2021年, 第43卷, 第3期　刊出日期：2021-08-15

  

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青年述评
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  机器学习原子间相互作用建模

  王涵

  计算数学. 2021, 43(3): 261-278. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0833

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  原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快，经验势模型快而不准，因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时，计算开销大大降低，因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架，归纳近年来的主要建模工作，并探讨这些工作的优势和劣势.
论文
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  随机平面线弹性问题的一类弱Galerkin方法

  陈明卿, 谢小平

  计算数学. 2021, 43(3): 279-300. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0652

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  本文针对带有随机杨氏模量和荷载的平面线弹性问题，提出了一类随机弱Galerkin有限元方法.先利用Karhunen-Loève展开把随机项参数化，将方程转化为一个确定性问题；再采用弱Galerkin有限元法和$k$-/$p$-型方法分别离散空间区域和随机场.在弱Galerkin离散中，用分片$s（s\geqslant 1$）和$s+1$次多项式逼近单元内部的应力和位移，用分片$s$次多项式逼近位移在单元边界上的迹.证明了该方法关于空间网格尺度最优且与Lamé常数$\lambda$一致无关的误差估计.最后通过数值算例验证了理论结果.
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  随机变延迟微分方程平衡方法的均方收敛性与稳定性

  包学忠, 胡琳

  计算数学. 2021, 43(3): 301-321. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0610

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  针对一类变延迟微分方程，应用全隐式方法—平衡方法，研究了其收敛性和稳定性.结果表明平衡方法以$\frac{1}{2}\gamma，\gamma\in（0，1]$阶收敛到精确解；并且强平衡方法和弱平衡方法都能保持解析解的均方稳定性；进一步数值实验验证了算法理论分析的正确性，并且表明全隐式的平衡方法比显式方法—Euler方法具有更好的稳定性.
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  一种求解非线性互补问题的多步自适应Levenberg-Marquardt算法

  胡雅伶, 彭拯, 章旭, 曾玉华

  计算数学. 2021, 43(3): 322-336. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0615

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  本文采用Modulus-based变换将非线性互补问题转化为非光滑方程组，并将一种多步自适应Levenberg-Marquardt方法推广应用于求解所得的非光滑方程组，从而得到原问题的解.在适当条件下，本文证明了算法的全局收敛性.与一种已有的参数自适应Levenberg-Marquardt方法（PSA-LMM）相比较，数值实验结果表明了本文所提出的算法具有更好的效率.
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  状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价的拟合有限体积方法

  甘小艇

  计算数学. 2021, 43(3): 337-353. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0617

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  本文主要研究状态转换下欧式Merton跳扩散期权定价模型的拟合有限体积方法.针对该定价模型中的偏积分-微分方程，空间方向采用拟合有限体积方法离散，时间方向构造Crank-Nicolson格式.理论证明了数值格式的一致性、稳定性和单调性，因此收敛至原连续问题的解.数值实验验证了新方法的稳健性，有效性和收敛性.
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  连续Sylvester方程的广义正定和反Hermitian分裂迭代法及其超松弛加速

  李旭, 李明翔

  计算数学. 2021, 43(3): 354-366. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0630

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  对于求解大型稀疏连续Sylvester方程，Bai提出了非常有效的Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）迭代法.为了进一步提高求解这类方程的效率，本文建立一种广义正定和反Hermitian分裂（GPSS）迭代法，并且提出不精确GPSS（IGPSS）迭代法从而可以降低计算成本.对GPSS迭代法及其不精确变体的收敛性作了详细分析.另外，建立一种超松弛加速GPSS（AGPSS）方法并且讨论了收敛性.数值结果表明了方法的高效性和鲁棒性.
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  对流扩散反应方程的局部投影稳定化连续时空有限元方法

  董自明, 李宏, 赵智慧, 唐斯琴

  计算数学. 2021, 43(3): 367-387. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0641

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  本文将局部投影稳定化（LPS）方法和连续时空有限元方法相结合研究对流扩散反应方程，给出稳定化连续时空有限元离散格式.与传统的时空有限元研究思路不同，时间方向利用Lagrange插值多项式，解耦时间和空间变量，降低时空有限元解的维数，具有减少计算量和简化理论分析的优点.通过引入Legendre多项式给出了有限元解的稳定性分析，进一步引进Lobatto多项式证明了有限元解的全局L^∞（L²）和局部L²（J_n；LPS）范数误差估计.最后给出数值算例验证理论分析的正确性，以及稳定化格式的可行性和有效性.
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  凸约束伪单调方程组的无导数投影算法

  刘金魁, 孙悦, 赵永祥

  计算数学. 2021, 43(3): 388-400. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0659

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  基于HS共轭梯度法的结构，本文在弱假设条件下建立了一种求解凸约束伪单调方程组问题的迭代投影算法.该算法不需要利用方程组的任何梯度或Jacobian矩阵信息，因此它适合求解大规模问题.算法在每一次迭代中都能产生充分下降方向，且不依赖于任何线搜索条件.特别是，我们在不需要假设方程组满足Lipschitz条件下建立了算法的全局收敛性和R-线收敛速度.数值结果表明，该算法对于给定的大规模方程组问题是稳定和有效的.
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  改进的分块模方法求解对角占优线性互补问题

  张丽丽, 任志茹

  计算数学. 2021, 43(3): 401-412. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0774

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  为了高效求解中小型线性互补问题，本文提出了改进的分块模方法，并证明了关于严格对角占优（对角元素均为正数）线性互补问题的收敛性.对于广义对角占优线性互补问题，先将其转化为严格对角占优线性互补问题，再采用改进的分块模方法求解.数值结果表明，改进的分块模方法在求解广义对角占优线性互补问题时在内迭代次数和计算时间上均明显优于分块模方法.