2025年, 第47卷, 第2期　刊出日期：2025-05-14

  

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学术展望
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  基于Lean的数学形式化简介

  李晨毅, 文再文

  计算数学. 2025, 47(2): 191-213. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1273

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  本文粗略地探讨数学形式化的基本原理与应用, 重点介绍形式化语言Lean及其在数学优化中的应用进展. 我们先回顾数学形式化的发展背景, 阐述形式化语言Lean的构建原理及其正确性保障机制, 介绍Lean语言中的定理库Mathlib4的作用. 通过自然语言与形式化证明的对比, 阐述利用形式化验证数学的优势, 强调形式化在数学理论的准确验证中的重要作用. 在数学优化领域, 本文讨论目前数学优化理论的形式化进展, 以二次上界引理等经典定理的形式化实例, 进一步给出形式化数学的特点与优势. 此外, 我们探讨运筹优化中的形式化目标, 以及自动形式化和自动定理证明的可能性, 分析自动化工具在数学形式化过程中的潜力与挑战. 最后总结数学形式化的研究现状, 提出一些推动形式化领域发展的建议, 并探讨形式化在应用数学理论发展中的重要意义.
论文
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  求解垂直非线性互补问题的多分裂并行迭代法

  郑华, 张永雄, 卢晓平

  计算数学. 2025, 47(2): 214-233. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1198

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  垂直非线性互补问题在实际中有着广泛的应用, 设计求解垂直非线性互补问题的数值方法是近年来学者们的研究热点. 为充分利用高性能计算机进行求解, 本文运用矩阵多分裂结合垂直非线性互补问题的等价模方程建立了一类模系同步多分裂迭代法, 在$H$-矩阵的假设下给出模系同步多分裂迭代法的若干收敛性条件, 并得到常见的加速超松弛多分裂迭代过程松弛参数的收敛域, 最后在OpenACC框架下通过数值实验展示模系同步多分裂迭代法的高效并行计算效率.
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  时间分数阶扩散方程的全离散混合有限元法

  曾玲, 陈豫眉, 谢小平

  计算数学. 2025, 47(2): 234-254. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1202

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  本文针对一类含$\alpha\in(0,1)$阶Riemann-Liouville导数的时间分数阶扩散方程,提出了一类时空混合有限元法: 空间离散采用$m(m\geq0)$阶的Raviart-Thomas(RT)有限元, 时间离散采用分片$r(r\ge 0)$次间断Galerkin(DG)有限元. 由于解在$t=0$附近有奇性, 时间方向上使用等级网格. 分析了全离散格式的适定性. 对于时间离散采用分片常数$(r=0)$DG格式和分片线性$(r=1)$DG格式这两种情形, 推导了全离散误差估计, 并给出了数值实验.
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  多维标度分析中个体差异标度模型的向量序列加速算法

  陈新, 覃月凤, 周学林, 李姣芬

  计算数学. 2025, 47(2): 255-284. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1213

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  多维标度分析是一种在低维空间中以点间距离展现观测对象之间相似性测度或亲疏关系的多维数据分析方法, 其通过在低维空间中表示高维数据, 保留数据点之间的相对距离关系. 本文主要针对对称多维标度中一类考虑观测对象之间个体差异的个体差异标度模型(O-INDSCAL)设计有效的数值求解算法. 首先基于交替最小二乘迭代算法思想将模型对应的多变量约束矩阵优化问题转换为不动点迭代问题, 并结合向量序列加速原理给出加速算法的具体实施过程, 进而设计适应问题模型的基于极小多项式外推加速, 降秩外推加速和修正极小多项式外推加速, 以及Anderson加速的不动点迭代加速算法. 数值实验说明表明所考虑的加速算法均可提高由不动点迭代生成序列的收敛速度, 同时较O-INDSCAL 模型求解已有的基于连续时间的投影梯度流算法和基于流形优化的黎曼优化工具箱Manopt中若干黎曼一阶和二阶算法在迭代效率上均有较为明显的优势.
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  基于GA-Hermite神经网络的分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程数值解法研究

  胡行华, 王池

  计算数学. 2025, 47(2): 285-303. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1214

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  本文将Hermite多项式作为神经网络的隐层, 利用遗传算法优化Hermite神经网络的初始权值, 同时选取遗传算法优化的Hermite神经网络实际输出与期望输出的误差函数的倒数作为遗传算法的适应度函数, 构造一种新的遗传算法优化的Hermite神经网络求解Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程的数值方法. 结合多点处的泰勒公式, 给出Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程数值解的一般形式, 理论探究了该算法的绝对误差及收敛性. 与现有数值方法进行比较, 结果表明本文方法的有效性和可行性.
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  多延迟中立型微分方程的数值振动性分析

  于海芳, 高建芳

  计算数学. 2025, 47(2): 304-314. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1215

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  本文主要讨论了一类含有多项延迟的中立型延迟微分方程数值解的振动性, 利用线性$\theta$-方法离散原方程得到相应的差分方程, 通过讨论差分方程解的性质，把原方程数值解的振动性质转化为一个非中立型差分方程解的振动性.根据差分方程振动性与特征方程特征根的关系, 分别讨论了当$0\leq \theta \leq \frac{1}{2}$ 和$\frac{1}{2}<\theta \leq1$ 时数值解的振动性. 同时对非振动数值解的性质也做了研究, 最后给出了数值算例阐述了结论.
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  求解非光滑DC规划问题的三算子分裂算法

  高晓楠, 龙宪军

  计算数学. 2025, 47(2): 315-325. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1218

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  本文提出了一种带惯性项的自适应步长三算子分裂算法求解非光滑 DC 规划问题. 在适当的条件下, 证明了由算法产生的迭代序列收敛到问题的稳定点. 最后将算法应用于稀疏恢复问题, 数值实验表明新算法的有效性和优越性.
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  多孔介质中单相多组分可压渗流的数值模拟

  朱文昌

  计算数学. 2025, 47(2): 326-346. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1221

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  单相多组分渗流问题在油气藏、地下水污染等广泛存在, 对其进行数值模拟研究具有重要的意义.本文针对传统IMPEC(隐式压力显式摩尔密度)方法存在对所有组分不遵循质量守恒问题, 采用一种对每一组分质量守恒的保物理性IMPEC方法进行时间离散, 迎风块中心有限差分方法对压力方程、达西方程和组分方程空间离散.本文在合理的假设条件下, 对所构造的所有组分保质量守恒的特性以及摩尔密度分别进行了严格的证明.最后, 本文通过单相多组分渗流问题进行数值模拟, 验证所算法的有效性.
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  二维Sobolev方程基于POD方法的降维高阶紧致差分外推算法

  纪敏, 李宏

  计算数学. 2025, 47(2): 347-362. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1222

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  推导二维Sobolev方程具有空间四阶精度的紧致差分格式, 证明了紧致差分格式的收敛性. 改写差分格式为矢量形式, 利用特征投影分解(Proper Orthogonal Decomposition, 简称 POD)方法构造降维高阶紧致差分格式, 并证明了近似解的误差估计. 给出数值算例, 分别计算紧致差分格式和降维紧致差分格式的数值误差, 空间收敛阶和时间收敛阶, 验证了实验结果和理论分析相符, 进一步对比降维前后两种格式的CPU计算时间, 表明了应用POD方法用于紧致格式降维的优越性.
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  广义周期斜对称三对角矩阵的逆特征值问题

  曾雨, 徐伟孺, 胡文宇

  计算数学. 2025, 47(2): 363-384. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1231

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  本文考虑一类由斜对称三对角矩阵和周期斜对称三对角矩阵结合而成的特殊矩阵, 简称为广义周期斜对称三对角矩阵. 研究了一个构造该矩阵的逆特征值问题, 即从给定的三个平衡集和一个正数中来构造该类矩阵. 首先将该矩阵酉相似于一个广义周期对称三对角矩阵, 从而来分析该矩阵的特征值与其顺序主子矩阵和尾主子矩阵的特征值之间的关系, 分别从这两个主子矩阵的谱是否有交集和尾主子矩阵阶数的奇偶性等两个方面进行讨论. 进而给出不同情形下该逆特征值问题有解的充要条件, 并且确定了解存在时的最大个数和重构算法. 最后通过两个数值算例验证了该算法的有效性.