2019年, 第40卷, 第3期　刊出日期：2019-09-15

  

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青年述评
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  MARS:多相流界面追踪问题的理论框架及高阶数值方法

  张庆海

  数值计算与计算机应用. 2019, 40(3): 161-187. https://doi.org/10.12288/szjs.2019.3.161

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  界面追踪是多相流最基本最重要的子问题之一.现有方法的思路是把其中的几何和拓扑问题转化为求解数值偏微分方程，从而避免处理这些复杂的几何和拓扑结构.与此形成鲜明对比的是，我们提出的MARS理论和高阶数值方法试图运用几何和拓扑的工具来解决几何和拓扑的问题.这篇综述性文章将简明扼要的介绍MARS理论和其衍生方法的核心内容，包括殷空间（连续介质流相的数学模型）、殷空间上的布尔代数及其算法实现、流相拓扑变化的同调分析、捐献区间（标量守恒率下相空间中的粒子分类和通量计算解析解）、VOF方法的收敛阶证明、一个四阶精度的界面追踪方法cubic MARS、以及一个四阶及以上精度的曲率估计算法HFES.经典数值测试的结果表明cubic MARS和HFES无论在效率上还是精度上相对于现有方法都具有很大优势.
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  一类非线性抛物型方程的紧差分格式

  赵心仪, 董明哲

  数值计算与计算机应用. 2019, 40(3): 188-206. https://doi.org/10.12288/szjs.2019.3.188

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  本文研究了一维非线性抛物型方程的紧差分格式.首先将非线性项线性化，并参照线性抛物型方程的紧差分格式的推导思路导出了非线性抛物型方程的紧差分格式，并给出了截断误差表达式.其次用能量方法分析了紧差分格式，导出了先验估计式，证明了差分格式的可解性、稳定性和收敛性，确定收敛阶为O（τ²+h⁴）.然后将Richardson外推法应用于紧差分格式，外推一次得到具有O（τ⁴+τ²h⁴+h⁶）阶精度的近似解.最后通过数值算例，表明非线性抛物型方程的紧差分格式及其外推格式具有较高的收敛精度.
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  软物质准晶的一个数学模型简化求解

  戴舒婷, 黄正, 钞露蓉

  数值计算与计算机应用. 2019, 40(3): 207-214. https://doi.org/10.12288/szjs.2019.3.207

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  着重于研究比较简单的二维准晶.根据软物质准晶的特性等物理知识，将高维复杂的偏微分方程简化到二维线性情形下.在二维条件下，对方程简化、求导等，将其化为二维热传导方程及位势方程.结合物理意义，给出合适的初边值条件，运用分离变量法及Green函数法给出应力的解析解.最后，在较复杂的初边值条件下，运用向前差分法对应力进行数值模拟并给出几个算例.
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  有限差分法求解声子热输运方程

  陈建灵, 冯仰德

  数值计算与计算机应用. 2019, 40(3): 215-229. https://doi.org/10.12288/szjs.2019.3.215

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  声子辐射输运方程是一个微分-积分方程，使用有限差分法数值求解具有边界条件的声子辐射输运方程，可借助Gauss-Seidel方法和有限差分离散化来保证得到稳定的数值解.通过对室温下Ge/Si/Ge薄膜的声子热输运过程进行一维数值模拟，以及对界面处使用漫射失配界面模型，可以得到温度沿着薄膜法向方向的变化曲线和Ge/Si薄膜厚度比例与温度在界面处跳跃值对材料整体结构的热导率的影响，以及随着薄膜厚度的增加薄膜热导率的变化趋势；对硅薄膜声子热输运过程进行二维数值模拟，可以得到温度沿着薄膜法向和面向方向的分布情况，以及当薄膜宽度和厚度比例不同时温度的变化和法向热导率的变化.
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  波形松弛方法的绝对稳定与压缩

  范振成

  数值计算与计算机应用. 2019, 40(3): 230-242. https://doi.org/10.12288/szjs.2019.3.230

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  波形松弛（WR）方法是求常微分方程近似解的数值方法，对它的研究多集中于收敛性，极少见到稳定性研究报告，而不稳定的数值方法是没有意义的.借鉴常微分方程数值方法绝对稳定的思想，提出了WR方法的绝对稳定定义.分析连续基本WR方法和基于Θ方法的离散基本WR方法的稳定性，给出了连续和离散WR方法的绝对稳定条件，以及离散WR方法的压缩条件.对于WR方法，分裂函数和数值方法（用于离散连续WR方法）的选择是两个基础问题.论文结论部分地揭示了WR方法的稳定性与分裂函数和数值方法的关系.