14

  

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青年评述
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  曲率流的参数化有限元逼近

  李步扬

  计算数学. 2022, 44(2): 145-162. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0871

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  许多物理现象可以在数学上描述为受曲率驱动的自由界面运动,例如薄膜和泡沫的演变、晶体生长,等等.这些薄膜和界面的运动常依赖于其表面曲率,从而可以用相应的曲率流来描述,其相关自由界面问题的数值计算和误差分析一直是计算数学领域中的难点.参数化有限元法是曲率流的一类有效计算方法,已经能够成功模拟一些曲面在几类基本的曲率流下的演化过程.本文重点讨论曲率流的参数化有限元逼近,它的产生、发展和当前的一些挑战.
论文
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  非全局Lipschitz条件下跳适应向后Euler方法的强收敛性分析

  杨旭, 赵卫东

  计算数学. 2022, 44(2): 163-177. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0757

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  本文研究跳适应向后Euler方法求解跳扩散随机微分方程在非全局Lipschitz条件下的强收敛性.通过克服方程非全局Lipschitz系数给收敛性分析带来的主要困难,我们成功地建立了跳适应后向Euler方法的强收敛性结果并得到相应的收敛率.最后,我们通过数值试验对前文所得理论结果做进一步的验证.
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  求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法

  宋珊珊, 李郴良

  计算数学. 2022, 44(2): 178-186. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0732

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  本文提出了求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法.其基本思想是,先将张量互补问题转化为等价的模系方程组,然后引入一个逼近的光滑函数进行求解.我们分析了算法的收敛性,并通过数值实验验证了所提出算法的有效性.
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  几乎各向同性的高维空间分数阶扩散方程的分块快速正则Hermite分裂预处理方法

  刘瑶宁

  计算数学. 2022, 44(2): 187-205. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0743

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  一类空间分数阶扩散方程经过有限差分离散后所得到的离散线性方程组的系数矩阵是两个对角矩阵与Toeplitz型矩阵的乘积之和.在本文中,对于几乎各向同性的二维或三维空间分数阶扩散方程的离散线性方程组,采用预处理Krylov子空间迭代方法,我们利用其系数矩阵的特殊结构和具体性质构造了一类分块快速正则Hermite分裂预处理子.通过理论分析,我们证明了所对应的预处理矩阵的特征值大部分都聚集于1的附近.数值实验也表明,这类分块快速正则Hermite分裂预处理子可以明显地加快广义极小残量(GMRES)方法和稳定化的双共轭梯度(BiCGSTAB)方法等Krylov子空间迭代方法的收敛速度.
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  求解M-张量方程的两种新型算法

  邵新慧, 祁猛

  计算数学. 2022, 44(2): 206-216. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0756

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  多重线性系统在当今的工程计算和数据挖掘等领域有很多实际应用,许多问题可以转化为多重线性系统求解问题.在本文中,我们首先提出了一种新的迭代算法来求解系数张量为M-张量的多重线性系统,在此基础上又提出了一种新的改进算法,并对两种算法的收敛性进行了分析.数值算例的结果表明,本文提出的两种算法是有效的并且改进算法的迭代时间更少.
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  椭圆型界面问题的破裂再生核方法

  杨学敏, 牛晶, 姚春华

  计算数学. 2022, 44(2): 217-232. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0791

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  本文基于一维椭圆型界面问题提出了一种有效的数值方法.首先,根据模型构建一个崭新的破裂再生核空间.其次,应用破裂再生核方法给出了此类界面问题的近似解,并讨论该方法的收敛性.最后,通过几个有效的数值算例来说明该方法的精确性和稳定性.
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  求线性比式和问题全局解的输出空间分枝定界算法

  张博, 高岳林

  计算数学. 2022, 44(2): 233-256. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0807

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  基于对p-1维输出空间进行剖分的思想,提出了一种求解线性比式和问题的分枝定界算法.通过一种两阶段转换方法得到原问题的一个等价问题,该问题的非凸性主要体现在新增加的p-1个非线性等式约束上.利用双线性函数的凹凸包络对这些非线性约束进行凸化,这就为等价问题构造了凸松弛子问题.将凸松弛子问题中的冗余约束去掉并进行等价转换,从而获得了一个比凸松弛子问题规模更小、约束更少的线性规划问题.证明了算法的理论收敛性和计算复杂性.数值实验表明该算法是有效可行的.
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  求解非定常Lavrentiev迭代方程的多尺度配置法

  罗兴钧, 江伟娟, 张荣

  计算数学. 2022, 44(2): 257-271. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0842

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  本文采用多尺度配置法求解第一类弱扇形积分方程.将压缩配置法用于投影离散非定常迭代正则化方程,得到了近似解在Banach空间范数下误差估计,给出了迭代停止准则,确保近似解无穷范数下的最优收敛率.优点是确保了收敛率,减少了计算量.数值例子验证了算法的有效性.
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  求解带线性约束的凸优化的一类自适应不定线性化增广拉格朗日方法

  马玉敏, 蔡邢菊

  计算数学. 2022, 44(2): 272-288. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0856

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  增广拉格朗日方法是求解带线性约束的凸优化问题的有效算法.线性化增广拉格朗日方法通过线性化增广拉格朗日函数的二次罚项并加上一个临近正则项,使得子问题容易求解,其中正则项系数的恰当选取对算法的收敛性和收敛速度至关重要.较大的系数可保证算法收敛性,但容易导致小步长.较小的系数允许迭代步长增大,但容易导致算法不收敛.本文考虑求解带线性等式或不等式约束的凸优化问题.我们利用自适应技术设计了一类不定线性化增广拉格朗日方法,即利用当前迭代点的信息自适应选取合适的正则项系数,在保证收敛性的前提下尽量使得子问题步长选择范围更大,从而提高算法收敛速度.我们从理论上证明了算法的全局收敛性,并利用数值实验说明了算法的有效性.