2022年, 第44卷, 第4期　刊出日期：2022-11-14

  

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  数学物理方程离散特征值问题的几何网格因式分解算法

  孙家昶

  计算数学. 2022, 44(4): 433-465. https://doi.org/10.12286/jssx.j2022-0969

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  本文提出求解数学物理方程大型离散特征值问题的几何网格预变换块因式分解算法(简称GPA算法).
  通过长期研究我们发现:结构化网格矩阵$G$满足幂等方程$G^m=I_N,(m\ll N={\rm dim}(G))$,故可在实数域或复数范围内进行因式分解;且$G$与有限元刚度矩阵$A$之间乘法存在互易性:$A\cdot G=G\cdot A$,利用$G$的几何不变性可把$N$阶大型矩阵$A$正交分解为$m-$块对角块矩阵异步并行是我们算法的计算数学基础.
  本文以正三角形、方形、平行六边形及正十七边形等结构化网格为例,特别是详细分析了六边形上的离散特征值异步并行算法及程序实现细节.文后附有若干2-3万阶量级离散矩阵特征值的桌面电脑数值计算例子(正三角形与方形网格,串行加速比分别为3-4倍),符合本文算法分析得出的"几何网格预处理的并行度与正多边形边数成正比"的结论.这类几何网格因式分解算法原则上可推广到三维乃至高维数学物理方程离散特征值计算问题，也可用于大型线性方程组的高效并行求解.
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  带跳随机波动率模型的高阶ADI分裂格式

  陈迎姿, 肖爱国, 王晚生

  计算数学. 2022, 44(4): 466-480. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0891

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  针对带跳随机波动率模型满足的偏积分微分方程,提出一种新的高阶交替方向隐式（ADI）有限差分格式,该模型是一个具有混合导数和非常数系数的对流扩散型初边值问题.我们将不同的高阶空间离散与时间步ADI分裂格式相结合,得到了一种空间四阶精度、时间二阶精度的有效方法,并采用Fourier方法分析了高阶ADI格式的稳定性.最后,通过对欧式看跌期权定价模型进行数值实验证实了数值方法的高阶收敛性.
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  关于非Hermitian正定线性代数方程组的超松弛HSS方法

  潘春平

  计算数学. 2022, 44(4): 481-495. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0773

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  本文针对求解大型稀疏非Hermitian正定线性方程组的HSS迭代方法,利用迭代法的松弛技术进行加速,提出了一种具有三个参数的超松弛HSS方法(SAHSS)和不精确的SAHSS方法(ISAHSS),它采用CG和一些Krylov子空间方法作为其内部过程,并研究了SAHSS和ISAHSS方法的收敛性.数值例子验证了新方法的有效性.
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  四阶分数阶扩散波动方程的两网格混合元快速算法

  王金凤, 尹保利, 刘洋, 李宏

  计算数学. 2022, 44(4): 496-507. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0775

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  本文研究四阶分数阶扩散波动方程模型的基于新混合元方法的快速两网格算法.讨论该方法的稳定性,推导三个未知函数的$L^2$模意义下的最优误差估计.最后通过数值例子验证两网格混合元算法的高效性和理论结果的正确性.
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  广义特征值极小扰动问题的一类黎曼共轭梯度法

  孔令畅, 魏科洋, 周学林, 李姣芬

  计算数学. 2022, 44(4): 508-533. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0793

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  研究含参数$l$非方矩阵对广义特征值极小扰动问题所导出的一类复乘积流形约束矩阵最小二乘问题.与已有工作不同,本文直接针对复问题模型,结合复乘积流形的几何性质和欧式空间上的改进Fletcher-Reeves共轭梯度法,设计一类适用于问题模型的黎曼非线性共轭梯度求解算法,并给出全局收敛性分析.数值实验和数值比较表明该算法比参数$l=1$的已有算法收敛速度更快,与参数$l=n$的已有算法能得到相同精度的解.与部分其它流形优化相比与已有的黎曼Dai非线性共轭梯度法具有相当的迭代效率,与黎曼二阶算法相比单步迭代成本较低、总体迭代时间较少,与部分非流形优化算法相比在迭代效率上有明显优势.
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  低秩张量填充的加速随机临近梯度算法

  郭雄伟, 王川龙

  计算数学. 2022, 44(4): 534-544. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0809

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  本文提出了一种求解低秩张量填充问题的加速随机临近梯度算法.张量填充模型可以松弛为平均组合形式的无约束优化问题,在迭代过程中,随机选取该组合中的某一函数进行变量更新,有效减少了张量展开、矩阵折叠及奇异值分解带来的较大的计算花费.本文证明了算法的收敛率为$O (1/k^{2})$.最后,随机生成的和真实的张量填充实验结果表明新算法在CPU时间上优于现有的三种算法.
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  三类有效预处理子的关系及其优化

  廖丽丹, 张国凤

  计算数学. 2022, 44(4): 545-560. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0835

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  针对一类由时谐抛物方程约束的最优控制问题导出的分块$2\times2$复线性方程组,进一步研究了三类有效的块预处理子,推导了这三类预处理子间的关系,结论表明三个预处理矩阵的特征值由同一个矩阵确定.通过分析预处理矩阵的谱性质,获得了有效的参数选择策略,可以进一步改进和优化现有结果,同时获得了预处理矩阵的精确特征值分布,并证明了此结果是目前文献中最优结果.最后,给出实例,不仅验证了优化的预处理子和迭代方法的有效性,而且说明了理论结果是令人信服的.
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  求解二维Fisher-KPP方程的一类保正保界差分格式及其Richardson外推法

  邓定文, 赵紫琳

  计算数学. 2022, 44(4): 561-584. https://doi.org/10.12286/jssx.j2021-0843

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  本文研究求解二维Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (Fisher-KPP)方程的一类保正保界差分格式.运用能量分析法证明了当网格比满足$R_{x}+R_{y}+[b\tau (p-1)]/2\leq\frac{1}{2}$时差分解具有一系列数学性质,包括保正性、保界性和单调性,且在无穷范数意义下有$O (\tau+h_{x}^{2}+h_{y}^{2})$的收敛阶.然后通过发展Richardson外推法得到收敛阶为$O (\tau^{2}+h_{x}^{4}+h_{y}^{4})$的外推解.最后数值实验表明数值结果与理论结果相吻合.值得提及的是在运用本文构造的Richardson外推法时对时空网格比没有增加更严格的条件.