2023年, 第45卷, 第3期　刊出日期：2023-08-14

  

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青年评述
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  构建复杂系统的解景观

  张磊

  计算数学. 2023, 45(3): 267-283. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1121

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  很多交叉科学的实际问题在数学上都可以被归为求解具有多个变量的非线性函数或泛函的极小值问题, 如何有效地寻找其能量景观的全局极小和如何找到不同极小之间的关系是计算数学领域两个长久以来尚未解决的重要科学问题. 本文着重介绍近年来提出的“解景观”概念和方法. 我们将回顾解景观的概念、构建解景观的鞍点动力学方法、以及解景观在液晶和准晶方面的应用.
论文
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  自适应隐式有限差分方法求解美式期权定价问题

  解雯佳, 黄忠亿

  计算数学. 2023, 45(3): 284-298. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-1025

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  本文针对美式期权的定价问题设计了基于有限差分方法的预估-校正数值算法. 该算法采用显式离散格式先对自由边界条件进行预估, 再对经过变量替换后的关于期权价格的偏微分方程采用隐式格式离散, 并用Fourier 方法分析了此离散格式的稳定性. 接下来, 引入基于Richardson外推法的后验误差指示子. 这个后验误差指示子能够在给定的误差阈值范围内, 针对期权价格和自由边界找到合适的网格划分. 最后, 通过设计多组数值实验并与Fazio^[1]采用显式离散格式算得的数值结果相比较, 验证了所提算法的有效性, 稳定性和收敛性.
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  两个谱共轭梯度法的全局收敛性及数值效果

  刘鹏杰, 邵虎, 简金宝, 宋丹

  计算数学. 2023, 45(3): 299-308. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0893

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  谱共轭梯度法是求解无约束优化的一种有效算法. 该文首先对JJSL共轭参数[Jiang et al. Computational and Applied Mathematics, 2021, 40(174)] 进行投影修正, 再通过选取合适谱参数以保证其搜索方向有下降性, 从而得到两个有效的谱共轭梯度法. 一般假设下, 分别使用常规非精确线搜索计算步长, 获得这两个新算法的全局收敛性. 数值试验结果以及相应性能图进一步说明其数值有效性.
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  求解大规模$\ell_1$问题的L-BFGS算法

  陈鸿升, 叶建豪, 张嘉昊, 程万友

  计算数学. 2023, 45(3): 309-320. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0950

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  本文提出一种求解大规模$\ell_1$问题的L-BFGS算法. 在积极集集合上算法的搜索方向与临界阙值算法^[7,9]的方向相同, 自由空间集合上使用了L-BFGS的搜索方向. 在适当的条件下, 我们证明了使用非单调技术的算法是全局收敛的. 数值实验证明所提出的算法是有效的.
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  非精确信赖域类型算法及收敛性分析

  马德乐, 王湘美

  计算数学. 2023, 45(3): 321-343. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0960

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  在求解大规模数据的优化问题时, 由于数据规模和维数较大, 传统的算法效率较低. 本文通过采用非精确梯度和非精确Hessian矩阵来降低计算成本, 提出了非精确信赖域算法和非精确自适应三次正则化算法. 在一定条件下, 证明了算法有限步停止, 并估计了算法迭代的复杂度. 特别地, 我们分析了采用随机抽样时算法在给定概率下的复杂度. 最后, 通过二分类问题的数值求解, 比较了本文提出的随机信赖域算法, 随机自适应三次正则化算法和已有算法收敛效率. 数值结果表明在相同精度下, 本文提出的算法效率更高, 并且随机自适应三次正则化算法的效率优于随机信赖域算法.
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  求解非线性复合刚性脉冲微分方程的Euler分裂方法

  吕志, 余越昕

  计算数学. 2023, 45(3): 344-354. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0967

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  针对非线性复合刚性脉冲微分方程, 对其非刚性部分采用显式Euler方法求解, 对其刚性部分采用隐式Euler方法求解,得到了求解问题的Euler分裂方法, 研究了该方法的稳定性和收敛性.数值试验验证了所获理论的正确性,同时也表明该方法能显著提升计算速度.
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  求解非单调变分不等式的一种半空间投影算法

  黄遵杰, 何诣然

  计算数学. 2023, 45(3): 355-367. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0987

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  本文提出了一种求解非单调变分不等式的半空间投影算法, 在映射是连续和对偶变分不等式解集非空的假设条件下证明了该算法生成的无穷序列是全局收敛的, 并在局部误差界和Lipschitz连续条件下给出了收敛率分析. 通过数值实验验证了所提出算法的有效性和可行性.
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  一种基于过积分的能量稳定通量重构方法

  刘冉, 贾斐然, 朱华君, 燕振国, 冯新龙

  计算数学. 2023, 45(3): 368-384. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-1006

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  能量稳定通量重构 (Energy Stable Flux Reconstruction, ESFR) 方法在求解线性对流方程时具有能量稳定性质. 但在求解非线性方程时能量稳定性质的实现需要采用$L^2$投影, 否则可能由于存在混淆误差, 导致不稳定. 本文将ESFR与过积分相结合构造具有良好去混淆效果的高阶通量重构 (Flux Reconstruction, FR) 方法. 采用积分点大于求解点$(Q>P)$的取点方式, 从理论上分析了格式的能量稳定特性. 从数值上对比了$g_{DG}$与$g_{SD}$两种修正函数, 三种不同过积分取点方式, 并对比过积分与非过积分形式的ESFR$(Q=P)$}. 通过对一维非均匀线性对流方程、二维等熵涡及欠解析涡流算例的模拟, 结果表明: 在$g_{SD}$修正函数下,ESFR$(Q>P)$格式比ESFR$(Q=P)$格式去混淆效果更好, 数值误差更小; 对比两种修正函数,$g_{DG}$修正函数数值误差更小, 更稳定: 对比三种过积分通量点分布, 选定$g_{DG}$修正函数时, 通量点取Legendre-Gauss-Lobatto(LGL)点或者通量点基于高斯权重剖分会具有更好的非线性稳定性, 并且通量点取LGL点时最优.