2020年, 第42卷, 第4期　刊出日期：2020-11-15

  

• 全选
  |

青年评述
• Select
  复合凸优化的快速邻近点算法

  郦旭东

  计算数学. 2020, 42(4): 385-404. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.385

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  在大数据时代，随着数据采集手段的不断提升，大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析，机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下，本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时，我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后，本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量，从而进一步加速邻近点算法.
论文
• Select
  关于辛算法稳定性的若干注记

  尚在久, 宋丽娜

  计算数学. 2020, 42(4): 405-418. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.405

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  我们讨论辛算法的线性稳定性和非线性稳定性，从动力系统和计算的角度论述了研究辛算法的这两类稳定性问题的重要性，分析总结了相关重要结果.我们给出了解析方法的明确定义，证明了稳定函数是亚纯函数的解析辛方法是绝对线性稳定的.绝对线性稳定的辛方法既有解析方法（如Runge-Kutta辛方法），也有非解析方法（如基于常数变易公式对线性部分进行指数积分而对非线性部分使用其它数值积分的方法）.我们特别回顾并讨论了R.I.McLachlan，S.K.Gray和S.Blanes，F.Casas，A.Murua等关于分裂算法的线性稳定性结果，如通过选取适当的稳定多项式函数构造具有最优线性稳定性的任意高阶分裂辛算法和高效共轭校正辛算法，这类经优化后的方法应用于诸如高振荡系统和波动方程等线性方程或者线性主导的弱非线性方程具有良好的数值稳定性.我们通过分析辛算法在保持椭圆平衡点的稳定性，能量面的指数长时间慢扩散和KAM不变环面的保持等三个方面阐述了辛算法的非线性稳定性，总结了相关已有结果.最后在向后误差分析基础上，基于一个自由度的非线性振子和同宿轨分析法讨论了辛算法的非线性稳定性，提出了一个新的非线性稳定性概念，目的是为辛算法提供一个实际可用的非线性稳定性判别法.
• Select
  中立型比例延迟微分系统线性θ-方法的渐近估计

  张根根, 肖爱国, 王晚生

  计算数学. 2020, 42(4): 419-434. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.419

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  本文研究了一类线性非自治中立型比例延迟微分系统线性θ-方法的渐近稳定性，并借助于泛函不等式得到了数值解的渐近估计.此渐近估计不仅比数值渐近稳定性描述得更加精确，而且还能给出非稳定情形数值解的上界估计式.数值算例验证了相关理论结果.
• Select
  无单调性集值变分不等式的一种投影算法

  陈园

  计算数学. 2020, 42(4): 435-444. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.435

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  本文给出了求解无单调性集值变分不等式的一个新的投影算法，该算法所产生的迭代序列在Minty变分不等式解集非空且映射满足一定的连续性条件下收敛到解.对比文献[10]中的算法，本文中的算法使用了不同的线性搜索和半空间，在计算本文所引的两个数值例子时，该算法比文献[10]中的算法所需迭代步更少.
• Select
  非线性第二类Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法

  古振东, 孙丽英

  计算数学. 2020, 42(4): 445-456. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.445

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  我们在参考了相关文献的基础上，考察了一类非线性Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法.方法中，我们将该类非线性方程转化为两个方程进行数值逼近.我们选择N阶Chebyshev Gauss-Lobatto点作为配置点，对积分项用N阶高斯数值积分公式逼近.收敛性分析结果表明数值误差的收敛阶为N^（1/2）-m，其中m是已知函数最高连续导数的阶数.我们也开展数值实验证实这一理论分析结果.
• Select
  凸约束非光滑方程组一个新的谱梯度投影算法

  尹江华, 简金宝, 江羡珍

  计算数学. 2020, 42(4): 457-471. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.457

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  基于寻找分离超平面的三种经典线搜索技术，本文提出了一种自适应线搜索技术.结合谱梯度投影法，提出了凸约束非光滑单调方程组的一个谱梯度投影算法.该算法不需要计算和存储任何矩阵，因而适合求解大规模非光滑的非线性单调方程组.在较弱的条件下，证明了方法的全局收敛性，并分析了算法的收敛率.数值试验结果表明算法是有效的和鲁棒的.
• Select
  对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元解的误差估计

  唐斯琴, 李宏, 董自明, 赵智慧

  计算数学. 2020, 42(4): 472-486. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.472

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  在流线迎风Petrov-Galerkin（SUPG）稳定化有限元数值格式的基础上，结合时间方向的变分离散，构造对流反应扩散方程的稳定化时间间断时空有限元格式.该类格式在工程上有一些数值模拟应用，但相关文献没有看到类似数值格式的理论证明.本文以Radau点为节点，构造时间方向的Lagrange插值多项式，证明了稳定化有限元解的稳定性，时间最大模、空间L²（Ω）-模误差估计.文中利用插值多项式和有限元方法相结合的技巧，解耦时空变量，去掉了时空网格的限制条件，提供了时间间断稳定化时空有限元方法的理论证明思路，克服了因时空变量统一导致的实际计算时的复杂性.
• Select
  关于最小二乘QR分解算法(LSQR)的一个注记

  何鹏辉, 李厚彪

  计算数学. 2020, 42(4): 487-496. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.487

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  本文从最小多项式出发，通过寻找包含奇异线性系统Ax=b最小范数解的一个解空间，获得了一个更简单的求解广义逆的计算公式.并从理论上对最小二乘QR分解算法（LSQR）收敛性进行了简单分析，分析表明LSQR的收敛性与矩阵A的非零奇异值密切相关，并用A的非零奇异值以及所寻找到的最小范数解空间将最小范数解线性表出.
• Select
  四元数矩阵方程AXB+CXD=E的广义延拓解

  蓝家新, 黄敬频, 毛利影, 王敏

  计算数学. 2020, 42(4): 497-507. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.497

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  本文在四元数体上讨论矩阵方程AXB+CXD=E的广义行（列）共轭延拓解问题.利用四元数矩阵的复与实分解，以及广义共轭延拓矩阵的结构特点，借助矩阵Kronecker积，把约束四元数矩阵方程转化为实数域上无约束方程，从而得到该方程具有广义行（列）共轭延拓解的充要条件及其通解表达式.最后通过数值算例说明所给算法的可行性.
• Select
  广义Nekrasov矩阵的细分迭代判别法

  郭爱丽, 聂祥荣, 武玲玲

  计算数学. 2020, 42(4): 508-514. https://doi.org/10.12286/jssx.2020.4.508

  摘要 ( ) PDF全文 ( )   可视化   收藏

  利用细分矩阵下标集合的思想，构造递进系数和特殊的正对角矩阵，结合不等式的放缩，给出广义Nekrasov矩阵的迭代判别法，推广和改进了已有相关结果，并用数值实例说明了所得结果的优越性.