2016年, 第38卷, 第1期　刊出日期：2016-02-15

  

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综述
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  分数阶微分方程的理论和数值方法研究

  林世敏, 许传炬

  计算数学. 2016, 38(1): 1-24. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.1
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.1

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  分数阶偏微分方程的研究有很长的历史,并在最近十多年得到快速发展.相比极为有限的理论成果,数值方法的研究成果已经相当丰富,几个国际研究团队对此作出了贡献.本文旨在对分数阶微分方程的理论与数值方法研究成果做个简要的评价,聚焦总结评述与高阶方法发展密切相关的研究.主要内容为讨论最基本的三类方程:时间分数阶扩散方程、空间分数阶扩散方程、以及时空分数阶扩散方程的理论进展和数值方法研究在最近十年取得的结果.我们还有针对性地选择一些算例,用以说明几个重要方法的精度和有效性.
论文
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  一类带有空间时间白噪音随机弹性方程的全离散差分格式

  张英晗, 杨小远

  计算数学. 2016, 38(1): 25-46. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.25
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.25

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  随机弹性方程在结构工程中有许多应用.本文研究一类由空间时间白噪音扰动的随机弹性方程的全离散有限差分格式.通过引入新的函数,将随机弹性方程表示成一阶方程组的形式,然后对噪音项进行分片常数逼近,构造了带有空间时间白噪音随机弹性方程的全离散差分格式.基于对Gronwall不等式和Burkholder不等式的应用,证明了格式的L^p收敛性并得到了收敛阶.在数值实验中结合Monte-Carlo方法,所得实验结果与理论分析是一致的.
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  多组变量典型相关分析SSQCOR准则的数值求解

  王学锋, 刘新国

  计算数学. 2016, 38(1): 47-55. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.47
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.47

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  本文研究多组变量相关分析SSQCOR准则的数值方法.从KKT条件出发引入了Gauss-Seidel型方法,从SSQCOR出发引入了交替变量法.证明了前者是后者的非精确形式,都具有单调上升性.为了提高得到全局解的可能性,引入了初始点策略.用实际数据和模拟数据进行了数值试验以说明算法的有效性.
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  一类四次有理插值样条的点控制

  刘植, 肖凯, 江平, 谢进

  计算数学. 2016, 38(1): 56-64. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.56
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.56

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  构造了一种有理四次插值样条,其分子为四次多项式分母为二次多项式.该有理插值样条是有界的、保单调且C²连续的,仅带有一个调节参数δ_#em/em#.研究了有理四次插值样条的性质,同时给出了相应的函数值控制、导数值控制方法.这种方法的优点在于能够根据实际设计需要简单地选取适宜的参数,达到对曲线的形状进行局部调控的目的.
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  一类非线性四阶双曲方程扩展的混合元方法的超收敛分析

  石东洋, 张厚超, 王瑜

  计算数学. 2016, 38(1): 65-82. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.65
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.65

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  对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q₁₁及Nédélec's元建立一个扩展的协调混合元逼近格式.首先证明了逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度结果,给出了插值和投影之间的误差估计,再利用对时间t的导数转移技巧和插值后处理技术,在半离散和全离散格式下分别导出了原始变量u和中间变量v=-Δu在H¹模及中间变量q=∇u,σ=-∇(Δu)在(L²)²模意义下单独利用插值和投影所无法得到的具有O(h²)和O(h²+τ²)阶的超收敛结果.最后通过数值算例,表明逼近格式是行之有效的.这里, h和τ分别表示空间剖分参数及时间步长.
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  求解广义鞍点问题的一个新的类SOR算法

  刘丽华, 马昌凤, 唐嘉

  计算数学. 2016, 38(1): 83-95. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.83
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.83

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  本文提出了求解广义鞍点问题的一个新的类SOR迭代算法,并分析了新算法的收敛性.数值实验结果表明新算法是十分有效的.
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  无约束最优化的信赖域BB法

  刘亚君, 刘新为

  计算数学. 2016, 38(1): 96-112. https://doi.org/10.12286/jssx.2016.1.96
  CSTR: 32030.14.jssx.2016.1.96

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  梯度法是求解无约束最优化的一类重要方法.步长选取的好坏与梯度法的数值表现息息相关.注意到BB步长隐含了目标函数的二阶信息,本文将BB法与信赖域方法相结合,利用BB步长的倒数去近似目标函数的Hesse矩阵,同时利用信赖域子问题更加灵活地选取梯度法的步长,给出求解无约束最优化问题的单调和非单调信赖域BB法.在适当的假设条件下,证明了算法的全局收敛性.数值试验表明,与已有的求解无约束优化问题的BB类型的方法相比,非单调信赖域BB法中e_k=‖x_k-x*‖的下降呈现更明显的阶梯状和单调性,因此收敛速度更快.