页岩/致密油气藏等非常规油气藏的储层介质为典型的多尺度空间: 既具有纳微米级的基质孔隙, 又具有微米-厘米级的天然裂缝, 以及大规模压裂所产生的米级到百米级的人工裂缝. 本文针对裂缝多孔介质, 介绍基质、天然裂缝、宏观裂缝及大尺度缝洞中的流体耦合流动数学模型.

制件设计(“数字化”),性能优化(“优化化”),工艺仿真(“仿真化”)是3D打印过程的三个重要模块.“数字化”是指将设计图纸/预加工实物,通过图像/视频/扫描等处理手段,转化为可编辑的数字化制件.“优化化”是指在数字化的制件上施加力学,热学等物理场约束,提高制件性能.“仿真化”是指根据优化化的制件模拟真实制造场景的物理工况,进行加工过程中的物理化学变化的数字仿真和孪生建模仿真.本研究旨在介绍基于相场模型框架下的特定工艺3D打印设计-优化-仿真建模与算法研究.在“数字化”模块中,我们将针对计算机辅助设计常见的数据类型,介绍相应的三维重构模型,修补模型以及轻量化支撑结构设计模型.在“优化化”模块中,我们将介绍系列多尺度,多物理场,多材料耦合的拓扑优化问题及相应的求解方法.在“仿真化”模块中,结合3D打印参数和工艺,我们介绍宏观(相变)-微观(晶界)尺度耦合的熔融沉积成型(FDM)工艺仿真方法,以及基于激光-热-流-固等物理场耦合理论的选择性激光熔化(SLM)工艺的仿真方法.基于相场模型框架下的设计-优化-仿真研究方法将有助于缩短产品开发周期,提高设计效率,为实现3D打印制件质量溯源和根因分析提供理论依据和算法支撑.

针对大规模垂直线性互补问题的求解,运用二步多分裂技术构建了二步模基矩阵同步多分裂并行迭代方法,新方法可以看成是已有文献中模基矩阵同步多分裂迭代法和二步模基矩阵分裂迭代法的推广.进一步地,在系统矩阵为$H_+$矩阵的假设下,给出算法收敛性分析,得到了参数矩阵的收敛域,推广了已有算法的收敛性结果.最后,在OpenMP框架下针对已有文献中的两个数值例子给出了数值试验,试验结果展示了二步多分裂技术能提升已有方法的计算效率.

压缩感知(CS)是快速核磁共振成像(MRI)的一种有效的方法,该方法旨在从少量的欠采样数据空间中重建核磁共振图像,加速核磁共振成像中的数据采集.为了提高当前MRI图像的重建精度和速度,本文将传统的基于模型驱动的压缩感知恢复算法和数据驱动的深度学习方法相结合,提出了一种新的算法--ADMM-CNN.该算法将交替方向乘子法(ADMM)中的一个子问题用卷积神经网络进行求解,然后通过构造损失函数,利用梯度下降法优化ADMM中的惩罚参数和拉格朗日乘子的更新率,从而得到训练好的ADMM模型,能够有效地从压缩感知测量中恢复核磁共振图像信号.本文设计的算法与传统的重建算法相比,具有较少的正则化参数和更低的计算复杂度,同时,将一个训练好的卷积神经网络直接引入,极大简化了训练过程和计算量,并且利用GPU来进行加速训练.实验结果表明,与传统的重建算法和其他深度学习方法相比,ADMM-CNN拥有较快的计算速度和良好的重建精度.

Karney于2016年提出了一种针对标准正态分布的精确采样算法.本文给出一种针对标准差为$\sqrt{1/(2\ln2)}$均值为$0$的正态分布的精确采样算法.这一种特殊的正态分布也被称为二元高斯分布，因为其相对概率密度函数可以由$2^{-x^2}$给出,这里$x$为任意实数.在实际中,针对二元高斯分布的这一精确采样算法无需浮点运算,可以看成是Karney精确采样技术的一种推广.分析了该采样算法产生一个二元高斯样本平均需要的区间$(0,1)$上的均匀偏差数.数值实验也表明了该采样算法的有效性.对于大于$1$但小于自然常数$e$的任意有理数$c$,将精确采样二元高斯分布的思想推广到了精确采样标准差为$\sqrt{1/(2\ln{c})}$均值为$0$的被称为“$c$元高斯分布”的一类正态分布上,并进行了类似的复杂性分析.

本文研究一类分数阶非线性薛定谔方程的数值格式, 该格式满足分数阶系统的一个或多个守恒性质. 首先, 我们基于\ BDF 格式、Crank-Nicolson 格式和松弛格式来离散时间导数, 并分析半离散格式的守恒性和色散误差. 其次,在周期边界条件下, 利用中心差分格式和紧致差分格式对分数阶非线性薛定谔方程的空间分数阶导数进行离散, 并证明这些数值格式保持质量和能量守恒律. 最后, 对一些分数阶非线性薛定谔方程进行了数值实验，验证了理论结果的正确性.

从Newton-Cotes积分的角度构造了一个带参数的三级二阶显式Runge-Kutta格式和两个带参数的四级三阶显式Runge-Kutta格式,给出了精度证明及稳定性条件.当参数特殊取值时,所构造的三种参数格式分别导出了常用的三阶Runge-Kutta格式(RK3)和经典的四阶Runge-Kutta格式(RK4).通过数值算例,验证了所构造的几类Runge-Kutta格式的有效性、稳定性及高精度.与常见的各类显式Runge-Kutta格式相比，本文构造的三种Runge-Kutta格式具有更好的稳定性.

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程$AXB=C$在任意线性子空间上的最小二乘解.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程$AXB=C$的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.本文算法的优点是在任意线性子空间上均容易实现.

块Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种迭代算法.在每次迭代时,会将当前迭代点正交投影到约束子集的解空间.文章基于块Kaczmarz方法的原理,提出了高斯混合模型的随机块Kaczmarz方法(GMM-RBK (k)).其中块的划分是通过高斯混合模型进行划分的.为了避免伪逆的计算或者最小二乘问题的求解,提出了高斯混合模型的随机平均块Kaczmarz方法(GMM-RABK (k)).证明了当线性方程组是相容时,这两种算法是收敛的,并给出相应的收敛率公式.在最后的数值实验中也证实了GMM-RBK (k)方法和GMM-RABK (k)方法的有效性,且无伪逆GMM-RABK (k)方法要优于GMM-RBK (k)方法.

本文结合大规模撕裂有限元方法和Newmark积分法, 对结构动力学问题进行高精细的大规模并行求解.面向异构平台, 设计了结点间和结点内的多级动静结合的负载均衡策略.在结点间, 根据撕裂有限元方法划分子域边界特点, 采用域边界平衡的图二分算法, 均衡各个子域的计算量;在结点内, 根据异构平台计算单元的性能差异, 进行了计算负载的动态优化.针对核心计算模块批量矩阵向量乘进行多流并行优化, 提升面向异构计算平台的利用率.本文优化已经集成到结构力学高性能数值模拟软件HARSA-feti中, 实验采用真实反应堆核燃料组件的流致振动仿真作为算例, 结果表明模拟性能提高了71.3%以上, 首次实现了百亿网格规模的全堆芯燃料棒组件的高精细模拟, 相较于1000块GPU, 16000 块GPU 的强、弱可扩展并行效率分别达到74.1%和81.1%.

现代科学技术的发展使得各个领域中产生了大量的高维数据, 即样本特征量大于或远远大于样本数量的数据. 为了处理高维数据, 近年来有大量关于正则化回归模型的研究, 即通过引入调节参数将损失函数和正则项联合成一个目标函数, 比如著名的~LASSO 模型及相关模型. 众所周知, 对于正则化回归模型中最优调节参数的选择至关重要. 理论上: 该参数刻画了模型解的特征~(如稀疏性, 低秩性等), 从而决定了模型对数据的拟合效果; 计算上: 不同调节参数下模型的计算代价和计算效果不一样. 除了几类特殊的不需要进行最优调节参数选择的模型外, 目前最优调节参数选择的方法主要包含三类: 交叉验证, 信息准则及双层规划. 交叉验证及信息准则需要比较模型在不同调节参数下的解, 因此这两类最优调节参数选择方法需要多次求解模型. 除此之外, 如何更为合理地设置备选调节参数也需要进一步考虑. 为了降低交叉验证和信息准则进行最优调节参数选择的计算成本, 统计、 优化及机器学习三个方向的研究者们建立了不同的筛选规则, 即在不同调节参数下删除数据中不起作用的特征, 从而加速模型解的计算过程以达到加速最优调节参数选择过程的目的. 与交叉验证和信息准则不同, 双层规划是将最优调节参数选择问题刻画为一个双层规划模型, 通过求解模型来直接得到最优调节参数的选择结果. 本文从最优调节参数选择的方法和加速两个方面回顾现有结果, 并在此基础上提出未来的研究方向.

周期体系电子结构计算中的物理量需要通过在布里渊区上的能带积分得到.对于金属体系,被积函数在费米面穿过能带的地方出现间断,这导致一般数值积分方法的计算精度提升困难.本文基于smearing方法,分别通过一次和二次外推得到了关于展宽参数具有更高阶精度的数值格式.基于这类外推格式的数值方法在布里渊区$\mathbf{k}$点离散相同的前提下给出了更高精度的布里渊区积分逼近,显著地提高了计算效率.我们通过对两类典型体系的数值模拟验证了这类外推方法的有效性.

从模糊且含有噪声的图像中重建清晰图像是一个典型的病态问题,当模糊核是未知的时候需要同时重构模糊核和图像,这样的盲去噪去模糊问题受到学术界的广泛关注.利用变分方法,我们对遥感图像盲去噪去模糊问题建立了偏微分方程组模型,然后结合交替方向法和差分方法构造了全离散数值格式,用于求解未知核函数和清晰图像.通过数值实验分析了参数的选择对图像处理效果的影响,并确定了合理的参数.最后针对若干遥感图像进行了数值实验,实验结果表明了模型的有效性.

在高维数据分析中, 惩罚分位数回归是进行变量选择和参数估计的有效方法. 在实际应用中, 变量常以分组形式呈现, 为同时实现组间稀疏性和组内稀疏性, 本文研究了带稀疏Group Lasso惩罚的分位数回归模型. 为解决目标函数的非光滑性带来的计算挑战, 利用分位数Huber 函数近似分位数损失函数, 得到稀疏Group Lasso惩罚分位数Huber回归模型(SGLQHR). 基于Groupwise Majorization Descent (GMD) 算法提出了一种快速、有效算法求解该模型, 并建立算法收敛性. 数值实验和实例分析验证了该算法的有效性.

一维非稳态渗流模型求解是试井研究的基础,这类模型目前解法分解析解法和数值解法两大类,解析解法主要通过拉普拉斯变换及数值反演完成,数值解法则主要依赖网格划分和方程离散.以动边界思想为基础,本文提出了一维非稳态渗流模型第三类解法——非线性方程迭代解法,基于稳态依次替换法和质量守恒定律,视压力探测半径内区域渗流为稳态流动,将非稳态渗流方程转化为稳态方程,分析不同流动时间下探测半径变化规律,推导建立了不同外边界条件下探测半径的非线性控制方程,最后通过牛顿法求解非线性方程得到不同时刻井底压力,对比非线性方程迭代解与解析解显示计算误差较小,且主要是计算初期误差稍大.与传统的解析解法和数值解法相比,非线性方程迭代解法精度较高、算法简单,每个时间步仅需解一个非线性方程,显著减少了计算时间,可以在其他一维非稳态渗流问题中推广应用.

多维超奇异积分在弹性力学和电磁场的散射问题等诸多工程领域中有广泛应用.考虑构造二维、三维面型超奇异积分的求积公式,同时提高误差精度.利用复合矩形求积公式在划分的$N$个子区间内近似计算被积函数中无奇异性的部分,剩余部分通过超奇异积分的解析式求解.根据外推思想,构造一维超奇异积分的修正复合矩形求积公式.最后将带有外推的求积公式推广到二维、三维面型超奇异积分中.文章结尾的数值算例验证了方法的可行性.

本文考虑求解粒子运输中非对称代数Riccati方程最小正解的两个加速算法的收敛性问题.该方程含有两个可变参数$\alpha\in[0,1),c\in (0,1]$.我们证明了两个加速算法有相同的收敛速度,并且当$(\alpha,c)\neq (0,1)$时,两个加速算法线性收敛,当$(\alpha,c)=(0,1)$时,它们次线性收敛.

Gegenbauer加法定理是Bessel函数相关理论体系中一个重要的理论,在数学物理问题中有广泛的应用.本文在由Bessel函数和Neumann函数极限形式所导出的上界基础上,对Gegenbauer加法定理的截断误差上界进行了估计,得到了明确的误差界及其收敛阶.最后,通过数值实验验证了估计的有效性和精确性.

基于“数值算法应尽可能地保持原问题的本质特征”这一思想,本文利用复合构造方法为Zakharov系统构造了一个局部动量守恒算法.本文所提出格式的优点是它在任何时空区域都能够保持局部动量守恒和局部质量守恒,即不依赖于任何的边界条件.在合适的边界条件下,例如齐次边界条件和周期边界条件,所提出的算法也保持了全局的动量守恒和质量守恒.数值实验给出了算法的时空二阶收敛性,并且验证了该算法的长时间计算稳定性和不变量守恒性.

本文提出一种基于积极集识别技术的临近牛顿算法用以求解$\ell_1$问题.该方法的一个优势在于利用了ISTA算法良好的支集辨认性质去确定自由变量和积极集变量,另一个优势在于利用了部分Hessian矩阵的信息去更新自由变量.在适当的条件下,我们证明了所提出的算法在使用非单调线搜索策略情况下是全局收敛的.数值实验证明提出的算法是有效的.

本文结合非参数回归模型和分位数回归模型,提出了基于Fourier基的部分线性回归模型.论文采用Fourier函数逼近模型的非线性函数部分,并结合分位数回归模型给出了该模型的估计方法.在一些基本的假设条件下给出了参数向量和非线性函数估计的一致性证明,并通过模拟研究显示该方法的有效性,在论文的最后利用该模型模型对北京首都国际机场的气象测量数据进行实证分析,为准确预测PM2.5的扩散情况提出新的方法.

双子空间投影算法和多步惯性随机Kaczmarz算法是求解相干线性方程组的有效算法,本文通过软阈值函数对这两种算法进行修正,提出了稀疏双子空间投影算法和稀疏多步惯性随机Kaczmarz算法,并给出其在有噪声干扰和无噪声干扰情况下在期望意义下的线性收敛率估计.通过数值实验验证本文所提算法的有效性和优越性.

本文为KdV方程设计了一个组合高阶紧致方法,该方法同时紧致地计算了一阶和三阶空间导数,克服了传统高阶紧致方法的许多不足.对KdV方程在空间上采用组合高阶紧致格式离散,时间上用Crank-Nicolson格式并结合外推方法进行逼近,同时利用投影方法以得到一个全离散保能量格式.最后,数值实验验证了格式的收敛精度、计算效率和保能量性态.

本文首先针对文献[14]中的贪婪Kaczmarz (GK)方法提出了一个新的收敛定理;其次,为了提高求解相容线性方程组的效率,基于GK方法的贪婪策略提出了一种新的贪婪块Kaczmarz (RDBK)方法,并给出了RDBK方法的收敛定理;最后,数值实验表明RDBK方法在迭代步数和计算时间方面均显著优于GK方法.

本文为Camassa-Holm方程提出了两个局部能量守恒格式,不仅可以保持局部能量守恒还可以保持局部质量守恒,即在任何时空区域内能够精确保持能量和质量.局部能量守恒格式是全局能量守恒格式的推广,消除了（全局）保结构算法对边界条件的依赖.在合适的边界条件如周期边界条件或齐次边界条件下,局部能量守恒律和局部质量守恒律都可以转变为相应的全局守恒律.最后,数值实验验证了所提格式的良好性能.