本文粗略地探讨数学形式化的基本原理与应用, 重点介绍形式化语言Lean及其在数学优化中的应用进展. 我们先回顾数学形式化的发展背景, 阐述形式化语言Lean的构建原理及其正确性保障机制, 介绍Lean语言中的定理库Mathlib4的作用. 通过自然语言与形式化证明的对比, 阐述利用形式化验证数学的优势, 强调形式化在数学理论的准确验证中的重要作用. 在数学优化领域, 本文讨论目前数学优化理论的形式化进展, 以二次上界引理等经典定理的形式化实例, 进一步给出形式化数学的特点与优势. 此外, 我们探讨运筹优化中的形式化目标, 以及自动形式化和自动定理证明的可能性, 分析自动化工具在数学形式化过程中的潜力与挑战. 最后总结数学形式化的研究现状, 提出一些推动形式化领域发展的建议, 并探讨形式化在应用数学理论发展中的重要意义.

本文围绕内蕴有限元,探讨其在数值偏微分方程中的应用,及其与离散微分几何和拓扑数据分析的潜在联系.由保持连续问题的数学与物理结构的数值离散驱动,本文简要回顾有限元外微分(Finite Element Exterior Calculus,FEEC)的发展.通过经典de Rham复形及BGG复形的规范离散,提出一个扩展的形式值微分形式有限元周期表,涵盖Whitney形式、分布有限元、Regge有限元及Hessian和div div复形等,为张量问题的数值求解提供统一工具.本文进一步分析内蕴有限元在Riemann-Cartan几何、广义连续介质及引力波计算等跨学科应用中的潜力.

本文考虑一类由斜对称三对角矩阵和周期斜对称三对角矩阵结合而成的特殊矩阵, 简称为广义周期斜对称三对角矩阵. 研究了一个构造该矩阵的逆特征值问题, 即从给定的三个平衡集和一个正数中来构造该类矩阵. 首先将该矩阵酉相似于一个广义周期对称三对角矩阵, 从而来分析该矩阵的特征值与其顺序主子矩阵和尾主子矩阵的特征值之间的关系, 分别从这两个主子矩阵的谱是否有交集和尾主子矩阵阶数的奇偶性等两个方面进行讨论. 进而给出不同情形下该逆特征值问题有解的充要条件, 并且确定了解存在时的最大个数和重构算法. 最后通过两个数值算例验证了该算法的有效性.

推导二维Sobolev方程具有空间四阶精度的紧致差分格式, 证明了紧致差分格式的收敛性. 改写差分格式为矢量形式, 利用特征投影分解(Proper Orthogonal Decomposition, 简称 POD)方法构造降维高阶紧致差分格式, 并证明了近似解的误差估计. 给出数值算例, 分别计算紧致差分格式和降维紧致差分格式的数值误差, 空间收敛阶和时间收敛阶, 验证了实验结果和理论分析相符, 进一步对比降维前后两种格式的CPU计算时间, 表明了应用POD方法用于紧致格式降维的优越性.

本文针对一类含$\alpha\in(0,1)$阶Riemann-Liouville导数的时间分数阶扩散方程,提出了一类时空混合有限元法: 空间离散采用$m(m\geq0)$阶的Raviart-Thomas(RT)有限元, 时间离散采用分片$r(r\ge 0)$次间断Galerkin(DG)有限元. 由于解在$t=0$附近有奇性, 时间方向上使用等级网格. 分析了全离散格式的适定性. 对于时间离散采用分片常数$(r=0)$DG格式和分片线性$(r=1)$DG格式这两种情形, 推导了全离散误差估计, 并给出了数值实验.

垂直非线性互补问题在实际中有着广泛的应用, 设计求解垂直非线性互补问题的数值方法是近年来学者们的研究热点. 为充分利用高性能计算机进行求解, 本文运用矩阵多分裂结合垂直非线性互补问题的等价模方程建立了一类模系同步多分裂迭代法, 在$H$-矩阵的假设下给出模系同步多分裂迭代法的若干收敛性条件, 并得到常见的加速超松弛多分裂迭代过程松弛参数的收敛域, 最后在OpenACC框架下通过数值实验展示模系同步多分裂迭代法的高效并行计算效率.

单相多组分渗流问题在油气藏、地下水污染等广泛存在, 对其进行数值模拟研究具有重要的意义.本文针对传统IMPEC(隐式压力显式摩尔密度)方法存在对所有组分不遵循质量守恒问题, 采用一种对每一组分质量守恒的保物理性IMPEC方法进行时间离散, 迎风块中心有限差分方法对压力方程、达西方程和组分方程空间离散.本文在合理的假设条件下, 对所构造的所有组分保质量守恒的特性以及摩尔密度分别进行了严格的证明.最后, 本文通过单相多组分渗流问题进行数值模拟, 验证所算法的有效性.

近年来,指数标量辅助变量(E-SAV)方法作为一种流行的方法用来近似相场模型,主要是由于E-SAV方法不需要假设非线性函数下有界的优越性,本文将E-SAV方法和向后欧拉公式相结合对一类非线性波动方程进行离散,得到了具有一阶精度的线性格式,并给出了相应的误差估计,进一步通过两个数值实验验证了理论的有效性和相较于其他格式的优越性.

对机器学习和图像处理中大量出现的三块复合优化问题,原始对偶不动点算法(PDFP)是解决这类问题的一类有效算法.本文结合PDFP和Nesterov加速技术提出了加速原始对偶不动点算法(APDFP).APDFP可以包含加速临近交替预测校正算法(APAPC)作为特殊情况.在适当的条件下,我们证明了APDFP有非遍历意义下O(1/N)的收敛率.此外,针对fused lasso和计算机断层扫描(CT)图像重建问题的数值实验验证了算法的有效性.

多维标度分析是一种在低维空间中以点间距离展现观测对象之间相似性测度或亲疏关系的多维数据分析方法, 其通过在低维空间中表示高维数据, 保留数据点之间的相对距离关系. 本文主要针对对称多维标度中一类考虑观测对象之间个体差异的个体差异标度模型(O-INDSCAL)设计有效的数值求解算法. 首先基于交替最小二乘迭代算法思想将模型对应的多变量约束矩阵优化问题转换为不动点迭代问题, 并结合向量序列加速原理给出加速算法的具体实施过程, 进而设计适应问题模型的基于极小多项式外推加速, 降秩外推加速和修正极小多项式外推加速, 以及Anderson加速的不动点迭代加速算法. 数值实验说明表明所考虑的加速算法均可提高由不动点迭代生成序列的收敛速度, 同时较O-INDSCAL 模型求解已有的基于连续时间的投影梯度流算法和基于流形优化的黎曼优化工具箱Manopt中若干黎曼一阶和二阶算法在迭代效率上均有较为明显的优势.

本文旨在探讨时谐波动方程反源问题的一些研究进展,并建立一般情形下反源问题的稳定性理论.我们针对确定和随机波动方程的散射模型,总结已有理论和数值结果并阐明研究思路.

本文将Hermite多项式作为神经网络的隐层, 利用遗传算法优化Hermite神经网络的初始权值, 同时选取遗传算法优化的Hermite神经网络实际输出与期望输出的误差函数的倒数作为遗传算法的适应度函数, 构造一种新的遗传算法优化的Hermite神经网络求解Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程的数值方法. 结合多点处的泰勒公式, 给出Caputo分形-分数阶Bagley-Torvik微分方程数值解的一般形式, 理论探究了该算法的绝对误差及收敛性. 与现有数值方法进行比较, 结果表明本文方法的有效性和可行性.

本文提出了一种带惯性项的自适应步长三算子分裂算法求解非光滑 DC 规划问题. 在适当的条件下, 证明了由算法产生的迭代序列收敛到问题的稳定点. 最后将算法应用于稀疏恢复问题, 数值实验表明新算法的有效性和优越性.

基于跳适应的时间剖分, 本文研究提出求解一类非线性跳扩散问题的跳适应分裂步向后Euler数值逼近方法. 在非全局Lipschitz条件下, 通过克服强非线性系数和随机时间剖分以及弱时间正则性给数值分析带来的主要困难, 我们严格证明了跳适应分裂步向后Euler方法的强收敛性, 并得到该数值方法的最优均方收敛阶. 最后, 数值试验进一步验证了所得理论结果.

Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS)模型是Darcy方程与Cahn-Hilliard方程的耦合,被广泛应用于模拟多孔介质中的两相流动以及肿瘤生长.针对CHHS模型,本文提出了两种基于拉格朗日乘子法的能量耗散格式.时间方向分别采用Backward-Euler和Crank-Nicolson格式,空间方向采用傅里叶谱方法.理论分析表明两种时间离散下得到的数值格式均可保持系统的原始能量耗散.最后,通过数值实验证明了数值格式的有效性.

通过在二维子空间中搜索最优的加权向量并生成一个新的超平面,本文提出和研究了基于二维搜索的加速替代超平面Kaczmarz方法.理论分析给出了新方法的收敛速率.数值实验表明加速替代超平面Kaczmarz方法是收敛的,在迭代步数和计算时间上比原方法更快.

本文结合向后欧拉格式,提出了一种在多边形网格上求解非线性Sobolev方程的非协调虚拟元方法.为了分析该方法的最优收敛性,我们利用离散三线性型构造了一个新的投影算子,并给出了L²范数和分片H¹半范数中相应的误差估计.利用该投影算子,我们证明了非协调虚拟元全离散格式的最优误差估计.最后在各种多边形网格上通过一些数值算例验证了非协调虚拟元方法的理论分析的准确性和最优收敛性.

为了求解具有非负约束的大规模超定线性最小二乘问题,本文提出了两种约束Gauss-Seidel方法,即基于贪婪概率准则的约束贪婪随机Gauss-Seidel方法和基于随机采样策略的约束随机采样Gauss-Seidel方法.本文建立了这两种方法的收敛性理论,并进行了数值试验.数值结果表明,所提两种方法都显著优于现有方法.

原始对偶算法 (PDA) 通过全分裂的方式同时求解原始问题和对偶问题, 是解决双线性鞍点问题经典且有效的方法. 然而已有PDA的步长依赖于线性算子的谱范数或通过线搜索进行估计, 依赖谱范数的步长通常过于保守, 而线搜索往往需要额外计算邻近算子或者线性变换. 为此, 文章通过拉格朗日函数添加邻近项和求解矩阵逆问题，提出了一种具有可分离预设的原始对偶算法. 该算法具有自由的步长且只需进行一次矩阵分解, 预设矩阵逆问题的计算量较小. 最后, 建立了函数值残差和约束违反度的 $\mathcal{O}(1/N)$ 遍历收敛率, 求解LASSO和矩阵博弈问题的数值实验验证了所设计算法的有效性.

针对一类含时Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程,提出了一种基于有限元离散的两水平算法.该算法通过线性有限元近似解对PNP方程进行解耦,然后在二次有限元空间上求解解耦后的方程.与经典的基于有限元离散的Gummel算法相比,该算法能够加快求解过程.基于所给出的有限元两水平解的L²模误差估计,建立了H¹模误差估计.数值实验验证了理论结果的正确性以及两水平算法的有效性.

迄今为止,高非线性随机微分方程的驯化方法都是显式的.针对平移系数可分为线性和高非线性两项的随机微分方程,提出隐式半驯化Euler方法.该方法的计算量和显式方法相近.在Khasminskii-型条件和多项式增长条件下,证明了方法是收敛的.此外,研究了方法的稳定性,证明了它能够保持一个稳定系统的解析解的稳定性.最后,完成了一些数值实验,实验结果验证了理论结论,并表明了本文方法的稳定性明显优于一些显式驯化方法.

共轭梯度法是求解大规模优化问题最有效的方法之一. 本文给出了三组Dai-Liao共轭条件参数, 并对Dai-Liao共轭参数进行截断, 以及在搜索方向设置重启步, 从而提出一个新型Dai-Liao共轭梯度算法. 不依赖于任何线搜索条件, 由新算法产生的搜索方向每步迭代均满足充分下降条件. 在常规假设和弱 Wolfe 线搜索条件下, 新算法是强收敛的. 最后, 将算法用于求解大规模无约束优化、图像恢复和机器学习问题并与同类算法进行比较, 数值结果表明所提算法是很有效的.

文章对随机微分方程数值解的指数稳定进行了研究, 探讨了全隐算法的必要性. 围绕两个反例进行, 论述了Euler型算法 (随机θ算法和 截断Euler算法) 的局限性, 并基于指数鞅的理论对随机微分方程的零解几乎必然指数稳定条件进行了改进. 然后证明了全隐Milstein算法能很好的适用于这两个反例. 数值实验验证了上述结论. 也即, 存在这样的随机微分方程, 在考虑指数稳定时, 常用的Euler型算法 (随机θ算法和截断Euler算法) 是不适用的, 而全隐Milstein算法是可行的; 所以全隐算法在随机微分方程数值解的指数稳定研究中非常有必要.

本文构造了Klein-Gordon方程的一类任意高阶能量守恒算法.通过引入二次辅助变量将哈密顿能量转化为二次形式,即将能量守恒定律转化为二次不变量.同时,原系统被改写为具有二次不变量的新系统.接着,我们利用傅里叶拟谱方法和辛龙格-库塔方法得到全离散格式.该算法在时间上达到任意高阶收敛,空间上达到谱精度,并且精确保持原始能量守恒.数值结果进一步证明了算法的有效性和高精度收敛性.

高波数Helmholtz方程的传统数值方法求解存在计算精度与效率之间的固有矛盾. 本文提出频率增强高阶ReLU-KAN(FE-HRKAN), 在现有高阶ReLU-KAN (HRKAN)框架中引入可学习的动态频率适配机制, 将输入特征扩展为原始变量与参数化高频振荡特征的组合. 本文证明了HRKAN的频谱限制以及FE-HRKAN 的高频表达能力扩展, 确保FE-HRKAN在保持HRKAN原有性能的同时增强高频振荡表达能力. 实验表明: 在函数逼近任务中, FE-HRKAN逼近高频振荡函数的L₂相对误差较HRKAN 降低2 个数量级, 同时逼近非振荡函数的L₂相对误差降低34%. 在高波数Helmholtz 方程求解中, FE-HRKAN在波数范围5~1000 内均获得10^-3~10^-4量级的L₂相对误差, 在高波数情形下相比HRKAN降低3~4个量级.

本文设计了一种基于Chebyshev多项式的线性组合为基函数的Chebyshev-Galerkin谱方法求解具有透射边界条件的 Schrödinger 方程. 论文中严格分析了谱方法的收敛性, 通过设计数值实验验证了此算法的高阶收敛, 并与传统的有限差分法做对比, 体现了此算法的优势.针对势能函数为单势垒和双势垒的情况, 通过计算透射率变化曲线模拟了量子隧穿和共振隧穿现象, 并将该算法应用于共振隧穿二极管电流-电压特性的模拟, 复现了共振隧穿二极管的负电阻特性.

本文主要讨论了一类含有多项延迟的中立型延迟微分方程数值解的振动性, 利用线性$\theta$-方法离散原方程得到相应的差分方程, 通过讨论差分方程解的性质，把原方程数值解的振动性质转化为一个非中立型差分方程解的振动性.根据差分方程振动性与特征方程特征根的关系, 分别讨论了当$0\leq \theta \leq \frac{1}{2}$ 和$\frac{1}{2}<\theta \leq1$ 时数值解的振动性. 同时对非振动数值解的性质也做了研究, 最后给出了数值算例阐述了结论.

本文研究了一类带互补约束的数学规划问题(MPCC), 其目标函数为基数函数. 通过capped-$ \ell_1 $函数转换, 将基数函数转化为DC函数, 并构建了原问题的连续近似模型. 随后, 本文提出了一种结合罚方法和非单调邻近梯度方法的新算法, 旨在寻找连续近似问题的弱方向(d)-稳定点 (强于Clarke-稳定点). 在MPCC-LICQ条件下, 本文证明了算法能够收敛到 MPCC 的弱-d稳定点. 最后数值结果说明了所提方法的有效性.

图像恢复是要从记录到的失真图像估计出清晰的原始图像, 这是一个高度病态的反问题. 正则化方法能够消除这种病态性, 一般通过极小化一个由数据保真项和正则项构成的能量函数来实现. 本文考虑图像恢复的乘性半二次正则化方法, 并采用牛顿法对该模型进行求解. 在牛顿法的每一步迭代过程中, 都会产生一个对称正定线性方程组. 为高效求解该线性方程组, 本文根据其系数矩阵的块三角分解, 提出一种基于Schur补逆矩阵线性泰勒近似的预处理子, 并采用预处理共轭梯度法求解该线性方程组. 预处理矩阵的谱性质分析表明, 所提出的预处理矩阵具有分布较为集中的特征值, 且部分特征值为1.数值实验结果表明, 本文所提出的预处理子在采用预处理共轭梯度法求解线性方程组时, 比现有的预处理子所需的迭代步数更少, 计算时间更短.

本文提出了一种扩展的外梯度算法, 求解一类非光滑广义DC问题. 在适当条件下, 证明了算法的全局收敛性. 由于新算法充分利用了DC结构, 数值结果表明新算法比经典的DCA算法有较明显的优势.

本文针对一类结构型逆变分不等式问题设计了一种黄金比率型 Douglas-Rachford (DR) 分裂方法. 所提方法基于一个非精确的定制 DR 分裂方法, 有效融合了黄金比率凸组合系数和一种动态调整步长参数的策略. 在一般的假设条件下, 我们证明了新方法的全局收敛性, 并进一步建立了新方法的次线性收敛率结果. 此外, 我们将新方法应用求解实际的空间价格均衡控制问题, 相关的数值实验结果也验证了新方法具有有效性和优越性.

多孔介质中可压缩渗流驱动问题广泛应用在科学和工程的许多计算模拟领域,问题的数学模型是由两个抛物型的偏微分方程耦合而成的初边值问题.我们用混合有限元方法离散压力方程和特征扩张混合有限元方法离散浓度方程.接着,证明混合有限元-特征扩张混合有限元方法的误差估计.最后,通过数值例子验证理论结果.

本文研究了一类结构复合优化问题,其目标函数为凸函数的和形式,约束条件为非凸等式约束,且目标函数与约束函数均连续可微.此类问题在电子设计自动化领域的芯粒布局优化中有重要应用.基于P-Lagrangian (Proximal-Perturbed Lagrangian)方法[Oper.Res.Lett.51,357-363,2023],本文提出了PLADMM (P-Lagrangian based Alternating Direction Method of Multipliers),用于求解非凸约束结构复合优化问题.在一般假设条件下,我们建立了PLADMM的收敛性理论,证明了PLADMM能够收敛至KKT点.数值试验结果表明,PLADMM能够有效求解MCNC集成电路芯粒布局问题.

机组组合问题(Unit Commitment Problem,UC)是电力系统运行优化的核心难题,随着电力系统规模的急剧扩大,混合整数规划(Mixed Integer Programming,MIP)方法面临着严峻的计算挑战.本文创新性提出一种两阶段列生成算法来高效求解大规模机组组合问题.该方法基于Dantzig-Wolfe分解理论,通过引入调度策略变量将原问题重构,实现了机组间的有效解耦.我们针对该重构模型提出了两阶段计算方法:第一阶段采用并行列生成方法求解线性规划(Linear Programming,LP)松弛问题;第二阶段在生成列的基础上求解限制主问题得到高质量的整数可行解.在包含1000至1500台机组的大规模机组组合测试实例上进行的数值实验表明,所提方法相比商业求解器CPLEX在求解时间上平均实现了2.5倍以上的加速,最优值相对误差控制在0.01%左右,且求解时间十分稳定,具备良好的可扩展性.该算法为大规模电力系统的实际调度优化提供了有效的计算工具,具有重要的理论意义和实用价值.

本文研究一类非凸非光滑的两块优化问题,其目标函数由两个非凸非光滑的可分函数和一个光滑的耦合函数构成.针对此类问题,本文提出了一种基于非精确惯性邻近梯度法和Nesterov加速思想的改进算法,即带不同外推参数的邻近交替线性极小化算法.该算法在传统邻近交替线性极小化算法框架的基础上,引入两个不同的外推参数序列,对其中一个变量进行双重外推处理.具体而言,在每次迭代中,算法基于两个不同的外推点分别对耦合函数进行线性化近似,并添加邻近项,从而构造更易求解的子问题.在理论分析方面,本文在一定假设条件下证明了算法生成的有界序列的任一极限点均为目标函数的稳定点.进一步地,当目标函数满足Kurdyka-Łojasiewicz性质时,本文建立了算法的全局收敛性理论.值得注意的是,本文允许外推参数取负值,从而为算法的性能提升提供了新的可能性.为验证所提算法的有效性,本文将其应用于稀疏主成分分析问题.数值实验结果表明,与现有算法相比,所提算法在收敛速度和计算效率方面均表现出一定的优势.特别地,当其中一个外推参数取负值的情形下,所提算法的整体性能进一步提升,展现了其在参数选择上的灵活性和潜在优势.

针对复对称不定线性系统的数值求解问题,本文采用极小残量技术对修正的实部与虚部组合(MCRI)迭代方法进行改进,提出了一种极小残量型的MCRI (MRMCRI)迭代方法.理论上,利用谱理论证明了该方法的无条件收敛性,并给出了不受问题规模或特性影响的拟最优迭代参数.数值实验进一步验证了MRMCRI方法的高效性与鲁棒性,特别是在求解系数矩阵虚部占主导的问题时,新方法表现出较强的竞争力.

随机双重和三重Kaczmarz算法是求解扩展正规方程${A^{\mathsf{T}}}Ax={A^{\mathsf{T}}}b-c$的高效随机迭代方法,但其计算效率仍有提升空间.本文基于代理超平面投影技术,提出了求解该方程的基于残差代理超平面的双重和三重Kaczmarz (Residual-based surrogate hyperplane double and triple Kaczmarz)算法.新算法适用于任意系数矩阵$A$,并在迭代次数和计算时间上显著优于标准随机双重和三重Kaczmarz算法.针对相容与不相容系统,本文分别建立了新算法的收敛性理论,并证明其收敛因子小于对应标准算法.数值实验进一步验证了新算法的有效性.

分数阶非线性薛定谔方程用于描述量子物理中的非局域现象,并用于探索具有多尺度的远程相互作用或时间相关过程的量子行为.本文应用二阶Strang时间分裂Fourier谱方法建立了含小势能项的空间分数阶弱非线性薛定谔方程的长时间动力学改进一致误差界,在时间方向上达到了二阶精度,在空间方向上达到了谱精度.首先,通过二阶Strang时间分裂法对方程进行时间半离散化,然后通过空间Fourier谱方法推导出全离散化格式,通过引入正则性补偿振荡(RCO)技术,严格证明了直到长时间$T_\varepsilon=T/{\varepsilon^2}$($T>0$是固定的)的$O (\varepsilon^2\tau^2)$和$O (h^m+\varepsilon^2\tau^2)$的时间半离散化和全离散化的改进一致误差界.最后,通过数值算例进行了收敛性测试与应用分析，结果验证了本文所建立的误差界及提出的数值方法的有效性.

该文证明了一类回火Caputo变分数阶随机微分方程(CTVO-FSDEs)解的适定性,包括解的存在、唯一性及对初值条件的连续依赖性,进一步提出修改的Euler-Maruyama方法,并严格证明了其强收敛性.值得注意的是,当分数阶的阶数退化为常数时,所得结果与现有文献中的理论结论一致.最后,通过数值模拟验证理论分析结果,数值结果与解析预测展现出高度一致性.

高精度格式由于引入了非线性机制,数值性能受灵敏度参数和尺度因子取值的影响较大,且无法保持双曲平衡律方程的稳态解.针对上述问题,本文首先引入去尺度函数,构造了一类尺度和平移无关的五阶精度加权紧致非线性格式.然后通过预平衡技术和源项分裂方法,将上述格式应用于带底部地势源项浅水波方程的数值求解.理论分析表明,新格式的计算结果具有尺度和平移无关性,且能精确保持浅水波方程的动水平衡.数值算例验证了该格式能够达到高阶精度,具备良好的稳定性和平衡性,且能精确地捕捉稳态解附近的小扰动.