2026年, 第48卷, 第3期　刊出日期：2026-08-14

  

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学术展望
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  梯度法步长基于子空间逼近的选取

  袁亚湘

  计算数学. 2026, 48(3): 395-404. https://doi.org/10.12286/jssx.j2026-1387

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  梯度法是最简单也是最基本的求解最优化问题的计算方法之一.由于所有的梯度法都是沿着最速下降方向找下一个迭代点,不同的梯度法就在于步长的不同选取.BB步长是梯度方法的最著名的步长选取方式之一.本文通过把BB步看成是基于一维子空间逼近的步长,构造了基于二维子空间逼近、三维子空间逼近的新步长.新步长具有良好的理论性质,有望发展成为有效的数值方法.
论文
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  ETS-NHE:非齐次奇异摄动ODE约束优化中导数离散的指数型格式

  李孟雨, 刘铁钢, 冯成亮

  计算数学. 2026, 48(3): 405-426. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1332

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  在奇异摄动ODE约束优化问题中,非齐次项会增加目标函数中导数离散的困难,从而增大优化问题求解的难度.本文针对三类含非齐次项的奇异摄动ODE约束优化模型问题,提出了一种适用于非齐次模型问题目标函数导数项离散的指数型格式(ETS-NHE).理论分析与数值实验均验证了ETS-NHE的有效性,并确保优化的计算结果收敛至正确解.
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  第七类Chebyshev小波数值技术求解分数阶微分方程

  周凤英, 刘雯颖

  计算数学. 2026, 48(3): 427-445. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1268

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  基于第七类Chebyshev小波,一种求解分数阶微分方程的数值技术被建立.首先,基于第七类Chebyshev多项式,构造了第七类Chebyshev小波,并通过对函数关于第七类Chebyshev小波的系数估计,得到了函数在第七类Chebyshev小波展开下的收敛分析和误差估计,而且还进一步考虑了分数次第七类Chebyshev小波.接着,利用单位阶跃函数和Beta函数导出了分数次第七类Chebyshev小波在Riemann-Liouville分数阶积分意义下的分数阶积分公式.然后,运用分数阶积分公式以及有效的配置法,将分数阶微分方程离散化为代数方程组,通过Newton迭代法解此方程组得到问题的数值解.若干数值算例也验证了该数值方法的有效性和高精度性.
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  基于主动源的双调和波动方程波场控制理论与应用研究

  王珏, 朱雨露

  计算数学. 2026, 48(3): 446-461. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1310

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  针对双调和波动方程,利用位势理论和数值相结合的方法研究了基于主动源构造控制场的方法.首先,利用位势理论针对双调和波动方程推导了其解的积分表示.进一步,通过研究主动源在边界上的分布构造了满足一类双调和波场的控制场,并将其应用在实现错觉效应的问题中.最后,利用数值方法构造了近似控制场,并通过数值实验实现了利用少量低阶主动源来实现波场伪装的目标.
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  基于ADM分解法的分数阶SIR模型的渐近解与微分阶数反演

  张颖, 王震, 李功胜

  计算数学. 2026, 48(3): 462-476. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1315

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  主要研究一个分数阶SIR传染病模型的渐近解与微分阶数反问题.利用ADM分解法得到正问题的渐近解,并基于误差分析确定渐近解的可计算表达式,进而利用康复者在某一时刻的观测数据,将微分阶数反问题化为一个非线性代数方程求解问题,通过证明代数方程的唯一可解性,获得微分阶数反演的唯一性,并给出扰动数据条件下的数值反演算例.利用新冠疫情数据进行参数识别和数据重建,结果表明对于疫情传播等复杂系统的数学描述,分数阶模型具有一定优势.
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  Cahn-Hilliard方程的一类秩自适应低秩分裂方法

  王思杰, 赵永良, 顾先明

  计算数学. 2026, 48(3): 477-492. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1335

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  Cahn-Hilliard (CH)方程是一类重要的四阶扩散方程,最初它被用来研究物质之间相互扩散的物理现象.同时,它在生物种群的演变、河床迁移、化学领域也有重要应用.本文拟结合自适应低秩分裂方法低计算量的优点和快速矩阵对角化技术,来研究CH方程的一种自适应低秩近似算法.首先,利用有限差分法对CH方程的空间进行离散并分裂为一个线性子问题和一个非线性子问题,进而得到一个满秩分裂格式.在该分裂格式的基础上,结合动态低秩近似法,提出一种针对CH方程的自适应低秩求解算法.最后,本文提供几个算例测试所提算法的有效性.
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  非负锥上广义二次特征值互补问题的半光滑牛顿法研究

  邹璐, 李瑞, 雷渊

  计算数学. 2026, 48(3): 493-514. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1339

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  特征值互补问题是线性与非线性互补问题的重要分支,在优化理论、数值代数与工程力学等领域具有广泛的理论价值与应用前景.本文研究定义于非负锥上的广义二次特征值互补问题(QEiCP)J,给出了其解的存在性条件及解数量的上界估计.基于半光滑牛顿法框架,设计了三类基于 Fischer-Burmeister互补函数的数值迭代格式,并给出了算法的收敛性理论.数值实验通过多组算例验证了所提方法的有效性,结果表明基于惩罚型 Fischer-Burmeister函数的半光滑牛顿算法在求解性能上表现最优,特别适用于大规模稠密矩阵问题,且在矩阵市场等实际测试中展现出良好的适应性与数值稳定性.同时,该算法对罚参数选取具有较强的鲁棒性,能够有效平衡计算效率与精度.
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  对流扩散问题的有限元增强神经网络混合算法

  张泽翰, 李宏

  计算数学. 2026, 48(3): 515-531. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1341

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  提出一种新型有限元增强神经网络混合算法,用于高效求解对流-扩散方程.与物理信息神经网络使用大量采样点最小化损失函数的方法不同,该方法借助少量网格剖分节点,将有限元刚度矩阵和载荷向量引入神经网络损失函数,结合前馈神经网络,分别针对稳态和非稳态对流扩散问题构造新型有限元增强神经网络算法.稳态问题中利用双曲正切函数与GELU函数作为激活函数,非稳态问题中利用向后Euler法的离散方程构造残差,并结合边界条件和初始条件构造损失函数,激活函数取为SILU与GELU,同时数值模拟对比了有限元解和有限元增强的神经网络解,结果显示:有限元增强神经网络混合算法在稳态问题中可准确重构FEM解,在非稳态问题中则展现出更高的精度与更强的泛化能力.该方法兼具物理一致性与数据驱动特性,为对流-扩散类偏微分方程数值解法提供了新思路.
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  一类非线性奇异摄动延迟微分方程的数值解法

  于文欣, 魏一帆, 单雨晴, 牛晶

  计算数学. 2026, 48(3): 532-551. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1342

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  针对非线性奇异摄动延迟微分方程的数值求解问题,本文构建了一套融合拟牛顿法与再生核法的高效计算方案.具体实施过程如下:首先对原始问题进行分解,得到规则区域问题与边界层区域问题.其次,规则区域问题通过渐近展开法实现求解.对于边界层区域问题,先用变量拉伸法将其原问题区间映射至[0,1]区间.再次利用拟牛顿法,将非线性形式的奇异摄动延迟微分方程转化为线性的奇异摄动延迟微分方程序列.最后采用基于配置法的再生核方法完成求解.与此同时,本文还对该计算方案的收敛性与稳定性进行了分析,并将其数值结果与部分数值方法的计算结果进行了对比.数值结果表明,本文所提出的方法不仅能够提供精度更高的近似解,还可实现更高阶的收敛效果.
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  求解凸优化问题的自适应随机梯度下降算法

  余天慧, 龙宪军

  计算数学. 2026, 48(3): 552-564. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1351

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  随机梯度下降算法是求解随机优化问题的有效算法之一,近年来受到许多学者的广泛关注.但是,如何选择此类算法的合适步长依然值得研究.本文提出了一种新的自适应随机梯度下降算法求解随机凸优化问题.值得注意的是,本文提出的自适应步长序列是有界且收敛的.在强凸的假设条件下,证明了由算法迭代产生的序列线性收敛到最优值点的某个邻域内.最后,数值实验表明了新算法的有效性和优越性.