2024年, 第46卷, 第3期　刊出日期：2024-08-14

  

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  复对称不定线性方程组的不均衡变形PMHSS预处理算法

  曾闽丽, 赵开英, 朱睦正

  计算数学. 2024, 46(3): 253-271. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1119

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  本文在复对称不定线性方程组的等价形式的基础上, 结合预处理的修正的Hermitian与反Hermitian分裂(PMHSS)迭代法的设计思路, 提出了PMHSS迭代方法的一种不均衡变形迭代格式(即: LVPMHSS迭代法). 在理论上详细分析了LVPMHSS迭代法的收敛性, 同时, 还给出了特殊预处理矩阵下的LVPMHSS预处理矩阵的谱性质, 并通过极小化对应迭代法的迭代矩阵谱半径得到拟最优迭代参数. 数值实验的结果验证了新算法的可行性与有效性.
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  基于分裂迭代算法求解多重线性PageRank问题

  唐舒婷, 邓秀勤, 刘冬冬

  计算数学. 2024, 46(3): 272-290. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1128

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  本文针对多重线性PageRank问题, 结合松弛技术, 提出了新的张量分裂算法, 并给出了相应的收敛性分析. 数值实验表明, 在适当选择松弛参数的情况下, 新算法具有较好的数值效果.
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  多维标度问题的一类直接拟合法

  宋佳铄, 周学林, 李姣芬

  计算数学. 2024, 46(3): 291-311. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1132

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  多维标度分析(MDS)是一种用于分析和可视化数据之间相似性或距离关系的统计方法, 它通过将数据点映射到低维空间中的坐标来表示它们之间的相对距离或相似性. 多维标度问题的古典解通过对(非欧氏型)距离矩阵平方进行双中心化处理, 进而通过截断特征值分解寻求低维的拟合构造点. 本文对距离矩阵平方进行直接拟合, 重构问题为零列和Stiefel子流形和线性流形约束下的矩阵优化模型, 并结合乘积流形几何性质, 设计一类自适应问题模型的基于Zhang-Hager技术拓展的黎曼梯度下降求解算法. 数值实验说明通过直接拟合能得到误差更小的拟合欧氏距离矩阵, 且所提算法与已有投影梯度流算法及黎曼优化工具箱中的黎曼一阶和二阶算法在迭代效率上有一定的优势.
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  求解不可分的非凸优化问题的广义惯性交替结构化邻近梯度下降算法

  高雪, 王坛兴, 王凯, 董小妹

  计算数学. 2024, 46(3): 312-330. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1134

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  本文考虑求解一类不可分的非凸非光滑优化问题, 该问题的目标函数由如下两部分组成: 关于全局变量不可分的正常下半连续双凸函数, 与两个关于独立变量的无利普希茨连续梯度的非凸函数. 本文提出广义的惯性交替结构化邻近梯度下降算法(general inertial alternating structure-adapted proximal gradient descent algorithm, 简记为 GIASAP 算法), 该算法框架不仅引入非线性邻近正则项与惯性加速技巧, 同时采用常数步长与动态步长两种策略. 本文证明了GIASAP算法O(1/k)的非渐近收敛率, 以及当目标函数具有Kurdyka-Łojasiewicz性质时, 由GIASAP算法生成的有界序列全局收敛到问题的驻点. 最后, 本文通过数值实验验证了算法的可行性与有效性.
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  黎曼流形上邻近点算法的收敛速度研究

  刘仁金, 王湘美

  计算数学. 2024, 46(3): 331-340. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1143

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  在目标函数满足Lojasiewicz性质的条件下, 建立了一般流形上邻近点算法的收敛速度. 所得结果在黎曼流形上是新的, 改进了欧氏空间中的相应结果.
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  基于一类块2×2结构矩阵的Schur补矩阵的预处理技术优化研究

  李地根, 汪祥, 周鹏, 廖丽丹

  计算数学. 2024, 46(3): 341-369. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1148

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  本文针对一类块2×2结构的线性方程组, 利用其系数矩阵的结构性质以及Schur补近似矩阵的匹配技巧, 讨论了两类Schur补矩阵的近似矩阵以及它们之间的关系, 提出了一个新的结构约束预处理子, 并且给出了该预处理子理论推导和算法优势. 通过极小化预处理矩阵的谱聚集程度, 得到了优化这两类Schur补矩阵的参数选择策略及特征值分布, 并证明了在满足一定特殊条件下, 可以进一步改进和优化基于Schur补近似的预处理技术. 同时比较了这两类Schur补近似矩阵的效果及其适用范围, 最后总结得到一类通用可靠且有效的预处理技术, 并运用在目前最有效的三类预处理子上. 我们通过几个数值实验例子证明理论分析是可信服的, 也验证了优化的预处理子的有效性.
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  求解非凸复合优化问题的惯性Bregman邻近梯度算法

  王霄婷, 龙宪军, 彭再云

  计算数学. 2024, 46(3): 370-384. https://doi.org/10.12286/jssx.j2023-1165

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  本文引入线搜索准则, 提出了一种带惯性项的 Bregman 邻近梯度算法求解一类非凸复合优化问题, 其中目标函数为相对光滑的损失函数与非光滑正则函数之和. 在广义凹Kurdyka-Łojasiewicz (KL) 性质的假设下, 证明了算法的全局收敛性. 最后将算法应用于图像恢复问题和非凸的$l_{1/2}$ 稀疏优化问题, 数值实验表明新算法的有效性与优越性.
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  Floquet变换及其在电子结构计算中的应用

  张丹, 付佳, 田虹

  计算数学. 2024, 46(3): 385-396. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1208

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  Floquet变换是研究具有周期平移不变性算子的数学工具,本文从这个视角讨论了周期体系量子特征值问题的基本数学性质,由Floquet变换得到Bloch函数, 通过Floquet逆变换定义Wannier函数.在此过程中, 证明了作用于周期单元平方可积函数的算子$H({\bf k})$的自伴性及预解集紧性、Wannier函数作为$L^2(\mathbb{R}^d)$基底的正交性与完备性. 还证明了孤立能带关于${\bf k}$的连续可微性,介绍了非孤立能带组的光滑化.最后, 从Wannier函数的Floquet变换出发, 介绍了能带的插值计算.