计算数学

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1. 非线性延迟积分微分方程连续Runge-Kutta方法的稳定性分析

肖飞雁, 李旭旭, 陈飞盛

计算数学 2017, 39 (1): 1-13. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.1

摘要（3170）

PDF（pc）（341KB）（2142）

本文主要研究了一般形式的延迟积分微分方程，将连续Runge-Kutta方法用于求解该类问题，并讨论了方法的稳定性，证明了（k，l）-代数稳定的Runge-Kutta方法当0 < k < 1时对应的连续Runge-Kutta方法是渐近稳定的.最后我们通过数值试验验证了方法的有效性及所获结论的正确性.

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2. 一种求解非线性方程组的3p阶迭代方法

张旭, 檀结庆, 艾列富

计算数学 2017, 39 (1): 14-22. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.14

摘要（1912）

PDF（pc）（423KB）（1920）

本文将一种改进的二步迭代算法作为预测，将高斯-勒让德求积公式作为校正，提出了一种求解非线性方程组的具有3p收敛阶的迭代方法.最后给出了一些数值实例，将本文的实验结果与现有的几种迭代方法的实验结果作了比较分析，验证了本文所提出的结果.

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3. 矩阵极分解新的数值方法

温朝涛, 陈小山

计算数学 2017, 39 (1): 23-32. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.23

摘要（2052）

PDF（pc）（273KB）（1856）

设p是大于1的偶数.本文基于方程x^p-1=0的Newton和Halley求根公式给出计算非奇异矩阵酉极因子的数值方法，并证明算法的收敛性.用数值列子说明算法的有效性.

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4. 一种新的求非线性方程组的数值延拓法

郭俊, 吴开腾, 张莉, 夏林林

计算数学 2017, 39 (1): 33-41. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.33

摘要（2684）

PDF（pc）（393KB）（1833）

针对迭代过程中的Jacobi奇异问题，本文提出了一种新的数值延拓法.通过构造双参数同伦算子，采用可控条件和适当选取参数的方式克服Jacobi奇异性，并分析了方法的收敛性.最后，通过数值实验对比，验证了方法的可行性和优越性.特别是具有可调控越过Jacobi奇异（点、线、面）的优势，从而也在某种程度上解决了数值延拓法严重依赖于初值的问题.

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5. 一类随机非自伴波方程的半离散有限元近似

李晓翠, 杨小远, 张英晗

计算数学 2017, 39 (1): 42-58. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.42

摘要（1923）

PDF（pc）（402KB）（1684）

本文研究了由白噪音驱动的随机非自伴波方程的有限元近似，由于线性算子A非自伴，不能应用A的特征值和特征向量，从而得到的结果更具有一般性.空间离散上采用标准的有限元法，并借助强连续算子函数的性质，得到了该方程的强收敛误差估计.本文方法也适用于多维情况的分析.最后用数值算例验证了理论分析的正确性.

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6. 一类新的(2n-1)点二重动态逼近细分

张莉, 孙燕, 檀结庆, 时军

计算数学 2017, 39 (1): 59-69. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.59

摘要（1619）

PDF（pc）（863KB）（1676）

利用正弦函数构造了一类新的带有形状参数ω的left（2n-1right）点二重动态逼近细分格式.从理论上分析了随n值变化时这类细分格式的C^k连续性和支集长度；算法的一个特色是随着细分格式中参数ω的取值不同，相应生成的极限曲线的表现张力也有所不同，而且这一类算法所对应的静态算法涵盖了Chaikin，Hormann，Dyn，Daniel和Hassan的算法.文末附出大量数值实例，在给定相同的初始控制顶点，且极限曲线达到同一连续性的前提下和现有几种算法做了比较，数值实例表明这类算法生成的极限曲线更加饱满，表现力更强.

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7. 椭圆PDE-约束优化问题的一个预条件子

柯艺芬, 马昌凤

计算数学 2017, 39 (1): 70-80. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.70

摘要（1940）

PDF（pc）（302KB）（1792）

针对由Galerkin有限元离散椭圆PDE-约束优化问题产生的具有特殊结构的3×3块线性鞍点系统，提出了一个预条件子并给出了预处理矩阵特征值及特征向量的具体表达形式.数值结果表明了该预条件子能够有效地加速Krylov子空间方法的收敛速率，同时也验证了理论结果.

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8. 双调和算子特征值问题的混合三角谱元方法

单炜琨, 李会元

计算数学 2017, 39 (1): 81-97. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.81

摘要（1970）

PDF（pc）（1014KB）（1657）

本文针对双调和算子特征值问题设计了基于混合变分形式的三角谱元逼近格式，其基函数采用指标为（-1，-1，-1）的广义Koornwinder多项式.在H¹-及H₀¹-正交谱元投影的逼近理论基础上，我们建立了双调和算子特征值与特征函数的收敛性估计；它关于网格尺寸h是最优的，关于多项式次数M是次优的.然而，在H₀²-正交谱元投影的最优估计假设前提下，关于M的次优收敛阶估计则提升为最优.此外，Koornwinder分片多项式逼近的结果还表明，在带权Besov空间范数的度量下，对于存在着区域角点奇性的双调和算子特征值问题，谱元方法的收敛阶能达到h-型有限元方法的2倍.最后，本文的数值实验结果展示了谱元逼近格式的高效性，同时也验证了相关理论的正确性.

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9. 一类分数阶多项延迟微分方程的Jacobi谱配置方法

杨水平

计算数学 2017, 39 (1): 98-114. DOI: 10.12286/jssx.2017.1.98

摘要（1823）

PDF（pc）（385KB）（1661）

本文利用Jacobi谱配置方法数值求解了一类分数阶多项延迟微分方程，并证明了该方法是收敛的，通过若干数值算例验证了相应的理论结果，结果表明Jacobi谱配置方法求解这类方程是非常高效的，同时也为这类分数阶延迟微分方程的数值求解提供了新的选择，对分数阶泛函方程的数值方法的研究有一定的指导意义.

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10. 带两个形状参数的同次Bézier曲线

李军成, 刘成志

计算数学 2017, 39 (2): 115-128. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.115

摘要（618）

PDF（pc）（482KB）（652）

构造了一种带两个形状参数的Bézier型曲线，并研究了该曲线的性质、形状参数对曲线的影响及曲线的拼接.所提出的曲线是多项式Bézier曲线的一种同次新扩展，不仅具有传统Bézier曲线的诸多性质，而且可通过修改两个形状参数的取值对其形状进行调节.由于所提出的曲线是一种带有形状参数且与传统Bézier曲线具有相似性质的同次多项式模型，因此比现有的一些带形状参数的Bézier型曲线更有优势.

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11. 核范数和谱范数下广义Sylvester方程最小二乘问题的有效算法

李姣芬, 宋丹丹, 李涛, 黎稳

计算数学 2017, 39 (2): 129-150. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.129

摘要（1062）

PDF（pc）（943KB）（655）

本文从数值角度讨论Schatten q-范数下的广义Sylvester方程约束最小二乘问题
min_X∈S||∑_i=1^NA_iXB_i-C||_q，
其中S为闭凸约束集合，Schatten q-范数定义为||M||_q^q=∑_i=1ⁿσ_i^q（M），其中σ_i^M为M∈R^n×n的奇异值.该问题的几类特殊情形在图像处理、控制论等领域有广泛的应用.q=2即Frobenius范数下该问题已被充分研究，故本文着重讨论q=1，+∞，即核范数和谱范数下该问题的数值求解.采用的数值方法是非精确标准容易执行的部分非精确交替方向法，并结合奇异值阈值算法，Moreau-Yosida正则化算法，谱投影算法和LSQR算法等求解相应子问题.给出算法的收敛性证明，并用数值算例验证其高效可行性.

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12. 两类五阶解非线性方程组的迭代算法

裕静静, 江平, 刘植

计算数学 2017, 39 (2): 151-166. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.151

摘要（942）

PDF（pc）（489KB）（679）

本文首先根据Runge-Kutta方法的思想，结合Newton迭代法，提出了一类带参数的解非线性方程组F（x）=0的迭代算法，然后基于解非线性方程f（x）=0的King算法，给出第二类解非线性方程组的迭代算法，收敛性分析表明这两类算法都是五阶收敛的.其次给出了本文两类算法的效率指数，以及一些已知算法的效率指数，并且将本文算法的效率指数与其它方法进行详细的比较，通过效率比率R_i，j可知本文算法具有较高的计算效率.最后给出了四个数值实例，将本文两类算法与现有的几种算法进行比较，实验结果说明本文算法收敛速度快，迭代次数少，有明显的优势.

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13. 反应扩散方程的连续时空有限元方法

李宏, 杜春瑶, 赵智慧

计算数学 2017, 39 (2): 167-178. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.167

摘要（817）

PDF（pc）（564KB）（734）

本文研究了反应扩散方程的连续时空有限元方法.首先建立了其连续时空有限元格式并证明了有限元解的存在唯一性及稳定性.然后通过引入时空投影算子在没有时空网格限制的条件下给出其近似解在节点处的，L²，，H²最优范数估计以及全局，L²（L²），L²（H²）最优范数估计.最后给出两个数值算例来验证方法的有效性与灵活性并说明结论的正确性.

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14. 基于均值的Toeplitz矩阵填充的子空间算法

刘丽霞, 王川龙

计算数学 2017, 39 (2): 179-188. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.179

摘要（688）

PDF（pc）（346KB）（606）

本文提出一种基于均值的Toeplitz矩阵填充的子空间算法.通过在左奇异向量空间中对已知元素的最小二乘逼近，形成了新的可行矩阵；并利用对角线上的均值化使得迭代后的矩阵保持Toeplitz结构，从而减少了奇异向量空间的分解时间.理论上，证明了在一定条件下该算法收敛于一个低秩的Toeplitz矩阵.通过不同已知率的矩阵填充数值实验展示了Toeplitz矩阵填充的新算法比阈值增广Lagrange乘子算法在时间上和精度上更有效.

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15. 矩阵广义逆硬阈值追踪算法与稀疏恢复问题

施章磊, 李维国

计算数学 2017, 39 (2): 189-199. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.189

摘要（884）

PDF（pc）（458KB）（770）

本文通过引入支撑集捕获基数及MP广义逆，提出了一种用于稀疏恢复问题的矩阵广义逆硬阈值追踪算法，并在观测误差存在的情况下给出了算法在约束等距条件（RIP）下的收敛性.数值实验表明，算法不仅极大地减少了收敛所需迭代次数，且观测误差存在的情况下稀疏恢复是强健的.

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16. 一类凸优化的加速混合下降算法

徐海文, 孙黎明

计算数学 2017, 39 (2): 200-212. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.200

摘要（645）

PDF（pc）（353KB）（652）

凸优化问题的混合下降算法利用近似条件的已知信息和随机数扩张预测校正步得到了一组下降方向.而前向加速收缩算法利用高斯赛德尔迭代算法的技术，结合邻近点算法和近似邻近点算法的思想，构造了富有扩张性的下降方向.本文借鉴混合下降算法和前向加速收缩算法的思想，利用已有近似规则信息改善了混合下降算法的下降方向，得到了一类凸优化问题的加速混合下降算法.随后利用\Markov不等式、凸函数性质和投影的基本性质等，实现了算法的依概率收敛证明.一系列数值试验表明了加速混合下降算法的有效性和效率性.

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17. 线性子空间上求解矩阵方程组A₁XB₁=C₁,A₂XB₂=C₂的迭代算法

周海林

计算数学 2017, 39 (2): 213-228. DOI: 10.12286/jssx.2017.2.213

摘要（621）

PDF（pc）（402KB）（630）

应用共轭梯度方法，结合线性投影算子，给出迭代算法求解了线性矩阵方程组A₁XB₁=C₁，A₂XB₂=C₂在任意线性子空间上的约束解及其最佳逼近.当矩阵方程组A₁XB₁=C₁，A₂XB₂=C₂相容时，可以证明，所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程组的约束解、极小范数解和最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.

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18. 二维等谱问题研究的计算数学框架

孙家昶, 张娅

计算数学 2017, 39 (3): 229-286. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.229

摘要（693）

PDF（pc）（1882KB）（855）

等谱问题是数学、物理诸学科关注的一个热点问题，本文总结并诠释了二维等谱问题的内在计算数学性质与规律：利用镜像反演讨论等谱对的几何结构（不等距而谱相等）；把一般文献中假定的特殊三角形扩展到一般的三角形或者矩形；研究特征函数的正交结构，把特定的Laplace等谱问题扩展到一般零边值的二阶线性椭圆算子等谱问题.指出合理的粗网格对于研究等谱问题及其计算的重要性：两个连续问题等谱成立的充分必要条件是存在自然粗网格使其离散问题谱相等.文中给出的数值例子与特征值近似逼近验证了相应的结论，所用的方法原则上可用于研究三维乃至高维的PDE等谱问题.

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19. 广义线性多乘积问题的完全多项式时间近似算法

申培萍, 申子慧

计算数学 2017, 39 (3): 287-294. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.287

摘要（744）

PDF（pc）（312KB）（654）

本文针对广义线性多乘积极小化问题，通过一系列的线性规划问题的解提出一种求其全局最优解的完全多项式时间近似算法，并给出该算法的计算复杂性，且数值算例验证该算法是可行的.

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20. 时间分数次扩散方程反演源项问题的迭代正则化方法

程强, 熊向团

计算数学 2017, 39 (3): 295-308. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.295

摘要（928）

PDF（pc）（389KB）（771）

时间分数次扩散方程中反演源项问题是一类经典不适定问题.本文构造了一种新的迭代格式作为正则化方法，给出了先验和后验参数选取下相应的收敛性分析.数值算例验证该方法的有效性.

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21. 非结构网格上一类满足局部极值原理的三阶精度有限体积方法

唐玲艳, 郭云瑞, 宋松和

计算数学 2017, 39 (3): 309-320. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.309

摘要（700）

PDF（pc）（635KB）（739）

对二维标量双曲型守恒律方程，发展了一类满足局部极值原理的非结构网格有限体积格式.其构造思想是，以单调数值通量为基础，通过应用基于最小二乘法的二次重构和极值限制器，使数值解满足局部极值原理.为保证数值解在光滑区域达到三阶精度，该格式可结合局部光滑探测器使用.本文从理论上分析了格式的稳定性条件，数值实验验证了格式的精度和对间断的分辨能力.

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22. 非线性整数规划的一个新的无参数填充函数算法

高岳林, 吴佩佩

计算数学 2017, 39 (3): 321-327. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.321

摘要（651）

PDF（pc）（318KB）（701）

离散填充函数是一种用于求解多极值优化问题最优解的一种行之有效的方法.已被证明对于求解大规模离散优化问题是有效的.本文基于改进的离散填充函数定义，构造了一个新的无参数填充函数，并在理论上给出了证明，提出了一个新的填充函数算法.该填充函数无需调节参数，而且只需极小化一次目标函数.数值结果表明，该算法是高效的、可行的.

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23. 非奇异H矩阵迭代式充分条件

刘长太

计算数学 2017, 39 (3): 328-336. DOI: 10.12286/jssx.2017.3.328

摘要（690）

PDF（pc）（263KB）（742）

非奇异H矩阵是一类应用非常广泛的特殊矩阵.从矩阵元素出发，给出了一组非奇异H矩阵新的简捷而实用的迭代形式的充分条件.该迭代形式的充分条件推广并改进了相关的结果.最后用数值算例验证了该迭代式条件的优越性.

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24. 前言

许跃生, 陆遥

计算数学 2017, 39 (4): 337-338. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.337

摘要（476）

PDF（pc）（103KB）（653）

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25. 高维带宽有限随机信号从平均过采样的指数阶逼近

陈文健, 张海樟

计算数学 2017, 39 (4): 339-350. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.339

摘要（532）

PDF（pc）（351KB）（643）

本文中我们主要考虑利用有限的平均过采样值来重构高维带宽有限随机信号.我们给出了一个能够达到指数阶衰减逼近能力的重构算法.对于一般型和乘积型的采样测度，我们分别给出了对应的重构算法和指数阶衰减的重构误差估计.

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26. 一类弱奇性Volterra积分微分方程的级数展开数值解法

古振东, 孙丽英

计算数学 2017, 39 (4): 351-362. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.351

摘要（774）

PDF（pc）（321KB）（724）

本文考察了一类弱奇性积分微分方程的级数展开数值解法，并给出了相应的收敛性分析.理论分析结果表明，若用已知函数的谱配置多项式逼近已知函数，那么方程的数值解以谱精度逼近方程的真解.数值实验数据也验证了这一理论分析结果.

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27. 受参考价格影响的变质产品销售最优动态价格和保存技术投资的联合策略研究

袁晓, 肖瑾

计算数学 2017, 39 (4): 363-377. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.363

摘要（642）

PDF（pc）（484KB）（582）

参考价格一直在顾客购买决策中扮演着一个很重要的角色.首先，本文考虑参考价格的影响，针对一个变质产品的库存系统，建立一个联合考虑动态价格和保持技术投资的非线性规划模型，用来决定动态售出价格、保存技术投资和补给策略，使得零售商总利润最大化；然后，针对变质库存问题，推导出理论结果且阐述最优解的存在性；最后，针对所提出的模型给出一个逐次逼近优化算法，通过数值实验显示该算法是有效的.

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28. 分布式通信响应优化问题及其内点法求解

陈丰, 吴峻峰

计算数学 2017, 39 (4): 378-392. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.378

摘要（696）

PDF（pc）（453KB）（602）

为了优化移动互联网的分布式通信系统的响应速度，建立分布式通信系统响应速度最优化问题的数学模型，并设计和改进求解该最优化问题的内点法.针对该最优化问题发展一套高效率预条件方法来帮助求解内点法，不但改善计算方法的数值稳定性，而且提高算法的计算效率.通过数值实验验证该预条件对算法稳定性和效率的提高.

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29. 基于分数阶微积分正则化的图像处理

陈云, 郭宝裕, 马祥园

计算数学 2017, 39 (4): 393-406. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.393

摘要（1027）

PDF（pc）（725KB）（767）

全变分正则化方法已被广泛地应用于图像处理，利用此方法可以较好地去除噪声，并保持图像的边缘特征，但得到的优化解会产生"阶梯"效应.为了克服这一缺点，本文通过分数阶微积分正则化方法，建立了一个新的图像处理模型.为了克服此模型中非光滑项对求解带来的困难，本文研究了基于不动点方程的迫近梯度算法.最后，本文利用提出的模型与算法进行了图像去噪、图像去模糊与图像超分辨率实验，实验结果表明分数阶微积分正则化方法能较好的保留图像纹理等细节信息.

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30. 二维Helmholtz方程的联合紧致差分离散方程组的预处理方法

骆其伦, 黎稳

计算数学 2017, 39 (4): 407-420. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.407

摘要（874）

PDF（pc）（439KB）（575）

对于二维的Helmholtz方程，本文用联合紧致差分格式（CCD）离散，该差分格式具有六阶精度，三点差分和隐式的特点.本文基于CCD格式离散得到的线性系统和循环矩阵的快速傅里叶变换，提出了一种循环型预处理算子用于广义极小残量迭代算法（GMRES）.给出了循环型预处理子的求解算法，证明了该预处理算子能使迭代算法具有较快的收敛速度.本文还与其他算法的预处理算子作比较，数值结果表明本文提出的循环型预处理算子具有更好的稳定性，并且对于较大的波数k，收敛速度也更快.

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31. 一类具有资源约束和优先加工顺序约束极小化加权总完工时间调度优化问题研究

李金权

计算数学 2017, 39 (4): 421-430. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.421

摘要（526）

PDF（pc）（365KB）（540）

本文针对工件间具有链状优先约束和relocation资源约束的极小化加权总完工时间调度优化问题展开研究.针对这一NP难问题，利用relocation约束的性质和贪婪算法的思想，设计了一个多项式近似算法，并证明了当链不可中断，每个链具有相同工件数和工件间具有相同加工时间时，2为该算法的紧界.

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32. 快速求解参数化偏微分方程的缩减基有限元方法及其在核工程中的应用

张纯禹, 陈恭, 王一正, 王烨

计算数学 2017, 39 (4): 431-444. DOI: 10.12286/jssx.2017.4.431

摘要（946）

PDF（pc）（1259KB）（623）

基于求解偏微分方程的高保真数值模拟已经广泛应用于科学研究和工程设计.然而，即使借助超级计算机的并行计算能力，经典的有限元方法和其它数值方法在面对需要多次求解或需要快速甚至实时求解的问题时仍然面临效率的挑战.针对可用参数化微分方程表示的问题，缩减基有限元方法利用少数代表性的经典有限元解构造基函数，同时通过仿射分解使得系统矩阵和载荷向量的组装变为简单的代数叠加，因此该方法可以大幅度地提高这类问题的求解效率.本文介绍了这种方法的原理，并以固体热传导和中子扩散的快速求解为例，展示了这种方法的优良特性.结果表明，在线阶段的求解效率可以实现两到三个数量级的提升.基于高保真模拟的缩减基模型是将高性能计算应用于工程优化设计、应急指挥以及复杂问题的反分析等工作的有效手段.

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计算数学 2017年 39卷

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