2026年, 第48卷, 第2期　刊出日期：2026-04-09

  

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青年评述
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  函数约束优化问题的一阶算法综述

  徐扬扬

  计算数学. 2026, 48(2): 211-225. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1358

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  一阶方法因其计算效率高、可扩展性强, 已被广泛应用于大规模优化问题的求解.早期研究主要集中于无约束优化问题或具有简单约束结构的情形.随着受约束机器学习等新兴应用的快速发展, 近年来研究重点逐渐转向函数约束优化问题中一阶方法的设计与理论分析.
  本文系统综述了求解复杂约束优化问题的一阶算法研究进展, 涵盖多种不同的结构情形, 包括:确定性线性约束凸优化问题、确定性非线性约束凸优化问题、目标函数非凸但约束凸的确定性优化问题、目标函数与约束均为非凸的确定性优化问题, 以及具有凸或非凸结构的随机优化问题.针对不同方法, 本文总结并比较了其在产生 $\epsilon$-最优解或 $\epsilon$-KKT 点方面的复杂度结果, 为理解现有理论成果及未来研究方向提供系统参考.
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  计算一类分段光滑函数的凸包函数及其非光滑点

  卢言信, 贾晓红, 刘歆

  计算数学. 2026, 48(2): 226-248. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1340

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  凸包函数的计算及其非光滑点搜寻问题在相图计算领域有广泛应用. 本文针对区间$[0,1]$上有限个光滑函数的最小值函数, 提出求解其凸包函数和搜寻凸包函数非光滑点的算法. 该算法在$[0,1]$上均匀选取$(N+1)$个格点用于离散化目标函数, 从格点中均匀选取$\left(\frac{N}{m}+1\right)$个节点用于构造双循环扫描过程, 以通过动态更新目标函数的表达式得到数值凸包函数. 算法将数值凸包函数中相邻分段的交界处格点搜寻为非光滑点. 算法的计算复杂度为$\mathcal{O}\left(\frac{N^3}{m^2}\right)$, 凸包函数的理论计算误差阶为$\mathcal{O}\left(\frac{m}{N}\right)$. 本文还考虑了在每次扫描中选取不同节点的算法改进策略. 数值实验验证了计算复杂度和误差估计结果, 并验证了算法的改进策略在适当参数选取下能改善数值表现.
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  非线性反应扩散方程基于Petrov-Galerkin近似的时空有限元法研究

  梁晓宇, 赵智慧, 李宏

  计算数学. 2026, 48(2): 249-264. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1320

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  本文利用基于 Petrov-Galerkin 近似的时空有限元法求解了非线性反应扩散方程. 首先, 建立了其时空有限元格式, 然后在没有稳定性条件限制的情况下证明了数值解的存在唯一性, 并给出了收敛性分析. 与传统的有限元法相比, 该方法便于获得时空方向的高精度且具有很好的数值稳定性. 最后, 数值实验验证了理论分析的正确性及方法的有效性, 并说明在获得几乎相同误差和收敛阶的情况下, 时空 Petrov-Galerkin (STPG) 法比时空 Galerkin (STG) 法更高效.
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  IAH-RW优化稀疏数据插值的正则化组合模型

  王圣哲, 龚佃选, 蔚丰帆, 李浩琪

  计算数学. 2026, 48(2): 265-280. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1321

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  为解决紧支撑径向基函数(CSRBF)插值中支撑半径过小引发的矩阵病态问题, 以及现有方法难以协同优化关键参数的局限, 提出一种正则化Wendland-多项式组合插值模型. 该模型融合Wendland径向基与多项式基, 并通过分块矩阵结构在多项式系数部分施加选择性Tikhonov正则化(参数$\lambda$), 抑制病态性并提升稳定性; 同时设计自适应混合随机游走算法(IAH-RW)协同优化支撑半径与多项式阶数. 数值实验表明, 该组合模型在复杂边缘重建和局部细节恢复的精度优于传统RBF或多项式插值, IAH-RW算法提升参数优化的精度与稳定性.
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  集成电路布局设计合法化问题中鞍点矩阵的特征值估计

  曹阳, 王鲁欣, 杨爱利, 周晨璨

  计算数学. 2026, 48(2): 281-294. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1322

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  将集成电路布局设计合法化问题转化成具有鞍点矩阵结构的线性互补问题具有诸多优点, 而后者高效的数值求解算法与鞍点矩阵的特征值分布密切相关. 针对标准单元具有单倍行高的情形, 本文详细分析了所导出的鞍点矩阵的特征值估计. 理论分析表明, 该鞍点矩阵有部分特征值为1, 其余特征值在复平面内都分布在以$(\frac{1}{2},0)$为中心的相互垂直的两条线段上. 文中进一步分析了实特征值和复特征值虚部的上下界. 最后通过三个数值算例验证了理论分析结果.
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  乘性噪声驱动的随机亚扩散方程的Mittag-Leffler Euler方法

  杨晋平, 杨艳, 李志强

  计算数学. 2026, 48(2): 295-314. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1323

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  本文研究一类乘性噪声驱动的非线性随机时间分数阶亚扩散方程的数值算法. 应用谱Galerkin方法逼近空间导数, 得到空间半离散格式并证明了误差估计. 利用 Mittag-Leffler Euler 方法构造了全离散的数值格式, 通过证明数值解的有界性和正则性, 进一步证明了数值格式的强误差估计.数值实验的结果验证了算法的有效性.
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  基于非凸正则和log-TV正则项的压缩恢复方法

  沈佳璐, 黄忠亿, 杨文莉

  计算数学. 2026, 48(2): 315-338. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1326

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  稀疏信号恢复和分块压缩图像重建是稀疏优化中的一个关键研究领域, 通常指根据稀疏采样或压缩后的带噪观测值来重构出原函数或图像的过程. 针对非均匀离散傅里叶采样, 本文将非凸$\ell_0$最小化模型扩展到复数域, 并提出了一种基于非凸正则和log-TV正则项的二阶段压缩恢复方法用于$\ell_0$范数优化. 该方法在保持精度的同时提高了计算效率, 有效地消除了分段光滑函数和分块图像恢复中的阶梯效应. 我们分析了所提算法的收敛性与解的性质, 并在数值实验部分与其他迭代算法和分块图像重建方法进行对比, 实验结果体现了所提模型的特点, 验证了算法的有效性.
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  基于无梯度优化的燃料棒包壳热-力耦合求解加速方法

  张梦宇, 刘威震, 唐庆粦

  计算数学. 2026, 48(2): 339-350. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1327

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  针对燃料棒包壳的稳态热-力耦合问题,提出一种基于无梯度优化的``即插即用"加速方法. 通过将无梯度超参数寻优技术引入传统数值计算流程,实现了对Hypre-BoomerAMG预条件器的自动化参数选取. 研究首先在代表性参数组上中获得最优预条件方案,进而在不同材料参数下验证了其加速性能的稳定性. 数值实验表明,该方法在不同物理场景下均能保持显著的加速效果,展现出优异的工程鲁棒性. 本研究为多物理场大规模计算提供了可复现、可迁移的无梯度加速路径,其技术框架可进一步拓展至瞬态分析、弹塑性接触问题及异构硬件环境下的多目标优化问题.
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  基于重新参数化方法求解玻色-爱因斯坦凝聚态的基态解

  庞春平, 刘文杰, 张雪琳, 王汉权

  计算数学. 2026, 48(2): 351-366. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1329

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  近年来, 玻色-爱因斯坦凝聚态基态解的数值研究已取得重要进展. 本文基于前人相关研究成果, 提出一种新的求解方案: 首先通过重新参数化方法将函数空间中的约束能量泛函极值问题转换为参数空间的无约束能量泛函极值问题; 进而结合导数近似与数值积分技术, 将连续型优化问题离散为普通优化格式; 最终采用拟牛顿法进行高效求解. 通过一维、二维及三维数值算例的模拟实验, 系统验证了该方法的计算精度与有效性. 结果表明, 重新参数化方案在求解玻色-爱因斯坦凝聚态基态问题时, 能够准确捕获量子系统的空间局域化特征, 展现出优异的数值稳定性与适用性.
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  基于哈密顿模拟线性组合的偏微分方程量子计算方法及其线路实现

  陈乐宇, 王坤, 刘铁钢, 刘锦鹏, 许亮

  计算数学. 2026, 48(2): 367-394. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1333

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  本文基于求解线性常微分方程组的哈密顿模拟线性组合量子计算方法, 结合差分算子的矩阵表示, 提出了一种求解线性偏微分方程的量子计算方法及其线路实现. 首先通过空间差分离散将偏微分方程转化为常微分方程组; 针对不同差分算子在特定边界条件下生成的差分矩阵, 设计了相应哈密顿模拟的量子线路; 从计算复杂度角度分析了该方法相较于经典数值方法的潜在优势. 以热传导方程(抛物型)和平流方程(双曲型)为例, 给出了对应的量子求解全流程与线路实现, 并通过数值算例验证了方法的有效性.