本文围绕内蕴有限元,探讨其在数值偏微分方程中的应用,及其与离散微分几何和拓扑数据分析的潜在联系.由保持连续问题的数学与物理结构的数值离散驱动,本文简要回顾有限元外微分(Finite Element Exterior Calculus,FEEC)的发展.通过经典de Rham复形及BGG复形的规范离散,提出一个扩展的形式值微分形式有限元周期表,涵盖Whitney形式、分布有限元、Regge有限元及Hessian和div div复形等,为张量问题的数值求解提供统一工具.本文进一步分析内蕴有限元在Riemann-Cartan几何、广义连续介质及引力波计算等跨学科应用中的潜力.

本文旨在探讨时谐波动方程反源问题的一些研究进展,并建立一般情形下反源问题的稳定性理论.我们针对确定和随机波动方程的散射模型,总结已有理论和数值结果并阐明研究思路.

对机器学习和图像处理中大量出现的三块复合优化问题,原始对偶不动点算法(PDFP)是解决这类问题的一类有效算法.本文结合PDFP和Nesterov加速技术提出了加速原始对偶不动点算法(APDFP).APDFP可以包含加速临近交替预测校正算法(APAPC)作为特殊情况.在适当的条件下,我们证明了APDFP有非遍历意义下O(1/N)的收敛率.此外,针对fused lasso和计算机断层扫描(CT)图像重建问题的数值实验验证了算法的有效性.

Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS)模型是Darcy方程与Cahn-Hilliard方程的耦合,被广泛应用于模拟多孔介质中的两相流动以及肿瘤生长.针对CHHS模型,本文提出了两种基于拉格朗日乘子法的能量耗散格式.时间方向分别采用Backward-Euler和Crank-Nicolson格式,空间方向采用傅里叶谱方法.理论分析表明两种时间离散下得到的数值格式均可保持系统的原始能量耗散.最后,通过数值实验证明了数值格式的有效性.

近年来,指数标量辅助变量(E-SAV)方法作为一种流行的方法用来近似相场模型,主要是由于E-SAV方法不需要假设非线性函数下有界的优越性,本文将E-SAV方法和向后欧拉公式相结合对一类非线性波动方程进行离散,得到了具有一阶精度的线性格式,并给出了相应的误差估计,进一步通过两个数值实验验证了理论的有效性和相较于其他格式的优越性.

基于跳适应的时间剖分, 本文研究提出求解一类非线性跳扩散问题的跳适应分裂步向后Euler数值逼近方法. 在非全局Lipschitz条件下, 通过克服强非线性系数和随机时间剖分以及弱时间正则性给数值分析带来的主要困难, 我们严格证明了跳适应分裂步向后Euler方法的强收敛性, 并得到该数值方法的最优均方收敛阶. 最后, 数值试验进一步验证了所得理论结果.

通过在二维子空间中搜索最优的加权向量并生成一个新的超平面,本文提出和研究了基于二维搜索的加速替代超平面Kaczmarz方法.理论分析给出了新方法的收敛速率.数值实验表明加速替代超平面Kaczmarz方法是收敛的,在迭代步数和计算时间上比原方法更快.

本文结合向后欧拉格式,提出了一种在多边形网格上求解非线性Sobolev方程的非协调虚拟元方法.为了分析该方法的最优收敛性,我们利用离散三线性型构造了一个新的投影算子,并给出了L²范数和分片H¹半范数中相应的误差估计.利用该投影算子,我们证明了非协调虚拟元全离散格式的最优误差估计.最后在各种多边形网格上通过一些数值算例验证了非协调虚拟元方法的理论分析的准确性和最优收敛性.

原始对偶算法 (PDA) 通过全分裂的方式同时求解原始问题和对偶问题, 是解决双线性鞍点问题经典且有效的方法. 然而已有PDA的步长依赖于线性算子的谱范数或通过线搜索进行估计, 依赖谱范数的步长通常过于保守, 而线搜索往往需要额外计算邻近算子或者线性变换. 为此, 文章通过拉格朗日函数添加邻近项和求解矩阵逆问题，提出了一种具有可分离预设的原始对偶算法. 该算法具有自由的步长且只需进行一次矩阵分解, 预设矩阵逆问题的计算量较小. 最后, 建立了函数值残差和约束违反度的 $\mathcal{O}(1/N)$ 遍历收敛率, 求解LASSO和矩阵博弈问题的数值实验验证了所设计算法的有效性.

迄今为止,高非线性随机微分方程的驯化方法都是显式的.针对平移系数可分为线性和高非线性两项的随机微分方程,提出隐式半驯化Euler方法.该方法的计算量和显式方法相近.在Khasminskii-型条件和多项式增长条件下,证明了方法是收敛的.此外,研究了方法的稳定性,证明了它能够保持一个稳定系统的解析解的稳定性.最后,完成了一些数值实验,实验结果验证了理论结论,并表明了本文方法的稳定性明显优于一些显式驯化方法.

共轭梯度法是求解大规模优化问题最有效的方法之一. 本文给出了三组Dai-Liao共轭条件参数, 并对Dai-Liao共轭参数进行截断, 以及在搜索方向设置重启步, 从而提出一个新型Dai-Liao共轭梯度算法. 不依赖于任何线搜索条件, 由新算法产生的搜索方向每步迭代均满足充分下降条件. 在常规假设和弱 Wolfe 线搜索条件下, 新算法是强收敛的. 最后, 将算法用于求解大规模无约束优化、图像恢复和机器学习问题并与同类算法进行比较, 数值结果表明所提算法是很有效的.

为了求解具有非负约束的大规模超定线性最小二乘问题,本文提出了两种约束Gauss-Seidel方法,即基于贪婪概率准则的约束贪婪随机Gauss-Seidel方法和基于随机采样策略的约束随机采样Gauss-Seidel方法.本文建立了这两种方法的收敛性理论,并进行了数值试验.数值结果表明,所提两种方法都显著优于现有方法.

针对一类含时Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程,提出了一种基于有限元离散的两水平算法.该算法通过线性有限元近似解对PNP方程进行解耦,然后在二次有限元空间上求解解耦后的方程.与经典的基于有限元离散的Gummel算法相比,该算法能够加快求解过程.基于所给出的有限元两水平解的L²模误差估计,建立了H¹模误差估计.数值实验验证了理论结果的正确性以及两水平算法的有效性.

高波数Helmholtz方程的传统数值方法求解存在计算精度与效率之间的固有矛盾. 本文提出频率增强高阶ReLU-KAN(FE-HRKAN), 在现有高阶ReLU-KAN (HRKAN)框架中引入可学习的动态频率适配机制, 将输入特征扩展为原始变量与参数化高频振荡特征的组合. 本文证明了HRKAN的频谱限制以及FE-HRKAN 的高频表达能力扩展, 确保FE-HRKAN在保持HRKAN原有性能的同时增强高频振荡表达能力. 实验表明: 在函数逼近任务中, FE-HRKAN逼近高频振荡函数的L₂相对误差较HRKAN 降低2 个数量级, 同时逼近非振荡函数的L₂相对误差降低34%. 在高波数Helmholtz 方程求解中, FE-HRKAN在波数范围5~1000 内均获得10^-3~10^-4量级的L₂相对误差, 在高波数情形下相比HRKAN降低3~4个量级.

文章对随机微分方程数值解的指数稳定进行了研究, 探讨了全隐算法的必要性. 围绕两个反例进行, 论述了Euler型算法 (随机θ算法和 截断Euler算法) 的局限性, 并基于指数鞅的理论对随机微分方程的零解几乎必然指数稳定条件进行了改进. 然后证明了全隐Milstein算法能很好的适用于这两个反例. 数值实验验证了上述结论. 也即, 存在这样的随机微分方程, 在考虑指数稳定时, 常用的Euler型算法 (随机θ算法和截断Euler算法) 是不适用的, 而全隐Milstein算法是可行的; 所以全隐算法在随机微分方程数值解的指数稳定研究中非常有必要.

本文构造了Klein-Gordon方程的一类任意高阶能量守恒算法.通过引入二次辅助变量将哈密顿能量转化为二次形式,即将能量守恒定律转化为二次不变量.同时,原系统被改写为具有二次不变量的新系统.接着,我们利用傅里叶拟谱方法和辛龙格-库塔方法得到全离散格式.该算法在时间上达到任意高阶收敛,空间上达到谱精度,并且精确保持原始能量守恒.数值结果进一步证明了算法的有效性和高精度收敛性.

本文设计了一种基于Chebyshev多项式的线性组合为基函数的Chebyshev-Galerkin谱方法求解具有透射边界条件的 Schrödinger 方程. 论文中严格分析了谱方法的收敛性, 通过设计数值实验验证了此算法的高阶收敛, 并与传统的有限差分法做对比, 体现了此算法的优势.针对势能函数为单势垒和双势垒的情况, 通过计算透射率变化曲线模拟了量子隧穿和共振隧穿现象, 并将该算法应用于共振隧穿二极管电流-电压特性的模拟, 复现了共振隧穿二极管的负电阻特性.

本文研究了一类带互补约束的数学规划问题(MPCC), 其目标函数为基数函数. 通过capped-$ \ell_1 $函数转换, 将基数函数转化为DC函数, 并构建了原问题的连续近似模型. 随后, 本文提出了一种结合罚方法和非单调邻近梯度方法的新算法, 旨在寻找连续近似问题的弱方向(d)-稳定点 (强于Clarke-稳定点). 在MPCC-LICQ条件下, 本文证明了算法能够收敛到 MPCC 的弱-d稳定点. 最后数值结果说明了所提方法的有效性.

图像恢复是要从记录到的失真图像估计出清晰的原始图像, 这是一个高度病态的反问题. 正则化方法能够消除这种病态性, 一般通过极小化一个由数据保真项和正则项构成的能量函数来实现. 本文考虑图像恢复的乘性半二次正则化方法, 并采用牛顿法对该模型进行求解. 在牛顿法的每一步迭代过程中, 都会产生一个对称正定线性方程组. 为高效求解该线性方程组, 本文根据其系数矩阵的块三角分解, 提出一种基于Schur补逆矩阵线性泰勒近似的预处理子, 并采用预处理共轭梯度法求解该线性方程组. 预处理矩阵的谱性质分析表明, 所提出的预处理矩阵具有分布较为集中的特征值, 且部分特征值为1.数值实验结果表明, 本文所提出的预处理子在采用预处理共轭梯度法求解线性方程组时, 比现有的预处理子所需的迭代步数更少, 计算时间更短.

本文提出了一种扩展的外梯度算法, 求解一类非光滑广义DC问题. 在适当条件下, 证明了算法的全局收敛性. 由于新算法充分利用了DC结构, 数值结果表明新算法比经典的DCA算法有较明显的优势.

本文研究一类非凸非光滑的两块优化问题,其目标函数由两个非凸非光滑的可分函数和一个光滑的耦合函数构成.针对此类问题,本文提出了一种基于非精确惯性邻近梯度法和Nesterov加速思想的改进算法,即带不同外推参数的邻近交替线性极小化算法.该算法在传统邻近交替线性极小化算法框架的基础上,引入两个不同的外推参数序列,对其中一个变量进行双重外推处理.具体而言,在每次迭代中,算法基于两个不同的外推点分别对耦合函数进行线性化近似,并添加邻近项,从而构造更易求解的子问题.在理论分析方面,本文在一定假设条件下证明了算法生成的有界序列的任一极限点均为目标函数的稳定点.进一步地,当目标函数满足Kurdyka-Łojasiewicz性质时,本文建立了算法的全局收敛性理论.值得注意的是,本文允许外推参数取负值,从而为算法的性能提升提供了新的可能性.为验证所提算法的有效性,本文将其应用于稀疏主成分分析问题.数值实验结果表明,与现有算法相比,所提算法在收敛速度和计算效率方面均表现出一定的优势.特别地,当其中一个外推参数取负值的情形下,所提算法的整体性能进一步提升,展现了其在参数选择上的灵活性和潜在优势.

多孔介质中可压缩渗流驱动问题广泛应用在科学和工程的许多计算模拟领域,问题的数学模型是由两个抛物型的偏微分方程耦合而成的初边值问题.我们用混合有限元方法离散压力方程和特征扩张混合有限元方法离散浓度方程.接着,证明混合有限元-特征扩张混合有限元方法的误差估计.最后,通过数值例子验证理论结果.

本文针对一类结构型逆变分不等式问题设计了一种黄金比率型 Douglas-Rachford (DR) 分裂方法. 所提方法基于一个非精确的定制 DR 分裂方法, 有效融合了黄金比率凸组合系数和一种动态调整步长参数的策略. 在一般的假设条件下, 我们证明了新方法的全局收敛性, 并进一步建立了新方法的次线性收敛率结果. 此外, 我们将新方法应用求解实际的空间价格均衡控制问题, 相关的数值实验结果也验证了新方法具有有效性和优越性.

机组组合问题(Unit Commitment Problem,UC)是电力系统运行优化的核心难题,随着电力系统规模的急剧扩大,混合整数规划(Mixed Integer Programming,MIP)方法面临着严峻的计算挑战.本文创新性提出一种两阶段列生成算法来高效求解大规模机组组合问题.该方法基于Dantzig-Wolfe分解理论,通过引入调度策略变量将原问题重构,实现了机组间的有效解耦.我们针对该重构模型提出了两阶段计算方法:第一阶段采用并行列生成方法求解线性规划(Linear Programming,LP)松弛问题;第二阶段在生成列的基础上求解限制主问题得到高质量的整数可行解.在包含1000至1500台机组的大规模机组组合测试实例上进行的数值实验表明,所提方法相比商业求解器CPLEX在求解时间上平均实现了2.5倍以上的加速,最优值相对误差控制在0.01%左右,且求解时间十分稳定,具备良好的可扩展性.该算法为大规模电力系统的实际调度优化提供了有效的计算工具,具有重要的理论意义和实用价值.

本文研究了一类结构复合优化问题,其目标函数为凸函数的和形式,约束条件为非凸等式约束,且目标函数与约束函数均连续可微.此类问题在电子设计自动化领域的芯粒布局优化中有重要应用.基于P-Lagrangian (Proximal-Perturbed Lagrangian)方法[Oper.Res.Lett.51,357-363,2023],本文提出了PLADMM (P-Lagrangian based Alternating Direction Method of Multipliers),用于求解非凸约束结构复合优化问题.在一般假设条件下,我们建立了PLADMM的收敛性理论,证明了PLADMM能够收敛至KKT点.数值试验结果表明,PLADMM能够有效求解MCNC集成电路芯粒布局问题.

随机双重和三重Kaczmarz算法是求解扩展正规方程${A^{\mathsf{T}}}Ax={A^{\mathsf{T}}}b-c$的高效随机迭代方法,但其计算效率仍有提升空间.本文基于代理超平面投影技术,提出了求解该方程的基于残差代理超平面的双重和三重Kaczmarz (Residual-based surrogate hyperplane double and triple Kaczmarz)算法.新算法适用于任意系数矩阵$A$,并在迭代次数和计算时间上显著优于标准随机双重和三重Kaczmarz算法.针对相容与不相容系统,本文分别建立了新算法的收敛性理论,并证明其收敛因子小于对应标准算法.数值实验进一步验证了新算法的有效性.

该文证明了一类回火Caputo变分数阶随机微分方程(CTVO-FSDEs)解的适定性,包括解的存在、唯一性及对初值条件的连续依赖性,进一步提出修改的Euler-Maruyama方法,并严格证明了其强收敛性.值得注意的是,当分数阶的阶数退化为常数时,所得结果与现有文献中的理论结论一致.最后,通过数值模拟验证理论分析结果,数值结果与解析预测展现出高度一致性.

分数阶非线性薛定谔方程用于描述量子物理中的非局域现象,并用于探索具有多尺度的远程相互作用或时间相关过程的量子行为.本文应用二阶Strang时间分裂Fourier谱方法建立了含小势能项的空间分数阶弱非线性薛定谔方程的长时间动力学改进一致误差界,在时间方向上达到了二阶精度,在空间方向上达到了谱精度.首先,通过二阶Strang时间分裂法对方程进行时间半离散化,然后通过空间Fourier谱方法推导出全离散化格式,通过引入正则性补偿振荡(RCO)技术,严格证明了直到长时间$T_\varepsilon=T/{\varepsilon^2}$($T>0$是固定的)的$O (\varepsilon^2\tau^2)$和$O (h^m+\varepsilon^2\tau^2)$的时间半离散化和全离散化的改进一致误差界.最后,通过数值算例进行了收敛性测试与应用分析，结果验证了本文所建立的误差界及提出的数值方法的有效性.

针对复对称不定线性系统的数值求解问题,本文采用极小残量技术对修正的实部与虚部组合(MCRI)迭代方法进行改进,提出了一种极小残量型的MCRI (MRMCRI)迭代方法.理论上,利用谱理论证明了该方法的无条件收敛性,并给出了不受问题规模或特性影响的拟最优迭代参数.数值实验进一步验证了MRMCRI方法的高效性与鲁棒性,特别是在求解系数矩阵虚部占主导的问题时,新方法表现出较强的竞争力.

高精度格式由于引入了非线性机制,数值性能受灵敏度参数和尺度因子取值的影响较大,且无法保持双曲平衡律方程的稳态解.针对上述问题,本文首先引入去尺度函数,构造了一类尺度和平移无关的五阶精度加权紧致非线性格式.然后通过预平衡技术和源项分裂方法,将上述格式应用于带底部地势源项浅水波方程的数值求解.理论分析表明,新格式的计算结果具有尺度和平移无关性,且能精确保持浅水波方程的动水平衡.数值算例验证了该格式能够达到高阶精度,具备良好的稳定性和平衡性,且能精确地捕捉稳态解附近的小扰动.

在奇异摄动ODE约束优化问题中,非齐次项会增加目标函数中导数离散的困难,从而增大优化问题求解的难度.本文针对三类含非齐次项的奇异摄动ODE约束优化模型问题,提出了一种适用于非齐次模型问题目标函数导数项离散的指数型格式(ETS-NHE).理论分析与数值实验均验证了ETS-NHE的有效性,并确保优化的计算结果收敛至正确解.

基于第七类Chebyshev小波,一种求解分数阶微分方程的数值技术被建立.首先,基于第七类Chebyshev多项式,构造了第七类Chebyshev小波,并通过对函数关于第七类Chebyshev小波的系数估计,得到了函数在第七类Chebyshev小波展开下的收敛分析和误差估计,而且还进一步考虑了分数次第七类Chebyshev小波.接着,利用单位阶跃函数和Beta函数导出了分数次第七类Chebyshev小波在Riemann-Liouville分数阶积分意义下的分数阶积分公式.然后,运用分数阶积分公式以及有效的配置法,将分数阶微分方程离散化为代数方程组,通过Newton迭代法解此方程组得到问题的数值解.若干数值算例也验证了该数值方法的有效性和高精度性.

针对双调和波动方程,利用位势理论和数值相结合的方法研究了基于主动源构造控制场的方法.首先,利用位势理论针对双调和波动方程推导了其解的积分表示.进一步,通过研究主动源在边界上的分布构造了满足一类双调和波场的控制场,并将其应用在实现错觉效应的问题中.最后,利用数值方法构造了近似控制场,并通过数值实验实现了利用少量低阶主动源来实现波场伪装的目标.

主要研究一个分数阶SIR传染病模型的渐近解与微分阶数反问题.利用ADM分解法得到正问题的渐近解,并基于误差分析确定渐近解的可计算表达式,进而利用康复者在某一时刻的观测数据,将微分阶数反问题化为一个非线性代数方程求解问题,通过证明代数方程的唯一可解性,获得微分阶数反演的唯一性,并给出扰动数据条件下的数值反演算例.利用新冠疫情数据进行参数识别和数据重建,结果表明对于疫情传播等复杂系统的数学描述,分数阶模型具有一定优势.

Cahn-Hilliard (CH)方程是一类重要的四阶扩散方程,最初它被用来研究物质之间相互扩散的物理现象.同时,它在生物种群的演变、河床迁移、化学领域也有重要应用.本文拟结合自适应低秩分裂方法低计算量的优点和快速矩阵对角化技术,来研究CH方程的一种自适应低秩近似算法.首先,利用有限差分法对CH方程的空间进行离散并分裂为一个线性子问题和一个非线性子问题,进而得到一个满秩分裂格式.在该分裂格式的基础上,结合动态低秩近似法,提出一种针对CH方程的自适应低秩求解算法.最后,本文提供几个算例测试所提算法的有效性.

特征值互补问题是线性与非线性互补问题的重要分支,在优化理论、数值代数与工程力学等领域具有广泛的理论价值与应用前景.本文研究定义于非负锥上的广义二次特征值互补问题(QEiCP)J,给出了其解的存在性条件及解数量的上界估计.基于半光滑牛顿法框架,设计了三类基于 Fischer-Burmeister互补函数的数值迭代格式,并给出了算法的收敛性理论.数值实验通过多组算例验证了所提方法的有效性,结果表明基于惩罚型 Fischer-Burmeister函数的半光滑牛顿算法在求解性能上表现最优,特别适用于大规模稠密矩阵问题,且在矩阵市场等实际测试中展现出良好的适应性与数值稳定性.同时,该算法对罚参数选取具有较强的鲁棒性,能够有效平衡计算效率与精度.

提出一种新型有限元增强神经网络混合算法,用于高效求解对流-扩散方程.与物理信息神经网络使用大量采样点最小化损失函数的方法不同,该方法借助少量网格剖分节点,将有限元刚度矩阵和载荷向量引入神经网络损失函数,结合前馈神经网络,分别针对稳态和非稳态对流扩散问题构造新型有限元增强神经网络算法.稳态问题中利用双曲正切函数与GELU函数作为激活函数,非稳态问题中利用向后Euler法的离散方程构造残差,并结合边界条件和初始条件构造损失函数,激活函数取为SILU与GELU,同时数值模拟对比了有限元解和有限元增强的神经网络解,结果显示:有限元增强神经网络混合算法在稳态问题中可准确重构FEM解,在非稳态问题中则展现出更高的精度与更强的泛化能力.该方法兼具物理一致性与数据驱动特性,为对流-扩散类偏微分方程数值解法提供了新思路.

针对非线性奇异摄动延迟微分方程的数值求解问题,本文构建了一套融合拟牛顿法与再生核法的高效计算方案.具体实施过程如下:首先对原始问题进行分解,得到规则区域问题与边界层区域问题.其次,规则区域问题通过渐近展开法实现求解.对于边界层区域问题,先用变量拉伸法将其原问题区间映射至[0,1]区间.再次利用拟牛顿法,将非线性形式的奇异摄动延迟微分方程转化为线性的奇异摄动延迟微分方程序列.最后采用基于配置法的再生核方法完成求解.与此同时,本文还对该计算方案的收敛性与稳定性进行了分析,并将其数值结果与部分数值方法的计算结果进行了对比.数值结果表明,本文所提出的方法不仅能够提供精度更高的近似解,还可实现更高阶的收敛效果.

随机梯度下降算法是求解随机优化问题的有效算法之一,近年来受到许多学者的广泛关注.但是,如何选择此类算法的合适步长依然值得研究.本文提出了一种新的自适应随机梯度下降算法求解随机凸优化问题.值得注意的是,本文提出的自适应步长序列是有界且收敛的.在强凸的假设条件下,证明了由算法迭代产生的序列线性收敛到最优值点的某个邻域内.最后,数值实验表明了新算法的有效性和优越性.

梯度法是最简单也是最基本的求解最优化问题的计算方法之一.由于所有的梯度法都是沿着最速下降方向找下一个迭代点,不同的梯度法就在于步长的不同选取.BB步长是梯度方法的最著名的步长选取方式之一.本文通过把BB步看成是基于一维子空间逼近的步长,构造了基于二维子空间逼近、三维子空间逼近的新步长.新步长具有良好的理论性质,有望发展成为有效的数值方法.