2021年, 第42卷, 第2期　刊出日期：2021-06-15

  

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青年评述
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  趋化群体运动中的建模分析和计算

  唐敏

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 91-103. https://doi.org/10.12288/szjs.s2021-0737

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  趋化运动是细菌寻找食物、逃离有害物质的核心机制. 对于多细胞生物来说, 趋化运动对其发育和健康更是至关重要. 随着对趋化运动越来越多生物细节的理解, 其数学模型也越来越完备和复杂. 本文以大肠杆菌的趋化运动为例, 回顾了三个不同尺度的模型：上个世纪70年代提出的Keller-Segel模型, 80年代末提出的的速度跳跃模型以及本世纪初提出的含信号通路的动理学方程模型. 我们回顾近30年来这些模型提出的背景、建模思想、分析得到的关于解行为特性的一些主要结论, 以及相关数值算法, 并探讨不同尺度模型之间的联系和区别.
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  有限元特征值计算中的子空间二次解耦算法

  孙家昶

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 104-125. https://doi.org/10.12288/szjs.s2021-0738

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  解线性方程组预条件子算法已在求解偏微分方程(PDE)的离散代数系统的高性能计算中取得巨大成功. 相比之下, PDE 特征值问题本身的高效快速并行的潜力目前远未发挥.根据代数基本定理可知, 通过因式分解, 任意一个一元 n 次实特征多项式可分解为若干个低次实多项式(如二次）或一次实多项式的乘积, 因此, 利用PDE方程的特征变换(如Fourier变换等)作预变换 有可能把离散的高阶广义特征值问题直接解耦分解为一批低阶广义矩阵特征值的并行计算. 本文以三次 Hermite 插值有限元为例, 提出求解一类离散椭圆PDE 广义特征值的二次解耦算法。新算法不但 降低了常规算法 (先把广义特征值问题化为普通特征值问题, 再分解为 n 个一次多项式乘积)的计算复杂度, 性能提升明显, 而且能有效判别与防止伪特征值的出现(Spurious free无伪解).
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  矩阵填充硬阈值算法的两种修正

  王俊霞, 王川龙, 申倩影

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 126-133. https://doi.org/10.12288/szjs.s2019-0611

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  本文提出了两种使用硬阈值进行矩阵填充的修正算法. 算法通过对迭代矩阵进行对角修正来完成矩阵填充, 其中第一种算法每步均修正, 第二种算法每两步修正一次, 并给出了算法的收敛性分析. 最后通过数值实验分别比较了两种算法与硬阈值算法填充的数值结果, 显示出了新算法的优越性.
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  扩散方程九点格式的保正性与极值性

  袁光伟

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 134-145. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0647

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  针对任意四边形网格上扩散方程已有的九点格式, 引入适当的限制器进行改写, 证明了所得到的非线性格式具有强保正性, 且该非线性格式的解若存在的话即为九点格式的一个正的解. 并进一步讨论了保持离散强极值原理的格式.
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  求解极坐标系下反应扩散方程的紧致隐积分因子方法

  霍俊蓉, 张荣培

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 146-154. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0679

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  反应扩散方程在物理、化学和生物等领域有着重要的应用. 以往的工作主要在矩形区域上考虑求解, 本文研究圆形和环形区域上求解反应扩散方程. 首先将反应扩散方程写成极坐标形式, 利用二阶有限差分方法在空间r 方向和θ方向分别进行离散. 将网格上的数值解以矩阵形式表示, 并且将微分算子离散成矩阵形式, 从而得到紧致形式下的非线性常微分方程组, 然后应用隐积分因子方法求解该非线性常微分方程组. 紧致隐积分因子方法不仅降低了存储量, 而且在每一个时间层只需要求解局部的非线性代数方程组. 最后给出数值算例, 选取带有精确解的反应扩散方程以及Schnakenberg模型, 在圆形和环形区域上求解反应扩散方程组, 数值结果显示该方法能够快速且准确地计算.
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  基于PHG平台的非结构四面体网格欧拉方程间断有限元并行求解器

  杜玉龙, 徐凯文, 赵昆磊, 袁礼

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 155-168. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0714

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  针对计算流体力学对高性能计算的需求,基于三维并行自适应有限元程序开发平台PHG (Parallel Hierarchical Grid)开发了在非结构四面体网格上求解可压缩流欧拉方程的间断有限元法并行求解器（Libdgphg库）. 该求解器以C++函数库的形式实现数值方法中各项功能. 实施了模态基一次间断有限元, 采用低耗散的MLP(Multi-dimensional Limiting Process)限制器来抑制间断附近的数值振荡. 由于MLP限制器需要所有与当前单元共享顶点的邻近单元的信息, 模板较宽, 这给程序设计带来一定的困难. 我们通过引入辅助向量收集共享顶点的所有单元中的最大、最小单元积分平均值, 并归属到单元数据结构上, 从而利用PHG内在的通信机制实现MPI分区间的信息交换.通过几个数值算例测试了Libdgphg库的数值结果以及并行性能. 算例表明: 该求解器能得到理论精度阶和较高分辨率, 同时有良好的并行性能, 在千核测试中可达到60%以上的并行效率， 可用于流体问题的大规模计算.
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  非结构网格上针对间断有限元方法的初值重映流场收敛加速技术

  王居方, 刘铁钢

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(2): 169-182. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0725

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  给出一种非结构网格上针对间断有限元方法的初值重映流场收敛加速技术框架, 以提高气动优化过程中间断有限元方法的收敛速度, 减少优化过程所需时间. 在保持网格拓扑结构不变的前提下, 通过从给定的参考单元到物理域上每个网格单元的一一映射, 在不同外形的网格上相应单元之间建立局部的一一对应关系; 每次更新外形时, 将当前外形的数值解重映到新外形的网格上作为初值, 以加快间断有限元方法的收敛速度. 将该技术应用于三角形网格上的翼型优化设计问题, 取得了很好的效果, 对于三阶间断有限元方法能够减少超过70%的计算时间.