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2025年, 第47卷, 第4期　刊出日期：2025-10-14
  

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    论文
  • 非线性跳扩散问题的跳适应分裂步向后Euler方法强误差分析
    杨旭, 陈清, 赵卫东
    计算数学. 2025, 47(4): 561-575. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1241
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    基于跳适应的时间剖分, 本文研究提出求解一类非线性跳扩散问题的跳适应分裂步向后Euler数值逼近方法. 在非全局Lipschitz条件下, 通过克服强非线性系数和随机时间剖分以及弱时间正则性给数值分析带来的主要困难, 我们严格证明了跳适应分裂步向后Euler方法的强收敛性, 并得到该数值方法的最优均方收敛阶. 最后, 数值试验进一步验证了所得理论结果.
  • 求解双线性鞍点问题的自由步长原始对偶算法
    许龙, 常小凯
    计算数学. 2025, 47(4): 576-590. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1258
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    原始对偶算法 (PDA) 通过全分裂的方式同时求解原始问题和对偶问题, 是解决双线性鞍点问题经典且有效的方法. 然而已有PDA的步长依赖于线性算子的谱范数或通过线搜索进行估计, 依赖谱范数的步长通常过于保守, 而线搜索往往需要额外计算邻近算子或者线性变换. 为此, 文章通过拉格朗日函数添加邻近项和求解矩阵逆问题，提出了一种具有可分离预设的原始对偶算法. 该算法具有自由的步长且只需进行一次矩阵分解, 预设矩阵逆问题的计算量较小. 最后, 建立了函数值残差和约束违反度的 $\mathcal{O}(1/N)$ 遍历收敛率, 求解LASSO和矩阵博弈问题的数值实验验证了所设计算法的有效性.
  • 稀疏互补约束优化的邻近罚函数方法
    王璐瑶, 李高西, 吕一兵
    计算数学. 2025, 47(4): 591-604. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1259
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    本文研究了一类带互补约束的数学规划问题(MPCC), 其目标函数为基数函数. 通过capped-$ \ell_1 $函数转换, 将基数函数转化为DC函数, 并构建了原问题的连续近似模型. 随后, 本文提出了一种结合罚方法和非单调邻近梯度方法的新算法, 旨在寻找连续近似问题的弱方向(d)-稳定点 (强于Clarke-稳定点). 在MPCC-LICQ条件下, 本文证明了算法能够收敛到 MPCC 的弱-d稳定点. 最后数值结果说明了所提方法的有效性.
  • 具有强收敛性的Dai-Liao共轭梯度法及其在图像恢复与机器学习的应用
    江羨珍, 孙国庆, 简金宝
    计算数学. 2025, 47(4): 605-623. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1266
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    共轭梯度法是求解大规模优化问题最有效的方法之一. 本文给出了三组Dai-Liao共轭条件参数, 并对Dai-Liao共轭参数进行截断, 以及在搜索方向设置重启步, 从而提出一个新型Dai-Liao共轭梯度算法. 不依赖于任何线搜索条件, 由新算法产生的搜索方向每步迭代均满足充分下降条件. 在常规假设和弱 Wolfe 线搜索条件下, 新算法是强收敛的. 最后, 将算法用于求解大规模无约束优化、图像恢复和机器学习问题并与同类算法进行比较, 数值结果表明所提算法是很有效的.
  • 求解结构型逆变分不等式问题的黄金比率型Douglas-Rachford分裂方法
    江亚宁, 蔡邢菊, 韩德仁
    计算数学. 2025, 47(4): 624-642. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1271
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    本文针对一类结构型逆变分不等式问题设计了一种黄金比率型 Douglas-Rachford (DR) 分裂方法. 所提方法基于一个非精确的定制 DR 分裂方法, 有效融合了黄金比率凸组合系数和一种动态调整步长参数的策略. 在一般的假设条件下, 我们证明了新方法的全局收敛性, 并进一步建立了新方法的次线性收敛率结果. 此外, 我们将新方法应用求解实际的空间价格均衡控制问题, 相关的数值实验结果也验证了新方法具有有效性和优越性.
  • 解广义DC规划的外梯度算法
    毛莹, 王群
    计算数学. 2025, 47(4): 643-658. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1274
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    本文提出了一种扩展的外梯度算法, 求解一类非光滑广义DC问题. 在适当条件下, 证明了算法的全局收敛性. 由于新算法充分利用了DC结构, 数值结果表明新算法比经典的DCA算法有较明显的优势.
  • Chebyshev谱方法求解透射边界条件下的Schrödinger方程
    韩瑜, 姜海燕, 卢脁
    计算数学. 2025, 47(4): 659-676. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1276
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    本文设计了一种基于Chebyshev多项式的线性组合为基函数的Chebyshev-Galerkin谱方法求解具有透射边界条件的 Schrödinger 方程. 论文中严格分析了谱方法的收敛性, 通过设计数值实验验证了此算法的高阶收敛, 并与传统的有限差分法做对比, 体现了此算法的优势.针对势能函数为单势垒和双势垒的情况, 通过计算透射率变化曲线模拟了量子隧穿和共振隧穿现象, 并将该算法应用于共振隧穿二极管电流-电压特性的模拟, 复现了共振隧穿二极管的负电阻特性.
  • 乘性半二次图像恢复问题的预处理共轭梯度法
    赵佩佩, 黄玉梅
    计算数学. 2025, 47(4): 677-695. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1280
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    图像恢复是要从记录到的失真图像估计出清晰的原始图像, 这是一个高度病态的反问题. 正则化方法能够消除这种病态性, 一般通过极小化一个由数据保真项和正则项构成的能量函数来实现. 本文考虑图像恢复的乘性半二次正则化方法, 并采用牛顿法对该模型进行求解. 在牛顿法的每一步迭代过程中, 都会产生一个对称正定线性方程组. 为高效求解该线性方程组, 本文根据其系数矩阵的块三角分解, 提出一种基于Schur补逆矩阵线性泰勒近似的预处理子, 并采用预处理共轭梯度法求解该线性方程组. 预处理矩阵的谱性质分析表明, 所提出的预处理矩阵具有分布较为集中的特征值, 且部分特征值为1.数值实验结果表明, 本文所提出的预处理子在采用预处理共轭梯度法求解线性方程组时, 比现有的预处理子所需的迭代步数更少, 计算时间更短.
  • 随机微分方程数值解的指数稳定—全隐算法的必要性
    刘凯, 朱全新
    计算数学. 2025, 47(4): 696-713. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1282
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    文章对随机微分方程数值解的指数稳定进行了研究, 探讨了全隐算法的必要性. 围绕两个反例进行, 论述了Euler型算法 (随机θ算法和 截断Euler算法) 的局限性, 并基于指数鞅的理论对随机微分方程的零解几乎必然指数稳定条件进行了改进. 然后证明了全隐Milstein算法能很好的适用于这两个反例. 数值实验验证了上述结论. 也即, 存在这样的随机微分方程, 在考虑指数稳定时, 常用的Euler型算法 (随机θ算法和截断Euler算法) 是不适用的, 而全隐Milstein算法是可行的; 所以全隐算法在随机微分方程数值解的指数稳定研究中非常有必要.
  • 频率增强高阶ReLU-KAN求解高波数Helmholtz方程
    张浩然, 季霞, 胡东豪
    计算数学. 2025, 47(4): 714-742. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1316
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    高波数Helmholtz方程的传统数值方法求解存在计算精度与效率之间的固有矛盾. 本文提出频率增强高阶ReLU-KAN(FE-HRKAN), 在现有高阶ReLU-KAN (HRKAN)框架中引入可学习的动态频率适配机制, 将输入特征扩展为原始变量与参数化高频振荡特征的组合. 本文证明了HRKAN的频谱限制以及FE-HRKAN 的高频表达能力扩展, 确保FE-HRKAN在保持HRKAN原有性能的同时增强高频振荡表达能力. 实验表明: 在函数逼近任务中, FE-HRKAN逼近高频振荡函数的L2相对误差较HRKAN 降低2 个数量级, 同时逼近非振荡函数的L2相对误差降低34%. 在高波数Helmholtz 方程求解中, FE-HRKAN在波数范围5~1000 内均获得10-3~10-4量级的L2相对误差, 在高波数情形下相比HRKAN降低3~4个量级.
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