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2026年, 第48卷, 第4期　刊出日期：2026-09-28
  

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    青年评述
  • 分层周期结构中亥姆霍兹方程的波模
    张佳毅, 胡广辉
    计算数学. 2026, 48(4): 565-586. https://doi.org/10.12286/jssx.j2026-1407
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    在本文中我们将综述二维分层周期材料中满足某种横向拟周期边界条件的亥姆霍兹 (Helmholtz) 方程的波模 (wave modes). 利用周期常微分算子的谱理论和椭圆偏微分方程的布洛赫 (Bloch) 理论, 本文在TE极化情形呈现了电磁波在三种不同非齐次周期层状材料中传播的波模: 水平周期介质,垂直周期和一般的双周期介质. 借助波传播的有限能量性质, 本文刻画了非齐次周期介质中横向拟周期的亥姆霍兹方程的辐射模.
    • 论文
  • 多项时间分数阶Allen-Cahn方程能量稳定且保最大值原理的二阶$\overline{L1}$方法
    周永涛, 蔡隆博
    计算数学. 2026, 48(4): 587-603. https://doi.org/10.12286/jssx.j2024-1246
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    本文构造了求解多项时间分数阶 Allen-Cahn 方程的二阶$\overline{L1}$方法. 为了处理所研究方程解在初始时刻的弱奇异性, 时间方向采取了分级网格. 还严格证明了所构造格式的解的唯一性、离散能量稳定性和离散最大值原理. 数值实验结果验证了理论分析的正确性, 同时展示了所提出方法在处理具有初始时刻弱奇异性与长程记忆效应的有效性.
  • 求解张量补全双层优化模型的Bregman邻近梯度算法
    兰泽, 闫喜红, 李嘉琪
    计算数学. 2026, 48(4): 604-626. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1336
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    本文提出了一种求解张量补全双层优化模型的惯性Bregman邻近梯度算法. 该方法在邻近梯度算法的框架下, 针对张量的特性, 为了保留数据的结构信息, 在子问题中引入Bregman距离, 从而提高计算效率. 通过Kurdyka-Łojasiewicz性质分析了算法的全局收敛性. 数值实验验证了该算法在恢复精度和计算效率方面的有效性.
  • 柱状共振隧穿二极管的数值模拟
    郭唯一, 姜海燕, 卢朓, 姚文琦
    计算数学. 2026, 48(4): 627-647. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1347
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    本文对三维柱状共振隧穿二极管量子输运模型设计了高精度算法. 基于模态空间近似, 我们把柱状区域 Schrödinger 方程简化为一维特征值问题与一维输运问题, 对特征值问题采用 Chebyshev-Gauss-Lobatto 配点的谱配置点法求解, 并借助Galerkin谱方法的形式给出了该方法的严格收敛性分析, 证明了其具有指数阶收敛速率. 我们通过数值实验验证了理论结果, 并表明该方法在计算精度上显著优于传统中心差分格式. 对输运方向采用差分格式计算. 本文采用高精度算法数值模拟了共振隧穿二极管的输运特性, 针对双势垒势能函数情形, 通过计算透射率清晰呈现了量子共振隧穿现象, 通过模拟共振隧穿二极管电流-电压特性复现了负电阻效应, 通过展示特定偏压下电子密度分布合理解释了负电阻产生的原因.
  • 求解EVLCP的全局渐近稳定动力学模型
    魏菀菲, 林诗萍, 陈彩荣, 韩德仁
    计算数学. 2026, 48(4): 648-667. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1350
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    本文首先将扩展垂直线性互补问题转换为新型广义绝对值方程组, 而后基于该绝对值方程组建立了求解扩展垂直线性互补问题的动力学模型, 并在一定条件下证明了模型的全局渐近稳定性. 与已有模型不同的是, 本文的模型无需对扩展垂直线性互补问题进行光滑化, 且数值实验表明本文的模型优于已有的连续动力学模型.
  • 一维链式L1-TV模型的连续域动态规划方法
    闫凯, 付梅艳, 姚成宝
    计算数学. 2026, 48(4): 668-687. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1353
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    本文研究一类带全变差 (TV) 正则项的一维链式凸优化问题, 其中每个位置包含两处 $L_1$ 数据项且 TV 权重允许位置依赖. 提出一种基于连续域动态规划(continuous-domain dynamic programming, CD-DP)的精确计算方法. 在前向阶段, 算法以“折点栈/下凸包”结构维护值函数的分段线性凸表示, 通过有界斜率投影落实对偶约束, 并在指定位置引入次梯度跳变以处理非光滑惩罚; 各步更新后再通过线段合并与下凸包维护保持导数的单调性与值函数的凸结构. 后向阶段采用回代恢复原变量并满足互补松弛条件, 从而在有限步内获得满足一阶最优性的精确解. 证明了值函数在每层至多引入常数个新的折点, 从而其分段线性结构的总体段数线性受控. 在候选折点集合 $S$ 的规模 $|S|$ 固定时, 算法的总时间复杂度为 $O(n|S|)$, 额外内存为 $O(|S|)$. 数值实验表明, 与交替方向乘子法 (ADMM) 和线性规划(LP)方法相比, 本文方法在大规模实例上可实现数量级的加速, 对于文中考虑的典型参数范围, 算法仍呈近似线性标度, 同时保持结果的稳定性与可复现性. 该方法适用于长链结构和批量求解场景, 为$L_1$-TV凸优化问题的求解提供一种新思路.
  • 三维不可压缩变密度流能量稳定的高阶隐式Lagrangian有限元方法
    董晓月, 李凌霄, 张杰
    计算数学. 2026, 48(4): 688-706. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1354
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    针对三维不可压缩变密度流，基于移动曲边四面体网格，提出了一种能量稳定的高阶隐式拉格朗日有限元方法. 速度和压力的空间离散采用满足inf-sup条件的高阶曲线有限元方法，时间离散选择隐式欧拉方法. 得到的全离散格式需在每个时间步求解鞍点问题，提出了一个增广拉格朗日预条件子来加速Krylov子空间方法的收敛. 拉格朗日方法可以精确追踪物质界面，据此将表面张力的计算转化为界面上测试函数表面散度的计算. 数值算例验证了方法的高阶精度、能量稳定性、有效性和稳健性.
  • 广义非线性薛定谔方程的能量守恒指数波积分方法及其误差分析
    唐林, 冉茂华, 罗佳玲
    计算数学. 2026, 48(4): 707-731. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1355
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    针对含高阶色散项的广义非线性薛定谔方程在长时间模拟中存在的计算困难, 本文提出了一种保能量的指数波积分傅里叶拟谱方法(EP-EWIFP). 该研究主要探讨高阶色散项对数值方法构造的影响, 并改进现有方法在物理特性保持方面的局限性. 所构造的格式具有时间对称性与稳定性, 且能在离散意义层面严格保持能量守恒律. 理论分析证实, 在长达$T = \mathcal{O}(\varepsilon^{-\alpha})(0 \leq \alpha \leq 2$, 其中$\varepsilon$为非线性强度参数)的时间尺度上, 该方法可获得一致有界的数值误差$\mathcal{O}(h^{m_0} + \varepsilon^{2-\alpha}\tau^2)$, 其中$h$为空间步长, $\tau$为时间步长, $m_0$取决于解的空间正则性. 数值实验验证了方法的二阶时间收敛性, 空间谱精度以及优异的能量守恒特性, 为非线性光学, 等离子体物理等领域的长时间动力学模拟提供了高效仿真工具.
  • 具有年龄结构的SEIR模型最优控制问题的理论与数值分析
    孙欣瑶, 高建芳, 杨占文
    计算数学. 2026, 48(4): 732-748. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1357
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    本文研究了易感-暴露-感染-康复 (SEIR) 模型的最优控制及数值稳定性问题. 通过引入疫苗接种和治疗控制变量, 我们推导了原问题的伴随方程, 并建立了最优控制的必要条件. 随后采用线性隐式欧拉 (IMEX) 方法处理该模型, 证明该数值方法能无条件保持解的正性, 并确保数值解与精确解之间的一阶收敛性. 本文还针对最优控制问题提出了数值优化方案, 通过理论分析和数值模拟, 制定了最优控制策略, 可为传染病防控提供参考依据.
  • 基于有限差分-谱配置法的FMLS模型下的欧式看涨期权定价
    蒋晓颖, 王天宇, 魏宇杰
    计算数学. 2026, 48(4): 749-759. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1359
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    本文研究了有限矩对数稳定 (FMLS) 模型下欧式看涨期权定价的高效数值算法. FMLS 模型能够捕捉期权价格在短期内的显著波动现象, 该模型可用空间分数阶 Black-Scholes (SFBS) 方程刻画, 其数值求解难度高于经典的 Black-Scholes 模型. 为此, 本文构建了一种基于 Legendre 谱配置法的有限差分-谱配置格式, 用来求解该 SFBS 模型.此外, 本文对所提方法进行了严格的误差分析. 数值实验结果表明, 该算法是有效的, 且与理论分析结果一致.
  • 局部可调形的C3连续拟Catmull-Rom样条插值函数
    李军成, 刘成志
    计算数学. 2026, 48(4): 760-774. https://doi.org/10.12286/jssx.j2025-1360
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    为克服 $C^{3}$ 连续拟 Catmull-Rom 样条函数在形状调整上的局限, 构造了一组带局部自由参数的拟 Catmull-Rom 样条基函数, 并以此定义了一类局部形状可调的拟 Catmull-Rom 样条函数, 称之为改进拟 Catmull-Rom 样条函数. 分析了该样条函数的插值误差, 并给出了构造最优插值的方法. 数值算例表明, 改进拟 Catmull-Rom 样条函数可通过调整自由参数的取值灵活实现形状的局部调整, 且其最优插值的整体误差明显小于原拟 Catmull-Rom 样条函数的最优插值.
  • 一种基于调和F-Ritz向量修正搜索子空间的全局GMRES算法
    钟宇豪, 王嘉慧, 荆燕飞
    计算数学. 2026, 48(4): 775-796. https://doi.org/10.12286/jssx.j2026-1373
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    基于 Robbé 和 Sadkane 在 IB-BGMRES 方法的不精确崩溃(inexact breakdowns)处理技术 (见文献 [Linear Algebra Appl., 第419卷(2006年), 第265-285页]), 本文从划分搜索子空间的角度出发, 提出了一种用于求解具有多个右端项的非对称线性方程组的全局 GMRES 方法(Gl-GMRES)的新变体, 记为 GLGMRES-S. 该方法可视为 IB-BGMRES 在全局算法下的推广. 在 Gl-GMRES 中, 全局 Arnoldi 过程生成的块 Krylov 基矩阵必须保持相同的维度, 因此IB-BGMRES 中用于检测不精确分解的两个准则不再适用. 不检测不精确分解, 而是将子空间分裂技术引入全局 Arnoldi 过程, 从而在全局 GMRES 框架内隐式地实现子空间划分, 并从理论上建立了相关的类 Arnoldi 关系式. 数值实验表明, 所提出的 GLGMRES-S 算法在实际应用中能提升全局 GMRES 的收敛性. 此外, 与消除型全局 GMRES (GLGMRES-DR) [Numer. Algorithms, 第82卷 (2019年), 第155-181页]相比, GLGMRES-S 同样具有竞争力, 前者通过外层增广的方式, 将调和 $F$-Ritz 向量加入全局 Arnoldi 过程构造搜索空间.
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