2023年, 第45卷, 第4期　刊出日期：2023-11-14

  

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青年评述
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  卷积位势的快速算法

  张勇

  计算数学. 2023, 45(4): 385-400. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1147

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  卷积位势广泛存在于科学和工程领域, 它的高效高精度计算往往是数值仿真的瓶颈.卷积位势是典型的非局部积分, 卷积核函数通常在原点或者无穷远处具有奇异性,密度函数是光滑速降函数并可能具有较强的各向异性. 无论是从卷积还是从傅里叶积分出发,我们首先将全空间截断到有界矩形区域并将其等距离散, 再应用傅里叶谱方法来高精度逼近密度函数.理想的求解器需要在保证高精度的同时, 尽可能提高计算效率, 并妥善处理各向异性密度函数的情形.本文详细回顾了目前流行的三类基于积分方程的高精度快速算法, 包括基于非均匀快速傅里叶变换的算法、基于高斯和的算法与核截断算法. 它们都能达到谱精度, 计算效率都类似于离散快速傅里叶变换(FFT), 并都能处理各向异性的密度函数. 这三类算法具有离散卷积结构;一旦生成了离散张量, 位势的计算将转化为两倍长度向量的傅里叶变换, 计算效率达到了近似最优,且与各向异性强度无关.最后我们介绍了误差估计的已有结果, 并用实例从精度、效率和各向异性等方面展示了算法能力.
论文
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  带跳随机偏微分方程分裂算法收敛性研究

  张凤山, 杨祖豪, 邹永魁

  计算数学. 2023, 45(4): 401-414. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1058

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  本文对一类由维纳过程和泊松过程驱动的随机偏微分方程的数值求解方法进行了研究. 我们应用分裂算法的思想将方程分裂为三个简单的子方程, 并利用它们的解算子构造了分裂近似解, 同时研究了其收敛性和收敛阶. 之后我们用有限元方法和有限差分方法分别对空间变量和时间变量进行了离散化, 结合分裂算法构造了求解跳跃随机偏微分方程的全离散分裂近似解, 给出了误差分析结果. 最后我们用数值实验验证了算法的收敛阶.
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  求解块Lasso类型问题的邻近次梯度法

  李英毅, 张培华

  计算数学. 2023, 45(4): 415-425. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0649

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  Lasso问题是压缩感知, 信号处理和稀疏线性回归等领域的热点问题. 本文基于邻近算子提出了邻近次梯度方法来求解分块Lasso和稀疏分块Lasso类型问题.在问题的目标函数不需要强凸性的前提下证明了所提出算法的线性收敛速率并用数值实验验证了算法的效率.
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  非凸非光滑不可分优化的两个线性邻近Peaceman-Rachford分裂算法

  简金宝, 蔡靖民, 尹江华

  计算数学. 2023, 45(4): 426-446. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0948

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  本文研究一类非凸非光滑不可分优化. 基于Peaceman-Rachford(PR)分裂算法, 并结合Armijo线搜索技术及线性正则化技术, 提出了两个线性邻近PR分裂算法. 利用PR分裂算法思想, 将增广拉格朗日法涉及的子问题分解成两个小规模子问题. 为便于子问题的求解和使其具有良好的理论性质, 对子问题的目标函数中的光滑项作线性化处理, 并分别添加必要的正则项. 在常规假设下, 论证了算法的全局收敛性及迭代复杂性. 最后, 数值实验结果表明算法是有效的.
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  奇异摄动问题基于多尺度有限元格式的一致超收敛分析

  孙美玲, 江山, 黎野平

  计算数学. 2023, 45(4): 447-463. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0996

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  针对奇异摄动对流扩散边界层问题, 应用多尺度有限元法结合自适应的分层网格提出逼近理论并进行数值模拟. 多尺度有限元法仅需在粗尺度规模展开运算, 通过多尺度基函数建立尺度之间的映射关系, 实现从微观到宏观的数据嵌入. 再结合分层网格用于粗单元离散化, 能够自适应地逼近边界层. 理论证明了多尺度有限元解的能量范数误差估计具有稳定性和超收敛, 数值验证了其精确高效的一致超收敛结果.
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  近场动力学方程的E-SAV能量守恒格式及其误差分析

  翟梦姣, 陈春光

  计算数学. 2023, 45(4): 464-482. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-1005

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  本文基于E-SAV方法及复化梯形求积公式, 为近场动力学方程提出了一类二阶显式的能量守恒格式, 并对时间半离散格式进行了严格的误差分析. 数值结果验证了格式的能量守恒性及收敛阶.
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  离散Riesz空间分数阶对流-扩散方程中线性方程组的$\tau$矩阵预处理方法

  唐世平, 黄玉梅

  计算数学. 2023, 45(4): 483-496. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-1028

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  在Riesz空间分数阶对流-扩散方程的数值求解中, 通过采用加权移位的Grünwald差分格式对其空间导数进行离散以及Crank-Nicolson 格式对其时间导数进行离散, 得到一个系数矩阵为单位矩阵与两个对称正定Toeplitz矩阵之和的线性方程组. 在本文中, 对该线性方程组, 利用其系数矩阵的结构,提出了一种$\tau$预处理矩阵, 并采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组. 理论分析给出了预处理后系数矩阵的谱分布以及条件数估计. 数值实验结果也说明了所构造的预处理矩阵在采用预处理共轭梯度法求解Riesz空间分数阶对流-扩散方程离散后得到的线性方程组的有效性.
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  变分数阶非线性随机微积分方程的Euler-Maruyama方法

  吕静云, 张静娜, 郑雨

  计算数学. 2023, 45(4): 497-512. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1142

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  本文对一类变分数阶非线性随机微积分方程初值问题构造了Euler-Maruyama (EM)方法进行数值求解. 然后, 证明了该EM方法的强稳定性和强收敛性, 其强收敛阶为$\max\{1-\alpha^{*}, 0.5$}, 其中$\alpha^{*}=\max\{\alpha(t)\}$, 这里$\alpha(t)$ 是Riemann-Liouville变分数阶导数的阶数. 最后, 用数值试验验证了该EM方法的强收敛阶.