制件设计(“数字化”),性能优化(“优化化”),工艺仿真(“仿真化”)是3D打印过程的三个重要模块.“数字化”是指将设计图纸/预加工实物,通过图像/视频/扫描等处理手段,转化为可编辑的数字化制件.“优化化”是指在数字化的制件上施加力学,热学等物理场约束,提高制件性能.“仿真化”是指根据优化化的制件模拟真实制造场景的物理工况,进行加工过程中的物理化学变化的数字仿真和孪生建模仿真.本研究旨在介绍基于相场模型框架下的特定工艺3D打印设计-优化-仿真建模与算法研究.在“数字化”模块中,我们将针对计算机辅助设计常见的数据类型,介绍相应的三维重构模型,修补模型以及轻量化支撑结构设计模型.在“优化化”模块中,我们将介绍系列多尺度,多物理场,多材料耦合的拓扑优化问题及相应的求解方法.在“仿真化”模块中,结合3D打印参数和工艺,我们介绍宏观(相变)-微观(晶界)尺度耦合的熔融沉积成型(FDM)工艺仿真方法,以及基于激光-热-流-固等物理场耦合理论的选择性激光熔化(SLM)工艺的仿真方法.基于相场模型框架下的设计-优化-仿真研究方法将有助于缩短产品开发周期,提高设计效率,为实现3D打印制件质量溯源和根因分析提供理论依据和算法支撑.

本文提出了一个基于最优运输理论中的对偶Lipschitz范数和TV-正则项的新去噪模型,说明了对偶Lipschitz范数和Meyer所提的适用于卡通纹理分解问题的$G$-范数的联系.该模型可以通过一个凸泛函分别关于两个变量交替最优化来求解,本文基于求解Wasserstein距离和ROF模型的方法设计了数值算法.本文证明了所提算法的收敛性,并且分析了模型最小值点的存在性和唯一性.最后,本文通过数值试验比较了所提模型与传统的ROF等图像去噪模型的去噪效果,分析了所提模型的特点,验证了算法的有效性.

反问题的研究在多个领域中均展现出了重要的价值和广泛的应用前景.然而,地球物理学中的反问题由于其固有的复杂性和不确定性,始终是一个极具挑战性的课题.近年来,量子计算技术的迅速发展和应用为这一难题的解决提供了新的可能性.基于目前流行的两种量子计算范式,本文首先提出了一种利用量子退火的迭代反演算法.该算法结合了量子退火的全局搜索能力和迭代反演的局部优化特性.通过线性和非线性层析成像实验,本文提出的算法可以取得接近于经典方法的反演精度.此外,本文还讨论了变分量子线性系统算法在反问题求解中的潜力.介绍了该算法在反问题求解中的初步尝试,该方法通过构建和优化量子线路来求解反问题,展现出了良好的应用前景.本文研究为量子计算在地球物理学反问题求解中的应用提供了新的思路和方向.随着量子计算技术的不断发展和应用,预计量子计算方法将在未来大尺度地球物理反问题求解方面发挥重要作用.

从模糊且含有噪声的图像中重建清晰图像是一个典型的病态问题,当模糊核是未知的时候需要同时重构模糊核和图像,这样的盲去噪去模糊问题受到学术界的广泛关注.利用变分方法,我们对遥感图像盲去噪去模糊问题建立了偏微分方程组模型,然后结合交替方向法和差分方法构造了全离散数值格式,用于求解未知核函数和清晰图像.通过数值实验分析了参数的选择对图像处理效果的影响,并确定了合理的参数.最后针对若干遥感图像进行了数值实验,实验结果表明了模型的有效性.

工业软件作为现代工业体系的核心支撑，正在有力推动制造、能源、交通等关键领域的数字化转型与智能化升级。随着工业4.0和智能制造的快速发展，工业软件在降本增效、优化设计、提质出新等方面发挥着越来越重要的作用。然而，我国在工业软件的核心技术、自主创新和产业化应用方面仍面临诸多挑战。为了促进工业软件领域的学术交流与技术突破，本专辑聚焦于工业软件的创新算法、系统开发及其在工业场景中的应用，展示了该领域的最新研究成果和前沿进展。

本文主要介绍了数值计算的相关发展历程，以及现有的数值计算软件的发展和应用. 此外, 本文介绍了国产计算软件北太天元的发展历程、主要功能介绍、软件开发的困难和重要性，并对未来国产数值软件的发展进行讨论.

近年来,将人工神经网络用于求解偏微分方程正反问题的研究发展迅速.在正问题求解上,基于神经网络的Penalty-Free Neural Network-2(PFNN-2)方法可精确逼近问题的初始与本质边界条件,放松对解的光滑性要求,实现比较理想的求解精度(Sheng and Yang,CiCP,2022)^[1].在本文中,将结合PFNN-2的特点,将其扩展至偏微分方程参数反演问题当中.为了实现该目标,在原PFNN-2损失函数基础上,引入数据驱动损失项,同时制定了相应的平衡系数自适应策略.在数值实验中以Burgers方程及对流扩散方程中的参数反演为例,对提出的反演方法进行了测试,验证了方法的可行性.本研究扩展了PFNN-2方法的应用范围.

本文结合非参数回归模型和分位数回归模型,提出了基于Fourier基的部分线性回归模型.论文采用Fourier函数逼近模型的非线性函数部分,并结合分位数回归模型给出了该模型的估计方法.在一些基本的假设条件下给出了参数向量和非线性函数估计的一致性证明,并通过模拟研究显示该方法的有效性,在论文的最后利用该模型模型对北京首都国际机场的气象测量数据进行实证分析,为准确预测PM2.5的扩散情况提出新的方法.

随着工艺的演进和电路集成度的提高, 电路仿真的规模不断扩大, 仿真验证时间也随之延长. 传统硬件架构在性能提升方面的局限性, 给设计工程师带来了巨大的挑战. 近年来, 因人工智能的发展, 通用图形处理单元(GPGPU)得到了快速的发展, 其算力和访存带宽都远超同时代的CPU, 也为电路仿真提供了加速的新机遇. 本文将探讨模拟电路和射频电路仿真所对应的数学模型及工业界常用的求解算法, 分析在异构仿真环境中面临的机遇与挑战. 结合先进的计算平台, 电路仿真可以更高效地予以实现. 尽管如此, 如何有效集成这些新技术以应对复杂电路的仿真需求, 仍是当前研究的重点课题.

本文采用混合型紧致有限差分方法建立了一种新的求解二维Helmholtz方程的高精度混合型紧致有限差分格式.针对串行算法在求解大波数Helmholtz方程时效率低下的问题,我们在Linux集群系统上基于MPI环境提出了并行高阶混合型紧致有限差分算法.截断误差分析表明本文构造的格式具有六阶精度.数值实验结果表明,本文提出的方法在处理变波数和大波数Helmholtz方程问题时均能达到理论上的六阶精度.此外,本文设计的并行算法展现出良好的并行加速比,能够有效提高计算效率.

航空轮胎是决定飞机起降安全的关键部件,被誉为轮胎工业“皇冠上的明珠”.航空轮胎设计是我国的“卡脖子”技术难题,亟待突破航空轮胎结构数学建模与CAE工业软件开发.航空轮胎结构主要由帘线增强橡胶复合材料构成,需要满足复杂的服役工况. 因此,本文开展了航空轮胎帘线增强橡胶复合材料数学建模方法的研究,针对复合材料变形特点, 提出了帘线增强橡胶复合材料建模方法,建立了帘线与橡胶结构的内埋约束关系.推导了橡胶结构与帘线结构的有限元方程,开发了航空轮胎结构设计工业软件SuperTire, 实现了航空轮胎充气分析,并通过航空轮胎数值算例验证了建模精度与求解效率.

顶点动力学模型是一种基于能量和力的数学模型,广泛应用于对生物体在细胞层次上的分裂、迁移、死亡与变形等重要生物学过程的模拟,对理解生物学现象及其背后的机理具有重要的帮助.目前的顶点动力学模型集中于对单一细胞群体进行模拟,然而在真实的生物学过程中,往往是多个组织、多种细胞共同参与.例如模式生物黑腹果蝇胚胎发育过程中的背部闭合过程,此过程是由扁平鳞状细胞构成的羊浆膜组织和柱状上皮细胞构成的表皮组织协同完成的.文章利用顶点动力学模型对上述两种细胞群体进行模拟,并使用真实影像生成模型的输入数据,成功模拟出果蝇胚胎背部闭合过程,模拟结果接近实验观察数据.该模型的构建对进一步理解果蝇胚胎背部闭合以及相关形态发生的生物物理机制提供了新的研究角度.

基于二维分数次Legendre小波(FOLWs),本文提出了一种求解变时间分数阶微分方程的数值方法.在Riemann-Liouville (R-L)变分数阶积分意义下，利用单位阶跃函数和正则化$\beta$函数导出了FOLWs的变分数阶积分公式.基于广义分数次Taylor展开，研究了二维FOLWs展开的误差估计.通过FOLWs的变分数阶积分公式以及有效的配置法，变时间分数阶微分方程离散化为代数方程组.然后，分别用Gauss消去法和Picard迭代法解得问题线性和非线性两种情况下的解.本文若干数值算例也验证了该数值方法的有效性、适用性和高精度性.

本文为KdV方程设计了一个组合高阶紧致方法,该方法同时紧致地计算了一阶和三阶空间导数,克服了传统高阶紧致方法的许多不足.对KdV方程在空间上采用组合高阶紧致格式离散,时间上用Crank-Nicolson格式并结合外推方法进行逼近,同时利用投影方法以得到一个全离散保能量格式.最后,数值实验验证了格式的收敛精度、计算效率和保能量性态.

扫掠曲面生成是计算机辅助几何设计(Computer-Aided Design, CAD)领域中的关键技术, 在工程设计等领域有着广泛应用. 针对此问题, 本文首先给出了与给定B样条曲面几何拼接的单轨和双轨扫掠基础算法, 然后提出了一种拼接误差可控的扫掠曲面生成算法, 随后将这些算法生成的曲面与商业软件Catia和Rhino得到的结果进行了对比分析.在本文拼接误差可控的扫掠曲面生成算法中, 首先对给定曲面边界进行采样, 获取导数和参数等信息, 然后对这些信息进行B样条曲线插值. 通过该B样条曲线进行扫掠操作以获得扫掠曲面. 最后根据预设的扫掠曲面与给定曲面之间的拼接误差阈值, 对采样点进行调整, 以获得拼接误差范围内的扫掠曲面. 实验结果表明, 本文中的算法在生成曲面质量方面优于Rhino, 并且能以较少的控制点数量生成与Catia质量相当的曲面.

格子玻尔兹曼方法是求解玻尔兹曼输运方程的高效算法,在流体流动、声子导热等领域已深入应用. 本文针对声子导热的格子玻尔兹曼方法,基于我们提出的声子弛豫时间有效校正模型,设计了具有不同对称性和离散速度数量的格子模型,通过宏观尺度的热输运过程验证了算法和程序的正确性.进而研究了格子模型的对称性和离散速度数量对纳微尺度方腔热输运模拟的影响.结果表明,仅提高格子模型的对称性无法有效克服模拟过程的非物理温度跃迁,同时增大格子模型的离散速度数量和对称性能够有效削弱该非物理温度跃迁现象.

本文首先针对文献[14]中的贪婪Kaczmarz (GK)方法提出了一个新的收敛定理;其次,为了提高求解相容线性方程组的效率,基于GK方法的贪婪策略提出了一种新的贪婪块Kaczmarz (RDBK)方法,并给出了RDBK方法的收敛定理;最后,数值实验表明RDBK方法在迭代步数和计算时间方面均显著优于GK方法.

本文为Camassa-Holm方程提出了两个局部能量守恒格式,不仅可以保持局部能量守恒还可以保持局部质量守恒,即在任何时空区域内能够精确保持能量和质量.局部能量守恒格式是全局能量守恒格式的推广,消除了（全局）保结构算法对边界条件的依赖.在合适的边界条件如周期边界条件或齐次边界条件下,局部能量守恒律和局部质量守恒律都可以转变为相应的全局守恒律.最后,数值实验验证了所提格式的良好性能.

投影类算法是一种求解大规模约束优化问题的重要方法,尤其在到约束集合的正交投影容易实现的情况下.在投影方法中,步长的选择对收敛速度有重要影响.然而,理论上的“最优”步长往往在实践场景中表现不佳.已有文献指出,在无约束优化中对最优步长采用一些松弛策略可以对最速下降方法起到加速效果.基于这种见解,本文将这些松弛策略拓展到约束凸二次优化中的投影算法,包括基本格式的投影算法和“预测-校正”型投影算法,得到相应的松弛型算法.数值结果表明,这些松弛策略均提高了上述两种采用最优步长的投影类算法的效果,且在不同问题规模下各有优势.

随着计算机科学和信息技术的发展,计算机符号计算为复杂计算和数值模拟提供了一种高效的方法和手段.基于计算机符号计算,本文研究一类(2+1)维广义变系数浅水波方程,描述非线性浅水波的动力学特性与非线性作用机制.在Hirota双线性算子的框架下,推导了(2+1)维广义变系数浅水波方程双线性形式,进而将非线性问题转化为双线性问题,实现了问题的可解性.通过运用符号计算软件求解双线性方程,给出了孤子解的表达式、双线性形式Bäcklund变换和团块解.数值模拟展示了孤子解和团块解所描述的非线性浅水波动力学特性,该(2+1)维广义变系数浅水波方程的特殊解存在新颖特性,即团块沿y轴移动,在x轴方向的速度为零.

基于机器学习的支持向量机(SVM)算法,提出了一种求解病态线性方程组的数值算法．将线性方程组的求解转化为寻求高维空间中的超平面回归问题,分别通过经典SVM和最小二乘SVM回归算法得到病态线性方程组的数值解．由于SVM的求解算法是凸二次优化问题,相较于其他神经网络算法,具有全局唯一解,能够得到误差较小的数值解．数值算例结果表明,该算法获得的数值结果具有较好的精度和稳定性．

油藏地质参数一般非均质性强,但探测手段十分有限,导致地质模型通常具有很高的不确定性.无论常规历史拟合还是数据空间反演,均需在考虑地质模型不确定性的前提下预测油藏渗流的未来动态.对此,一般是基于油藏数值模拟进行预测,但对于反映地质模型不确定性的大量实现,油藏数值模拟耗时非常高.为此,本文将动态模式分解(D MD)推广至地质参数空间,即基于一系列反映地层参数不确定性的地质实现进行预测.油藏渗流动态变化随时间往往趋于平缓,因此,构建训练集和测试集,从而通过测试选出动态数据满足局部线性近似的时刻,进而利用DMD替代数值模拟进行接下来的预测,可大幅提升预测效率.利用单相与两相瞬态渗流算例进行了验证与说明.

随着求解规模不断扩大,直接法求解对称正定的刚度矩阵方程内存需求不断增加,利用充裕的计算机硬盘资源辅助求解,降低内存需求成为一种解决方案.提出3种超节点Cholesky核外分解策略.1)最大速度核外分解,保证每个超节点只被读取和保存一次;2)最小内存核外分解,分解时不参与任务池中任务的超节点一律释放内存.3)限制内存核外分解,根据给定内存大小决定采用策略1)还是策略2).各策略均在共享内存环境下使用OpenMP基于任务池实现异步并行.在求解某4984362阶刚度方程时,MUMPS核外求解失败;FEADS策略1)使用内存18.2GB,相较核内求解所需142.85GB节省87\%,用时2328.07s;PARDISO核外模式使用内存21.3GB,用时4643.18s.