计算数学

强关联多电子体系的优化模型与算法

刘歆

2023, 45 (2): 141-159. DOI: 10.12286/jssx.j2022-1031

摘要（247）

PDF （786KB）（190）

在电子结构计算领域, Kohn-Sham方程是最为广泛使用的数学模型之一. 然而, 由于现有的交换关联能近似仍存在缺陷, Kohn-Sham方程无法较好地描述强关联多电子体系. 近年来, 有学者从密度泛函理论的强相关极限出发, 提出了严格关联电子能量的优化模型. 该模型有望弥补Kohn-Sham方程的缺陷, 从而拓宽密度泛函理论的应用面. 由于在该模型中存在维数灾难, 近年来, 它的一些低维转化模型陆续被提出. 在本文中, 我们将介绍严格关联电子能量的优化模型、它的研究重点以及现有的一些低维转化模型. 我们也将介绍这些转化模型的数值求解方法, 并探讨未来的研究方向.

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非线性玻尔兹曼方程的傅里叶谱方法

胡婧玮

2022, 44 (3): 289-304. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0887

摘要（706）

PDF （1588KB）（799）

玻尔兹曼方程作为空气动理学中最基本的方程之一,是连接微观牛顿力学和宏观连续介质力学的重要桥梁.该方程描述了一个由大量粒子组成的复杂系统的非平衡态时间演化:除了基本的输运项,其最重要的特性是粒子间的相互碰撞由一个高维,非局部且非线性的积分算子来描述,从而给玻尔兹曼方程的数值求解带来非常大的挑战.在过去的二十年间,基于傅里叶级数的谱方法成为了数值求解玻尔兹曼方程的一种很受欢迎且有效的确定性算法.这主要归功于谱方法的高精度及它可以被快速傅里叶变换加速的特质.本文将回顾玻尔兹曼方程的傅里叶谱方法,具体包括方法的导出,稳定性和收敛性分析,快速算法,以及在一大类基于碰撞的空气动理学方程中的推广.

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曲率流的参数化有限元逼近

李步扬

2022, 44 (2): 145-162. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0871

摘要（667）

PDF （2368KB）（854）

许多物理现象可以在数学上描述为受曲率驱动的自由界面运动,例如薄膜和泡沫的演变、晶体生长,等等.这些薄膜和界面的运动常依赖于其表面曲率,从而可以用相应的曲率流来描述,其相关自由界面问题的数值计算和误差分析一直是计算数学领域中的难点.参数化有限元法是曲率流的一类有效计算方法,已经能够成功模拟一些曲面在几类基本的曲率流下的演化过程.本文重点讨论曲率流的参数化有限元逼近,它的产生、发展和当前的一些挑战.

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相位恢复:理论、模型与算法

许志强

2022, 44 (1): 1-18. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0855

摘要（1468）

PDF （660KB）（1159）

相位恢复在多个不同领域均被提出，如量子力学、光学成像等.相位恢复即具有多种应用背景，亦具有丰富的数学内涵，因而近期该问题吸引了多个不同领域专家的关注，如计算数学、数据科学、最优化、代数几何等.本文将主要介绍相位恢复中的理论基础问题，特别是最少观测次数问题，并介绍求解相位恢复的模型性能，以及求解算法等.本文也介绍了一些当前相位恢复中研究的热点方向.

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机器学习原子间相互作用建模

王涵

2021, 43 (3): 261-278. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0833

摘要（885）

PDF （705KB）（750）

原子间相互作用建模是分子动力学模拟的核心问题之一.基于第一性原理的建模准而不快，经验势模型快而不准，因此人们长期面临精度和效率只得其一的两难困境.基于机器学习的原子间相互作用建模在达到第一性原理精度的同时，计算开销大大降低，因而有希望解决这一两难困境.本文将介绍构造基于机器学习的原子间相互作用模型的一般框架，归纳近年来的主要建模工作，并探讨这些工作的优势和劣势.

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被引次数: CSCD(1)

计算神经科学

周栋焯

2021, 43 (2): 133-161. DOI: 10.12286/jssx.j2021-0772

摘要（1294）

PDF （1540KB）（1019）

计算神经科学是近三十年来出现的一个新兴交叉学科，它强调采用数学定量的方法，如数学建模、理论分析和数值模拟等来研究和解决神经科学中的重要科学问题，一方面神经科学实验现象为发展新的数学模型、理论和算法提供了基础，另一方面通过数学定量，能反过来揭示神经科学实验现象背后的数理机制，发现新的科学规律.随着欧盟、美国、日本和我国脑计划的陆续推出，对大脑的探索已成为重要的前沿科学领域，同时随着数据科学、机器学习等领域的兴起，研究如何借鉴大脑的工作原理来实现类脑计算以及人工智能也成为了世界大国科技竞争的战略制高点.鉴于此，计算神经科学作为连接大脑神经科学与类脑人工智能两大研究领域的桥梁，在前沿科学领域和国家战略需求中的地位变得越来越重要.计算神经科学研究领域的发展，对于推动神经科学与数学、物理、统计、计算机、人工智能等其他自然科学学科及工程应用学科之间的共进发展，以及综合利用不同学科的优势互补来取得从零到一的重要科学突破有着重大意义.

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复合凸优化的快速邻近点算法

郦旭东

2020, 42 (4): 385-404. DOI: 10.12286/jssx.2020.4.385

摘要（1087）

PDF （598KB）（940）

在大数据时代，随着数据采集手段的不断提升，大规模复合凸优化问题大量的出现在包括统计数据分析，机器与统计学习以及信号与图像处理等应用中.本文针对大规模复合凸优化问题介绍了一类快速邻近点算法.在易计算的近似准则和较弱的平稳性条件下，本文给出了该算法的全局收敛与局部渐近超线性收敛结果.同时，我们设计了基于对偶原理的半光滑牛顿法来高效稳定求解邻近点算法所涉及的重要子问题.最后，本文还讨论了如何通过深入挖掘并利用复合凸优化问题中由非光滑正则函数所诱导的非光滑二阶信息来极大减少半光滑牛顿算法中求解牛顿线性系统所需的工作量，从而进一步加速邻近点算法.

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电子结构计算的数值方法与理论

戴小英

2020, 42 (2): 131-158. DOI: 10.12286/jssx.2020.2.131

摘要（1111）

PDF （690KB）（859）

第一原理电子结构计算已成为探索与研究物质机理、理解与预测材料性质的重要手段和工具.虽然第一原理电子结构计算取得了巨大的成功，但是如何利用高性能计算机又快又好地计算大规模体系，如何从数学角度理解电子结构模型的合理性与计算的可靠性和有效性，依然充满各种挑战.基于密度泛函理论的第一原理电子结构计算的核心数学模型为Kohn-Sham方程或相应的Kohn-Sham能量泛函极小问题.近年来，人们分别从非线性算子特征值问题的高效离散及Kohn-Sham能量泛函极小问题的最优化方法设计两个方面对电子结构计算的高效算法设计及分析展开了诸多研究.本文重点介绍我们小组在电子结构计算的方法与理论方面的一些进展，同时简单介绍该领域存在的困难与挑战.

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被引次数: CSCD(1)

弱有限元方法在线弹性问题中的应用

张然

2020, 42 (1): 1-17. DOI: 10.12286/jssx.2020.1.1

摘要（807）

PDF （482KB）（813）

本文考虑弱有限元（简称WG）方法在线弹性问题中的应用.WG方法是传统有限元方法的推广，用于偏微分方程的数值求解.和传统有限元一样，它的基本思想源于变分原理.WG方法的特点是使用在剖分单元内部和剖分单元边界上分别有定义的分片多项式函数（即弱函数）作为近似函数来逼近真解，并针对弱函数定义相应的弱微分算子代入数值格式进行计算.除此之外，WG方法允许在数值格式中引进稳定子以实现近似函数的弱连续性.WG方法具有允许使用任意多边形或多面体剖分，数值格式与逼近函数构造简单，易于满足相应的稳定性条件等优点.本文考虑WG方法在求解线弹性问题中的应用.围绕线弹性问题数值求解中常见的三个问题，即：数值格式的强制性，闭锁性，应力张量的对称性介绍WG方法在线弹性问题求解中的应用.

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图像反问题中的数学与深度学习方法

董彬

2019, 41 (4): 343-366. DOI: 10.12286/jssx.2019.4.343

摘要（2296）

PDF （695KB）（1631）

我们生活在数字的时代，数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分，而图像无疑是最重要的数据类型之一.图像反问题，包括图像降噪，去模糊，修复，生物医学成像等，是图像科学中的重要领域.计算机技术的飞速发展使得我们可以用精细的数学和机器学习工具来为图像反问题设计有效的解决方案.本文主要回顾图像反问题中的三大类方法，即以小波（框架）为代表的计算调和分析法、偏微分方程（PDE）方法和深度学习方法.我们将回顾这些方法的建模思想和一些具体数学形式，探讨它们之间的联系与区别，优点与缺点，探讨将这些方法有机融合的可行性与优势.

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无中心优化的算子分裂方法

印卧涛

2019, 41 (3): 225-241. DOI: 10.12286/jssx.2019.3.225

摘要（961）

PDF （552KB）（652）

在某些多智能体系统中，由于受到通讯等因素的限制，单个智能体只能进行本地计算，再与相邻智能体交换数据.与传统的并行和分布式计算不同，这种数据交换方式不再使用中心节点或者共享内存，而仅限于相邻节点之间.这种通过局部数据交换而实现全网目标的方式叫做无中心计算.比如，从任意的多个数开始，所有智能体通过不断地计算其局部平均，就都能收敛到这些数的平均值.无中心计算有不易形成通讯和计算瓶颈的优点，更适合分布的节点，因此受到一些应用的欢迎.
本文介绍求解一致最优化问题的若干无中心算法.一致最优化问题的目标是全网所有节点的变量收敛到同一个、并使所有目标函数之和最小的值.我们可以通过推广求平均的无中心方法去实现这个目标，但是得到算法比普通（有中心的）优化算法收敛得更慢，有阶数差距.近年来，一些新的无中心算法弥补了这个阶数差距.本文采用算子分裂的统一框架，以比这些算法原文更为简单的形式介绍这些方法.

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被引次数: CSCD(1)

类Hartree-Fock方程的数值方法

林霖

2019, 41 (2): 113-125. DOI: 10.12286/jssx.2019.2.113

摘要（706）

PDF （531KB）（731）

本文的主要目的是介绍近年来大基组下的类Hartree-Fock方程数值求解的一些进展.类Hartree-Fock方程出现在Hartree-Fock理论和含杂化泛函的Kohn-Sham密度泛函理论中，是电子结构理论中一类重要的方程.该方程在复杂的化学和材料体系的电子结构计算中有广泛地应用.由于计算代价的原因，类Hartree-Fock方程一般只被用在较小规模的量子体系（含几十到几百个电子）的计算.从数学角度上讲，类Hartree-Fock方程是一个非线性积分-微分方程组，其计算代价主要来自于积分算子的部分，也就是Fock交换算子.通过发展和结合自适应压缩交换算子方法（ACE），投影的C-DⅡS方法（PC-DⅡS）方法，以及插值可分密度近似方法（ISDF），我们大大降低了杂化泛函密度泛函理论的计算代价.以含1000个硅原子的体系为例，我们将平面波基组下的杂化泛函的计算代价降至接近不含Fock交换算子的半局域泛函计算的水平.同时，我们发现类Hartree-Fock方程的数学结构也为一类特征值问题的迭代求解提供了新的思路.

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被引次数: CSCD(1)

信赖域方法的收敛性

袁亚湘

1994, 16 (3): 333-346. DOI: 10.12286/jssx.1994.3.333

摘要（1535）

PDF （554KB）（865）

信赖域方法的收敛性袁亚湘（中国科学院计算中心）ＯＮＴＨＥＣＯＮＶＥＲＧＥＮＣＥＯＦＴＲＵＳＴＲＥＧＩＯＮＡＬＧＯＲＩＴＨＭＳ￥ＹｕａｎＹａ－ｘｉａｎｇ（ＣｏｍｐｕｔｉｎｇＣｅｎｔｅｒＡｃａｄｅｍｉａＳｉｎｉｃａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｒｕｓｔｒｅｇｉｏ...

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被引次数: Baidu(138) CSCD(18)

非奇H矩阵的简捷判据

黄廷祝

1993, 15 (3): 318-328. DOI: 10.12286/jssx.1993.3.318

摘要（1742）

PDF （320KB）（960）

非奇H矩阵在计算数学和矩阵理论的研究中很重要,但简便实用的判定条件较少见。本文给出几个简捷判据。[1,2,3]的主要结果是本文定理1的特例。记M_n(C)为n阶复阵集合,M_n(R)为n阶实阵集合。设A=(a_(ij))∈M_n(C),记Λ_i(A)=sum from j≠i to |a_(ij)|,i,j∈N≡{1,2,…,n}。若|a_(ii)|>Λ_i(A),i∈N,则称A

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被引次数: Baidu(552) CSCD(62)

关于Morley元的误差估计

石钟慈

1990, 12 (2): 113-118. DOI: 10.12286/jssx.1990.2.113

摘要（1567）

PDF （196KB）（965）

§1.引言解薄板弯曲问题的三角形Morley元是六十年代出现的一种非协调元,它的形函数是完整的二次多项式,节点参数是单元顶点上的三个函数值及三边中点上的法向导数值.由于板弯曲问题的常应变是二次多项式,所以这是一个参数最少的非协调板元.由

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被引次数: Baidu(76) CSCD(18)

关于九参数二阶拟协调元

石钟慈

1989, 11 (4): 442-444. DOI: 10.12286/jssx.1989.4.442

摘要（1406）

PDF （93KB）（639）

韩厚德最近在讨论拟协调元时,引进了一个九参数二阶拟协调元.在[1]中,对一个完全三次多项式(十个自由度)附加一个特殊的约束条件并使它满足所谓的二阶拟协调条件,即形函数及其两个一阶偏导数在单元之间的内部边界上保持积分意义下的连续性.我们证明,这样得到的九参二阶拟协调元实际上就是熟知的 de Veubeke元.其证明如下.

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被引次数: Baidu(2)

实对称矩阵的两类逆特征值问题

孙继广

1988, 10 (3): 282-290. DOI: 10.12286/jssx.1988.3.282

摘要（1690）

PDF （277KB）（739）

§gi.两类逆特征值问题先说明一些记号.R~(m×n)是所有m×n实矩阵的全体,R~n=R~(n×1),R=R~1;SR~(n×n)是所有n×n实对称矩阵的全体;OR~(n×n)是所有n×n实正交矩阵的全体;I~((n))是n阶单位矩阵;A~T是矩阵A的转置;A>0表示A是正定的实对称矩阵.?(A)是矩阵A的列空间;A~+是矩阵A的Moore-Penrose广义逆;P_A=AA~+表示到?(A)的正交投影.λ(A)是A的特征值的全体;λ(K,M)是广义特征值问题K_x=λM_x的特征值的

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被引次数: Baidu(254)

关于三次样条插值矩阵的非奇异性

石钟慈

1983, 5 (2): 195-203. DOI: 10.12286/jssx.1983.2.195

摘要（1508）

PDF （273KB）（844）

近年来,在计算数学刊物上相继发表了许多篇关于三次插值样条存在唯一性的文章,例如[1-3].这些文章讨论的是三次样条插值矩阵为非奇异的条件.[1]中用的是凑方法,讨论了与插值矩阵相关的另一个对称阵为正定的条件,经过复杂凑方,得到了某些充分条件,[2]是用大块凑方,所得结果形式上异于[1],但实质上是完全相同的.[3]则是对插值矩阵进行一种特殊分解,得出非异的四个充分条件.它不限于[1-2]所讨论的正定情形,因而适用范围更广些.

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被引次数: Baidu(9)

高阶稀疏局部非线性方程组的一种拟牛顿方法

崔俊芝

1982, 4 (4): 356-364. DOI: 10.12286/jssx.1982.4.356

摘要（1458）

PDF （356KB）（799）

§1.引言当用有限元法或有限差分法分析非线性偏微分方程问题时,必然会导致求解非线性方程组的问题,即求 F(x)=0 (1.1)的解.其中,x=(x_1,x_2,…,Xx_n)~T∈D,D?R~n;F:D→R~n是一个非线性映射.因此,有效地求解非线性方程组(1.1),是分析相应的非线性问题的关键. 不管这些非线性问题是来自流体力学、固体力学,还是其他的物理范畴,它们所对应

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论Bézier曲线的仿射不变量

苏步青

1980, 2 (4): 289-298. DOI: 10.12286/jssx.1980.4.289

摘要（1455）

PDF （284KB）（816）

本文的目的是按照[1]的理论找出n次平面Bezier曲线的内在仿射不变量,特别是,对于3次Bezier曲线的保凸性作出其充要条件的几何解释。对于一般的情况下的保凸性问题,至今还没有解决。著者仅在4次的场合详尽地讨论了曲线段上是否存在拐点的分析的(而不是几何的)充要条件,而最后举出几个实例,以说明特征多角形的凸性是充分条件,而不是必要条件。

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被引次数: Baidu(167)

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