光滑子是影响代数多重网格算法（AMG）求解效率的重要组件之一.本文考虑实际应用中普遍出现的一类多尺度稀疏矩阵，由于多尺度性质的影响，现有AMG光滑子的光滑效果不理想，从而影响AMG算法求解该类方程的效率.借助代数界面的概念，本文分析了代数界面对松弛型光滑子的影响，并通过扩展代数界面的内涵，设计了一种代数界面优先的光滑子（AI-Smoother）.以Gauss-Seidel （GS）光滑子为例，通过三维模型问题和实际问题测试了该光滑子（AI-GS）的有效性.测试表明，与自然序GS光滑子相比，AI-GS有效改善了AMG算法的收敛速度.对于三维随机系数扩散方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.2%的加速，对于激光聚变应用中的三温方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.8%的加速.

高阶多尺度方法在计算数学、计算力学和计算材料学等领域得到了广泛的应用，为了进一步挖掘高阶多尺度方法的计算潜力，本文结合单胞边界条件优化选择和边界层构造，提出了一种高阶多尺度方法的数值精度提高策略，并给出了施加数值精度提高策略的高阶多尺度方法的误差分析.然后，建立了周期复合材料结构弹性力学问题具有数值精度提高策略的新的多尺度数值算法.最后，通过对周期复合材料结构弹性力学问题的模拟，验证了所提出数值精度提高策略的有效性和最优的数值精度.

经验插值法（empirical interpolation method，EIM）首先由Yvon Maday和他的合作者在2004年提出，旨在提升非仿射或非线性偏微分方程模型降阶（reduced basis technique）的计算效率，随后在模型降阶和数据同化领域得到了广泛应用.EIM的计算过程分为离线、在线两个过程：离线阶段，基于待插值函数空间的大量样本函数，通过EIM算法逐一计算插值基函数和插值点（魔数点）；在线阶段，基于在魔数点的函数值和基函数，在线重构待插值函数.本文重点研究了EIM算法得到的插值点的空间分布特性，提出了最小二乘格式的EIM （LS-EIM）以进一步提升EIM精度和稳定性.比较了EIM算法确定的魔数点和其它各种采样方法确定的点对LS-EIM的收敛性和精度的影响.通过数值计算发现，相比随机采样和其他方法选取的采样点，EIM算法得到的魔数点用于LS-EIM可获得最快收敛速度和最优重构精度，通常仅需不到2倍于基函数维数$n$的魔数点数，即不到2$n$个魔数点，LS-EIM即可实现对最佳重构的逼近.

高斯坐标因其直观、计算简单等特点广泛应用于我军作战指挥信息系统中，人工经常录入数值超界的无效坐标，轻则降低系统作战效率，重则导致系统出现射击诸元解算错误等严重问题.高斯投影公式表明横、纵坐标分量存在强关联，两坐标分量相互约束且映射关系复杂，考虑到系统中存在手持终端等大量低性能硬件环境，需对CSCS2000坐标系下的高斯坐标范围精确及快速求解算法进行研究.通过对高斯投影原理的分析，在已知高斯纵坐标情况下，可采用逐步逼近迭代算法来实现高斯横坐标取值范围的精确计算，也可采用最小二乘法实现快速计算；在已知高斯横坐标情况下，可采用折半查找算法实现高斯纵坐标取值范围的精确计算，也可采用最小二乘法与折半查找算法组合实现快速计算.通过对大量计算结果的数据对比与分析，计算精度和速度均满足要求，开发了相关工具软件，适合工程化实施和应用.

针对目前大多数的低秩张量填充模型存在稀疏过约束而导致恢复数据的细微特征被忽略的现象，本文借助低秩矩阵分解和框架变换，引入软阈值算子的$\ell_0$范数正则项，提出一个基于近似稀疏正则化的低秩张量填充模型.为有效地求解该模型，我们将$\ell_0$范数改写为具有非线性不连续权函数的加权$\ell_1$范数，并用连续权函数逼近不连续权函数，在此基础上设计块逐次上界极小化的求解算法.在一定条件下，证明该算法的收敛性.大量实验表明，本文所提出的算法比现有一些经典算法能更好地重建得到图像的局部细节特征.

在一元Multiquadric拟插值算子的基础上，将一元基函数扩展到多元，并重新定义了空间点之间的距离，提出了一种新的多元拟插值算子，并分析了其任意阶多项式再生性及逼近性.数值实验表明，新的多元拟插值算子可直接使用空间点集的坐标实现曲线的高精度拟插值重建.

研究Volterra型积分方程的Galerkin Legendre Jacobi数值积分方法.首先，利用Jacobi Galerkin数值积分对方程中的积分项进行离散，从而我们得到一个等价方程.其次，对该等价模型构造Legendre Galerkin方程，且在积分项部分用Chebyshev插值计算.然后，该方法还被推广到非线性Volterra积分方程的计算.最后，对计算区间较大的模型，基于上述方法，构造了两级多区域格式且将其应用于含有一个间断点的Volterra型积分方程的计算.此外，还将其推广到第三类Volterra积分方程.通过数值算例验证该方法的高阶精度与有效性.

基于第六类正交Chebyshev多项式混合Block-Pulse函数，获得了一种求解分数阶Lane-Emden型微分方程数值解的数值方法.混合函数由第六类正交Chebyshev多项式与Block-Pulse函数构成.在Rieman-Liouville分数阶积分定义下，利用Laplace变换导出了混合函数的分数阶积分公式表达式.利用混合函数积分公式以及结合有效的配点法，将具有边界条件的分数阶Lane-Emden微分方程转化成一个代数方程组，再运用迭代法进行数值求解.同时，还给出了混合函数展开的一致收敛性分析和误差估计.文中数值算例和数值结果验证了该方法的有效性和准确性.