2022年, 第44卷, 第1期　刊出日期：2022-02-14

  

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青年评述
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  相位恢复:理论、模型与算法

  许志强

  计算数学. 2022, 44(1): 1-18. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0855

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  相位恢复在多个不同领域均被提出，如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景，亦具有丰富的数学内涵，因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注，如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题，特别是最少观测次数问题，并介绍求解相位恢复的模型性能，以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.
论文
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  非自治刚性随机微分方程正则EM分裂方法的收敛性和稳定性

  余妍妍, 代新杰, 肖爱国

  计算数学. 2022, 44(1): 19-33. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0748

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  本文研究了数值求解非自治随机微分方程的正则Euler-Maruyama分裂（CEMS）方法，该方程的漂移项系数带有刚性且允许超线性增长，扩散项系数满足全局Lipschitz条件.首先，证明了CEMS方法的强收敛性及收敛速度.其次，证明了在适当条件下CEMS方法是均方稳定的.进一步，利用离散半鞅收敛定理，研究了CEMS方法的几乎必然指数稳定性.结果表明，CEMS方法在漂移系数的刚性部分满足单边Lipschitz条件下可保持几乎必然指数稳定性.最后通过数值实验，检验了CEMS方法的有效性并证实了我们的理论结果.
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  球面上$\ell_1$正则优化的随机临近梯度方法

  米玲, 薛文娟, 沈春根

  计算数学. 2022, 44(1): 34-62. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0731

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  本文研究球面上的$\ell_1$正则优化问题，其目标函数由一般光滑函数项和非光滑$\ell_1$正则项构成，且假设光滑函数的随机梯度可由随机一阶oracle估计.这类优化问题被广泛应用在机器学习，图像、信号处理和统计等领域.根据流形临近梯度法和随机梯度估计技术，提出一种球面随机临近梯度算法.基于非光滑函数的全局隐函数定理，分析了子问题解关于参数的Lipschtiz连续性，进而证明了算法的全局收敛性.在基于随机数据集和实际数据集的球面$\ell_1$正则二次规划问题、有限和SPCA问题和球面$\ell_1$正则逻辑回归问题上数值实验结果显示所提出的算法与流形临近梯度法、黎曼随机临近梯度法相比CPU时间上具有一定的优越性.
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  带五次项的非线性Schrödinger方程的守恒差分格式

  张法勇, 安晓丽

  计算数学. 2022, 44(1): 63-70. https://doi.org/10.12286/jssx.j2019-0557

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  本文研究带有五次项的非线性Schrödinger方程初边值问题的有限差分法，其中方程中二阶偏导数项的系数、五次项的系数及初值满足下面的条件（1.6）.针对此问题，我们研究了一个守恒差分格式，在条件（1.6）下，差分解的$L^{\infty}$模先验估计被得到.在此基础上，我们得到了差分解最优$L^2$模的误差估计.
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  带动量项的高阶幂法解高阶马尔科夫链的极限概率分布向量

  喻高航, 周艺, 吕来水

  计算数学. 2022, 44(1): 71-88. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0704

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  针对高阶马尔科夫链的极限概率分布问题，本文提出了两种带动量项的高阶幂法，并在一定条件下建立了所提算法的收敛性定理.数值实验结果表明动量项能够有效改善原幂法的计算效率.
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  关于“求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法”一文的注记

  缪树鑫

  计算数学. 2022, 44(1): 89-96. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0707

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  在"求解加权线性最小二乘问题的一类预处理GAOR方法"一文中，作者提出了求解加权线性最小二乘问题等价$2\times 2$块线性系统的一类预处理GAOR方法，并给出了几个比较定理来说明新提出预处理GAOR方法的优越性.本文我们将指出该文中几个比较定理的不完善之处和证明的错误之处，并给出正确的证明.
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  导数振荡与应变能极小的平面分段三次参数Hermite插值

  李军成, 刘成志, 郭啸

  计算数学. 2022, 44(1): 97-106. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0711

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  由于分段三次参数Hermite插值的切矢往往被作为变量，故可对其进行优化以使得构造的插值曲线满足特定的要求.为了构造兼具保形性与光顺性的平面分段三次参数Hermite插值曲线，给出了一种通过同时极小化导数振荡和应变能来确定切矢的方法.首先以导数振荡函数和应变能函数为双目标建立了切矢满足的方程系统；然后证明了方程系统存在唯一解，并给出了解的具体表达式；最后给出了误差分析，并通过数值算例表明方法的有效性.结果表明，相对于导数振荡极小化方法和应变能极小化方法，所提出的导数振荡和应变能极小化方法同时兼顾了平面分段三次参数Hermite插值曲线的保形性和光顺性.
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  基于分数阶扩散方程的离散线性代数方程组迭代方法研究

  邵新慧, 亢重博

  计算数学. 2022, 44(1): 107-118. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0718

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  本文构建一类双参数拟Toeplitz分裂（TQTS）迭代方法求解变系数非定常空间分数阶扩散方程.TQTS迭代法是基于QTS迭代法引入双参技术建立而成，通过选取适当的参数使迭代矩阵谱半径变得更小，从而有效提升收敛的速度.然后对TQTS迭代法进行收敛性分析，获得相应的收敛区域，并对迭代法中涉及的参数进行讨论，获得使迭代矩阵谱半径上界达到最小的最优参数的表达式.最后通过数值仿真实验验证TQTS迭代法的有效性，实验结果表明TQTS迭代法改进效果十分突出，在迭代时间和步数上均有明显的减小.
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  改进的PNC方法及其在非线性偏微分方程多解问题中的应用

  刘嘉诚, 陈先进, 段雅丽, 李昭祥

  计算数学. 2022, 44(1): 119-136. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0729

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  2017年，李昭祥等提出了一种偏牛顿-校正法（Partial Newton-Correction Method，简记为PNC方法），并利用它成功地计算出了三类非线性偏微分方程的多重不稳定解.本文在PNC方法的基础上，提出并发展了一种改进的PNC方法.首先，利用Nehari流形$\mathcal{N}$与零平凡解的可分离性，建立并证明了$\mathcal{N}$的某特殊子流形$\mathcal{M}$上的全局分离定理及其推广（即局部分离定理）.全局分离定理只跟非线性偏微分算子或相应的非线性泛函本身有关，而与具体的计算方法无关.对一些典型的非线性偏微分方程多解问题（比如，Henon方程问题），该全局分离定理的分离条件，经验证是成立的.另一个方面，通过修改或补充原辅助变换的定义，去掉了原辅助变换的奇异性；接着建立并证明了某些非线性偏微分方程问题的新未知解与该非线性偏微分算子零核空间的密切关系；在证明中，去掉了在原奇异变换下所需的标准收敛（standard convergence）假设.最后，计算实例与数值结果验证了改进的PNC方法的可行性和有效性；同时表明子流形$\mathcal{M}$与已知解的可分离性是PNC方法和本文新方法能成功找到多解的关键.
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  一类特殊的分式规划问题的ε-近似算法

  申子慧, 陈玉松

  计算数学. 2022, 44(1): 137-144. https://doi.org/10.12286/jssx.j2020-0742

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  本文针对一类特殊的分式规划问题基于网格搜索提出了一个求其全局最优解的算法，且从理论上证明了算法的收敛性与计算复杂性，通过算例验证了算法的可行性与有效性.