随机算法近年来发展迅速, 展现出实际应用潜力, 为大规模线性代数方程组的求解提供了新的技术途径. 本文综述稀疏线性代数方程组随机算法的研究现状, 对当前主要的三类随机算法进行了总结, 分析了这些算法的特点、计算复杂度和面临的问题. 在此基础上, 本文对当前随机算法的研究现状进行了评估, 指出了离实际应用需求的差距, 对面向大规模实际应用的随机算法研究进行了展望.

数值线性代数解法器是科学工程计算与工业软件的核心组件，也是影响这些软件计算效率的主要瓶颈，其高效算法设计与性能优化面临复杂应用特征与超级计算机体系结构特征的双重挑战，一直以来都是学术界和工业界广受关注的问题。自2018年开始，国内相关专家发起并组织了解法器快速算法及应用研讨会（Solver会议），该系列会议至今已成功举办了8届，已成为国内该领域研究人员发布研究成果的交流平台，吸引了工业界和实际应用部门的广泛关注。本系列专辑拟邀请Solver会议组织者担任客座编委，不定期组织活跃于该会议的专家和团队，围绕数值代数解法器的快速算法设计、性能优化、自主软件研发和实际应用撰写文章，展示该领域的最新进展，促进该领域在我国的发展。

本专辑由北京应用物理与计算数学研究所徐小文研究员等人（编委名单见后）负责组织，经过严格同行评审，最终录用了8篇文章，涵盖了自主解法器软件与算法库、应用驱动快速算法、面向国产处理器的性能优化、新型算法等主题，一定程度上反映了我国近年来该领域的研究进展。

大规模代数特征值问题广泛应用于材料科学与工程结构分析等领域. 在多尺度复杂系统中, 随着问题规模的不断扩大以及尺度差异引发的误差累积, 传统特征值算法在精度、稳定性以及计算效率方面逐渐显现不足, 在部分场景下甚至难以实现有效求解. 本文围绕特征值解法器GCGE的研究进展, 系统开展了高效并行算法的设计与实现, 致力于提升其在复杂系统中的稳定性与适应性. 针对传统解法器在处理复杂小规模问题及大规模病态问题时存在的效率与稳定性瓶颈, 本文对GCG算法进行了优化改进, 引入对角归一化预处理策略以增强收敛性和数值稳定性, 并提出面向质量矩阵不正定问题的$L^2$-正交与刚度矩阵正交策略以提升数值性能. 此外, GCGE已完成与SLEPc软件环境的集成, 支持Hermitian特征值问题和最大特征值问题的求解, 并在北太天元高性能计算平台实现模块化部署, 展现出良好的工程应用前景.

在经典Poisson-Nernst-Planck (PNP)模型框架下,研究了外加振荡电场对纳米尺度管道中离子输运性质的影响.利用多尺度平均化方法和数值模拟,我们研究了三种情况:(1)沿管道方向施加时间振荡电场;(2)沿管道方向施加时间振荡电场,并与空间周期性分布的电场相结合;(3)在管道壁存在周期性表面电荷分布的情况下,施加沿管道方向的时间振荡电场.对于高振荡频率的情况,我们推导出了首阶近似的等效模型.结果表明,管道内离子分布和平均输运性质仅与外加振荡电场的时间和空间平均值有关,而与振荡频率无关.

本文基于求解线性方程组的贪婪随机Kaczmarz算法和贪婪几何概率随机Kaczmarz算法的思想,提出求解矩阵方程的新型贪婪随机算法.而后,利用重要不等式探讨贪婪几何概率随机Kaczmarz算法的收敛性.最后,通过数值实验验证算法的可行性和有效性.数值结果表明:对于大规模矩阵方程,贪婪几何概率随机Kaczmarz算法优于贪婪随机Kaczmarz算法.

整体代数多重网格(BAMG)法是一种求解偏微分方程组离散系统的高效预条件方法, 可用于求解多孔介质中的多相渗流模型. 本文针对BAMG方法, 面向多相多组分油气藏问题研究了块矩阵粗化中不同范数的选取及基于对角块的经典插值策略对收敛性的影响. 针对启动阶段的并行瓶颈, 引入了"延迟更新"和"结构保持更新"两种策略, 并基于可容忍迭代增长阈值的判据设计了一种自适应启动BAMG预条件方法. 进一步, 对求解阶段中的磨光算子与残量计算等热点进行了深度优化与向量化. 数值实验表明, 所提出方法在收敛性、高效性及并行可扩展性方面具有优势; 例如, 在亿级网格规模的测试中, 当使用8192个CPU核时, 提出方法的计算时间相比于传统方法减少了57.6%, 并行效率提升了38.1%.

流固耦合(Fluid-Structure Interaction,FSI)的准确模拟对于核反应堆的设计与安全运行至关重要.其中燃料组件的附加质量和阻尼比是重要的工程设计参数.本文利用基于高阶间断有限元(Discontinuous Galerkin,DG)的双向耦合FSI求解器进行数值模拟,通过模拟静水中悬臂梁的振动,计算振动频率和阻尼比,并与理论预测值进行了对比.此外,本文还给出了一个涉及湍流的流致振动数值算例,该算例采用大涡模拟(Large Eddy Simulation,LES)方法解析大尺度涡旋,并利用合成涡方法(Synthetic Eddy Method,SEM)生成入口边界条件.该求解器可以用于计算结构的附加质量和阻尼比,另外通过设置不同的入口条件和湍流模型,该求解器能够给出复杂工况下结构的振动情况,为反应堆的安全运行与设计提供依据.

代数多重网格(AMG)是一种高效的线性方程组求解预条件方法.半结构 AMG 利用结构化信息高效计算, 且支持存在非结构信息, 因此可以同时达到高性能和高灵活性, 从而广泛应用于科学与工程计算的各个场景中.然而, 目前主流半结构 AMG 求解器在绝对速度和可扩展性上仍然具有明显缺陷, 为此我们研发了 Semi-StructMG 求解器. 一方面, 它利用多维粗化, 降低了复杂度, 提高了单步运行速度和可扩展性; 另一方面, 它在光滑器和插值算子中考虑块间连边, 改善了在各种复杂问题中的收敛性.我们在基准测试和多个真实应用中对 Semi-StructMG 进行了测试, 相比 hypre 中的 SSAMG, Split 和 BoomerAMG 达到了 5.97x, 15.2x 和 3.85x 的加速比.

线性方程组解法器库X-Solver旨在实现并优化Krylov子空间求解方法与预条件算法，用于在配备GPU加速卡的分布式内存机群上高效求解大规模稀疏线性方程组. 结合实际应用需求与硬件架构趋势，我们在以下三个方面实现了突破: (1) 提供用户友好、易于集成的分布式计算支持; (2) 深度适配异构架构特征，充分挖掘硬件计算潜力; (3) 保持跨多种硬件平台的高性能可移植性. 数值实验表明，在目标硬件上，X-Solver相较于其它先进解法器库在多个典型应用中展现出优势.

辐射扩散问题广泛出现在天体物理学和惯性约束聚变等多物理耦合领域, 基于问题的物理与代数特征的 AMG 法已成为当今多重网格法研究领域的热点.本文重点针对三温辐射扩散方程组的线性化离散系统, 首先给出了一种常见的 UA-AMG 预条件算法及相应的 PGMRES 解法器 T2T2-ILU(0)-V-FGMRES. 进一步, 为改善该解法器的计算性能, 对不同离散系统凝练了若干物理和代数特征, 设计了基于这些特征的自适应 UA-AMG 预条件算法, 并研制了相应的 PGMRES 解法器 Adapt-UA-AMG-FGMRES. 数值实验表明: 新解法器具有更好的稳健性和计算效率, 与解法器 T2T2-ILU(0)-V-FGMRES 和 HMIS-V-FGMRES(在基于几种常见非聚集型粗化算法的 AMG 预条件子中计算性能最好)相比 CPU 时间分别减少了约 49.1% 和 25.3%.上述算法设计思想容易推广到多群辐射扩散方程组等更一般的模型问题中.

在大规模线性系统求解中, 传统稀疏直接法解法器往往采用单一精度计算方式, 难以灵活平衡计算效率与数值精度. 为解决该问题, 基于分布式稀疏直接法解法器PanguLU提出了一种面向异构众核处理器MT-3000的混合精度优化算法. 该算法依据矩阵块的空间位置与数值敏感性, 动态选择块存储精度, 从而在数值分解阶段实现混合精度计算. 同时, 针对解法器中的通用矩阵乘子任务, 设计了一种计算与存储精度分离的流水线机制. 实验结果表明, 所提出的方法在数值分解阶段实现了1.04倍至1.19倍的性能提升, 同时将相对残差较单精度方案降低了1.97倍至4.15倍, 在提升求解速度的同时有效控制了精度损失.

三温辐射扩散方程组能够准确地描述辐射能量在介质中传播、散射、吸收和发射等物理过程.文[Yue X, He J, Xu X, Shu S, Wang L. Commun. Comput. Phys., 2022, 32: 829-849]基于一种物理量重叠分解策略提出了精确限制型加性和乘性Schwarz预条件算法和迭代算法,但未给出相关收敛性支撑和数值验证.本文将为它们所含的Schur补矩阵中子块逆矩阵提出合理的逼近假设,据此构造相应的非精确限制型加性和乘性Schwarz预条件算法,并受范数等价和数值域等价的数学启发,在保对称有限体元离散格式(或其系数矩阵)的稳定性条件下,开展相应预处理广义极小残差迭代方法的最优收敛性分析,且通过源自激光驱动球形内爆减速阶段中流体动力学不稳定实际模拟实验证实理论结果的有效性.

文章结合低秩四元数矩阵恢复与深度图像先验DIP方法, 提出了一类新型彩色图像修复模型LRQMD, 并基于交替方向乘子ADMM方法设计了对应的数值算法. 同时, 基于低秩矩阵精确恢复理论与神经正切核理论, 文章对模型的修复能力进行了初步分析, 并证明了算法的收敛性与最优性条件. 在网络架构方面, 引入了基于热扩散方程构造的逆演化层IELs, 并通过实验证明其与LRQMD模型结合可提升去噪性能. 最后, 文章通过数值实验将LRQMD与传统LRQMC、QDIP等方法进行比较, 验证了其在彩色图像修复中的优越性.

本文针对均匀网格上的非线性退化抛物方程构造一种新型六阶不等距模板混合WENO格式（HUS-WENO）.该格式仅利用三个不等距空间模板上的信息,在光滑区域达到六阶精度,在间断处保持本质无振荡特性.此外,HUS-WENO格式的线性权可以任取和为1的正数.为降低计算成本,基于不等距模板WENO格式中六点模板的重构多项式设计一种混合策略,能自动、准确且高效地识别问题单元,并且不包含任何人工参数.通过数值算例,验证HUS-WENO格式在计算效率和高分辨率等方面的优越性.

本文给出求解一类垂直线性互补问题的模系矩阵分裂迭代法.通过把垂直线性互补问题重新转化为一个等价的非线性方程组,创建一类新的基于模的矩阵分裂迭代法,并在一定条件下证明了算法的收敛性.最后提供两个数值算例证明所提算法的有效性.

基于求解偏微分方程边值问题的传统谱配点法,建立了用矢量形式表示的分数阶Chebyshev多项式的整数和分数阶积分及微分算子,构造了考虑固结方程及其边界和初始条件的解函数,将其代入分数阶黏弹性固结方程后,通过谱配点将其转化为一个代数方程组,建立了求解饱和黏土一维分数阶黏弹性固结方程谱配点法的数值方法.该算法是一种在时间域内求解分数阶黏弹性固结方程的直接解法,孔压、有效应力及沉降量等均为有限项级数组成的显式函数,可方便地计算随时间变化的荷载、分级加载等情况下的一维分数阶黏弹性固结问题.算例分析表明,该方法具有较高的计算精度和有效性.

本文研究基于散射场测量数据反演分形粗糙表面几何参数的问题. 结合自注意力机制与物理参数信息, 我们提出一种面向表面重建神经网络(SRNN)算法, 并进一步结合该网络的结构特性, 证明了求解算法的收敛性. 通过数值实验, 验证了SRNN算法的有效性.

声学点源反演是波物理学中的一个关键但不适定的反问题, 在观测数据量少、孔径小且含有噪声的场景下更具挑战性.为克服传统方法与现有深度学习模型在处理复杂多源、强干涉场景下的局限性, 本文提出了一种基于多频数据融合与Transformer的统一端到端反演网络(Multi-Frequency Fieldand Count Transformer, MFFC-Former).该模型创新地将每个测量点的多频复数响应聚合为特征令牌(Token), 并利用Transformer强大的自注意力机制来捕捉所有测点之间的全局依赖关系, 从而在单一网络内同步实现点源数量的分类预测与位置指示场的回归.该端到端、多任务的学习范式摒弃了复杂的后处理步骤(如MCMC), 也避免了对噪声先验等信息的依赖, 提升了求解效率与系统集成度.在包含多达6个点源和高达20\%强噪声的复杂条件下进行的数值实验表明:相较于参数量可比的全连接网络(MLP)基线, MFFC-Former在平均定位误差和数量预测准确率上均表现更优.特别是在6源、20\%噪声的复杂场景中, MLP基线难以分辨所有源点, 而MFFC-Former仍能分辨并定位所有源点, 展现了其在多源强干涉环境下的分辨率与鲁棒性.本文的研究结果表明, 利用Transformer架构有效融合多频观测数据中的内在关联, 是解决此类高度不适定反演问题的有效途径.

波动方程反问题旨在通过外部观测数据重构波源、介质等未知参数, 在许多工程领域都有广泛应用, 具有重要研究价值. 本文研究波动方程移动源运动轨迹的反演问题, 这对于精确获取空间飞行器的移动特性与飞行参数具有重要作用. 本文首先基于时域波动方程和傅里叶变换建立频率域移动源问题的数学模型, 然后通过最小二乘和非线性优化算法重构移动源的运动轨迹. 针对光滑的运动轨迹函数, 本文讨论频率、观测方向、级数展开项数等参数对于反演结果的影响. 在三维情形, 分别利用被白噪音污染的多频远场和近场观测数据进行反演. 通过大量数值实验, 我们发现算法具有良好的精确度以及一定噪音水平下的抗干扰性. 更进一步, 针对运动轨迹为非光滑函数和多尺度函数的情形本文也得到了较好的实验结果.

本文结合Tikhonov正则化方法与序列二次规划(SQP)算法, 提出了非线性反问题的一种新型迭代正则化方法, 并结合线搜索策略证明了该方法的全局收敛性以及噪声情形下的正则化性质, 同时通过一些数值实验展示了其有效性.

本文主要研究一个细胞-抑素互作的分数阶动力学系统求解与微分阶数反演问题. 应用Lap-lace-ADM分解法得到正问题的渐近解, 证明渐近解的收敛性并给出其可计算表达式. 利用某一时刻抑素的观测数据和渐近解的表达式, 将微分阶数反演化为一个带随机扰动的代数方程问题, 进而证明微分阶数反演的唯一性, 同时讨论了基于渐近解的多参数反演问题. 扰动数据下的数值反演结果表明, 随着扰动水平变小, 反演解逼近真解.

本文主要研究局部粗糙表面的反散射问题. 采用单一点源入射, 收集相应的散射场或无相位总场数据, 提出非线性积分方程方法重构局部粗糙表面的形状与位置. 利用位势理论, 建立相应的场方程和数据方程. 通过迭代算法先求解场方程获得密度函数, 再利用线性化后的数据方程更新边界, 循环迭代直至散射场相对误差满足预设精度要求. 此外, 基于对称延拓, 本文证明了Fréchet导算子的单射性和值域稠密性, 为线性化数据方程的可解性提供了理论保障.最后, 通过一系列数值实验验证了该迭代算法的有效性和鲁棒性.

随机特征方法(Random Feature Method,RFM)是一种新兴的偏微分方程求解框架,它通过浅层神经网络构造逼近解的函数空间,兼具传统数值方法的严谨性与现代机器学习的灵活性.本文基于Python语言设计并实现了一个高性能的RFM求解工具pyRFM.在框架设计上,pyRFM完整覆盖了几何表示与采样、特征矩阵组装与方程求解、结果可视化等关键环节,为用户提供了从建模到数值实验的系统化流程.与此同时,软件在实现过程中充分结合了RFM方法的特性,依托广泛使用且支持充分的Python科学计算库,具备良好的易用性与可扩展性;此外,pyRFM在整个计算流程中均不依赖传统网格化操作,从而在处理复杂几何时展现出更高的灵活性与效率.

本文回顾保能量守恒或者衰减算法一些最新进展.重点介绍新近发展的介绍松弛类保能量算法.这类算法的主要思想是结合模型的特点,将松弛思想和控制技术引入到算法的构造中.松弛参数由基于能量守恒或者衰减的控制方程决定.控制方程一方面确保了松弛参数的局部存在唯一性,另一方面也确保了算法的保结构性质.同时,基于松弛参数的估计,导出了松弛算法的相容阶.最后,我们将算法应用到非线性刚性常微分方程和一些偏微分方程,并作了一些总结和说明.

为求解稳态一阶中子输运方程并研究中子运动规律,本研究对源迭代法进行了改进.在变量离散过程中,能量离散采用分群法,角度离散采用离散纵标法,空间离散则结合了间断有限元法与迎风数值通量方案.在求解过程中,改进后的源迭代法将所有角度和能量的中子通量组装到一个矩阵中,通过保留方程组的耦合项,刻画了不同能群与不同角度下中子通量的相互作用关系.最后本研究分别使用日本京都大学临界装置(KUCA)的实验数据和三维中子输运基准问题报告(NEACRP-L-330)中的第二计算模型作为基准题,对计算结果的有效增殖因子和平均中子通量进行验证.结果表明与源迭代法相比,改进源迭代法误差更小,耗时更短,本研究为发展中子输运方程的高效求解算法提供了有效思路.

基于机器学习的电子结构计算方法在多电子体系基态、激发态及含时问题研究中取得重要进展.在基态问题中,Slater-Jastrow-Backflow型神经网络波函数通过变分蒙特卡洛(VMC)方法优化,显著提升了关联能捕捉能力,其精度已达到或超过耦合簇方法的水平.对于激发态问题,平均态惩罚项方法和自然激发态变分蒙特卡洛(NES-VMC)方法通过正交约束或扩展系统基态求解,成功预测了原子、分子体系的激发能及振子强度,精度与高阶理论方法相当.在含时问题中,时间依赖变分蒙特卡洛(tVMC)方法通过参数化含时波函数,精确模拟了强场下的电子动力学行为,展现了处理非平衡态过程的潜力.此外,赝势方法与神经网络结合,在过渡金属等复杂体系中兼顾了计算效率与精度.该类方法具备良好的可扩展性和通用性,为复杂体系中的量子行为建模提供了新路径.

非负矩阵分解应用于高光谱遥感图像的光谱解混工作时,分解结果不稳定.本文针对解混中端元矩阵(基矩阵)的列向量存在弱线性相关性的问题,提出了带扰动的最小体积约束非负矩阵分解模型.同时引入多层结构,设计了深度最小体积约束非负矩阵分解算法.数值结果表明,扰动项的引入有效避免了算法在奇异精度工作,且多层分解算法较之单层分解算法获取的端元光谱信息更加精确.本研究为端元光谱相似的光谱解混问题提供了有效的解决策略,同时结合具体问题设计正则项的方式为可解释机器学习方法提供了借鉴.

本文提出了用于对抗样本生成的$L_{2\_\infty}$范数,该范数可在$L_2$和$L_\infty$范数的控制效果之间实现有效平衡.利用$L_{2\_\infty}$范数的几何解释和数学性质,本文分析了其在对抗攻击优化中的优势.我们通过一系列实验验证了$L_{2\_\infty}$范数下所得扰动的优越性能,表明新范数约束可有效平衡对抗样本的迁移性和视觉不可察觉性,且优化过程更稳定.

本文主要考虑一类具有Signorini传输条件非线性问题的自适应有限元与边界元耦合方法.首先,给出与原问题等价的变分形式及其离散变分形式.其次,在新的度量框架下,给出了耦合法的先验和后验误差估计.最后,数值实验验证了理论分析的结果.

主成分分析(PCA)是最经典且应用广泛的降维方法,在处理含有噪声或异常值的数据集时可能无法准确捕捉数据的本质结构.本文提出一种自适应加权的鲁棒稀疏主成分分析方法,融合非凸惩罚函数与广义均值的特性,诱导主成分的稀疏性,让主成分更加聚焦于少数几个关键变量,提升其可解释性.同时,运用广义均值有效降低PCA对噪声和异常值的敏感度,确保主成分提取过程的稳健性.使用交替方向乘子法实现问题的求解,并证明了算法的收敛性.为了验证所提出方法的有效性,在合成数据集和真实数据集上将该方法与多种主流方法进行了对比.实验结果显示,新算法在稀疏性和鲁棒性方面均表现出色,不仅成功提取出了数据中的关键信息,而且有效抵御了噪声和异常值的干扰.

本文基于模拟电荷法提出了从含直线狭缝的有界多连通区域到3种正则狭缝域的共形映射计算法.首先,利用预映射函数对直线狭缝进行展开,并将含有直线狭缝的有界多连通区域映射到直线,螺旋,圆盘螺旋的正则狭缝域中.在此基础上,利用Dirichlet边界条件建立了相应的约束方程组,并且针对约束方程组中的病态矩阵,提出利用LU分解作为预处理的稳定双共轭梯度(LU-BiCGSTAB)法求解模拟电荷,从而提高了共形映射函数的精度.其次,将本文提出的共形映射计算法应用于含有直线障碍物有界区域螺旋点涡的绕流模拟.最后,给出了相应的数值实验来验证方法的有效性.

神经算子作为学习偏微分方程(PDE)参数空间与解空间之间映射的强大框架,近年来受到广泛关注.本文提出了一种基于扩张卷积的新型U-Net变体神经算子——U-DNet.该网络充分利用U-Net的多重网格结构进行多尺度特征提取与融合,并创新性地引入扩张卷积机制,有效增强了各尺度下的特征提取能力.为验证模型性能,我们在多尺度椭圆方程、Navier-Stokes方程和Helmholtz方程等多个基准数据集上进行了系统实验.实验结果表明,U-DNet在预测精度和计算效率方面均取得了显著优势,展现出其作为多尺度算子学习方法的巨大潜力.