基于集合卡尔曼滤波的反演算法已经成为处理贝叶斯反问题中越来越受欢迎的一类方法.这类方法可以看成是求解反问题的无梯度优化方法.然而这类方法是基于集合卡尔曼滤波算法的,所以它们可能不适用于求解强非高斯性观测模型.为了解决这一问题,在本文中我们提出一种基于仿射映射的变分集合卡尔曼反演算法,即确定一个先验集合到后验集合的仿射映射.数值实验结果表明,在强非高斯性观测模型中,我们提出的反演算法比标准的集合卡尔曼反演方法表现出更好的性能.

带有分数阶Laplacian算子的对流扩散方程常被用来刻画自然界与社会系统中的反常扩散现象. 本文提出了一种新的格子Boltzmann模型, 用于求解二维带分数阶Laplacian算子的对流扩散方程. 首先, 基于分数阶Laplacian算子的Fourier变换和Gauss型求积公式, 得到控制方程的近似方程. 然后, 将速度空间、时间和空间进行离散, 并构造合适的平衡态分布函数和离散作用力, 建立有效的格子Boltzmann-BGK模型. 通过Chapman-Enskog分析, 可由建立的格子Boltzmann-BGK模型恢复出宏观方程, 从而证明了模型的有效性. 最后, 将模型应用于求解带有解析解的数值算例和Allen-Cahn方程, 数值结果进一步验证了模型的正确性和有效性.

利用分离变量法给出了含点源的一维热传导方程的积分解,在此基础上,研究了一维热传导方程点源源强的反演问题,将源强反演问题转化为优化问题,利用变分伴随法得到了梯度表达式,借助Broyden族算法对其反演,并给出数值模拟,结果表明Broyden族算法可行且有效.

光滑粒子流体动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)方法是一种无网格拉格朗日粒子法, 目前在流体力学领域以及大变形和冲击载荷等问题的模拟方面具有广泛的应用, 众多学者在SPH算法方面开展了大量的研究, 以提高SPH算法的计算速度和精度. 针对现有SPH方法在边界附近粒子近似精度下降的问题, 本文在CSPH 方法和MSPH方法基础上提出了一种改进的核近似形式, 在求解场函数、一阶导数近似值以及二阶导数近似值过程中,对含二阶导数项的方程进行优化, 减少了二阶导数项近似值的求解个数, 相比MSPH方法减少了计算量. 此外, 本文基于改进的SPH算法, 建立了二维数值波浪水槽模拟推板造波, 通过数值模拟造波将SPH算法生成的波浪参数与理论值进行对比, 验证了改进的SPH方法在波浪生成和传播上具有较好的模拟效果, 为后续研究内波、畸形波以及非线性波相互作用提供了算法研究基础.

因子分析是一种可用于简化数据, 对数据进行降维的统计方法, 如今已被广泛应用于各个领域. 在因子分析中, 如何对因子个数进行选择是非常重要的问题. 在实际应用中, 因子个数的确定通常依赖于样本协方差矩阵. 本文利用~Kullback-Leibler (KL)散度刻画协方差矩阵估计的不确定性, 并基于此建立~KL散度正则化最小迹模型对因子个数进行估计. 同时, 采用具有全局收敛性的基于对称高斯-赛德尔分解的交替方向乘子法对所建立的模型进行求解, 并从数值实验的角度验证了模型和算法的有效性.

波形松弛(WR)方法是求解微分方程的一种重要数值方法,迄今为止,关于它的研究集中于收敛性,罕有对其稳定性的研究.提出了常微分方程WR方法稳定的定义.借鉴常微分方程经典数值方法稳定性的常规研究方法,研究WR方法的稳定性,给出了连续WR方法保持三种标准试验方程稳定性的充分条件.使用Lyapunov技巧研究WR方法的压缩性,得到了连续和离散WR方法保持试验方程压缩的充分条件.

大气动力学问题的数值模拟在气象预报等领域具有广泛的应用. 相关数值模拟依赖超级计算机平台实现高精度高分辨率的气象预报,隐式求解不受稳定性条件限制,相比显式求解更有优势.面向新的超级计算机架构特征研究隐式大气动力学问题中一系列算子操作的并行和优化方法是非常有必要的. 本文在规则递推关系的理论框架下对大气动力学问题预条件阶段的稀疏三角回代求解以及ILU矩阵分解操作的特征进行了总结,并结合申威26010Pro处理器的架构特点, 对现有结构化稀疏三角线性方程组问题的并行算法进行了推广,设计了一套面向单向规则递推关系的算法框架,解决了预条件阶段各类算子的并行加速问题. 本文还面向申威26010Pro处理器对大气动力学问题的模板计算等算子进行了移植和优化. 实验结果显示, 本文的算法框架对预条件阶段的算子能够实现26-33倍不等的加速效果,对模板计算等算子的优化相比串行计算有10-152倍的加速比. 在新的神威超级计算机上最大测试到1700多万核心,浮点性能达到20.5PFlop/s. 在大规模测试条件下的强(弱)可扩展性维持在56.81%(41.87%) 以上.

广义Dantzig选择器问题是解决参数估计的有效途径, 其中任何范数都可以用于估计. 本文采用对偶交替方向乘子法(dual Alternating Direction Method of Multipliers, 简称dADMM)求解$\ell_1$范数, $\ell_2$范数和$\ell_{\infty}$范数广义Dantzig选择器问题, 并给出了dADMM的全局收敛性和局部线性收敛速度. 数值试验验证了dADMM的有效性.