2021年, 第42卷, 第4期　刊出日期：2021-12-15

  

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  二阶椭圆问题的弱迦辽金四边形谱元方法

  潘佳佳, 李会元

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 303-322. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0657

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  本文对二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金谱元方法开展相关数值研究.与弱有限元方法类似，弱伽辽金谱元方法的逼近函数空间包括各个单元上的独立内部分量、并辅以各单元边界分量作为单元与单元间的联系.本文聚焦任意凸四边形网格剖分下的弱伽辽金四边形谱元方法，弱逼近函数中的各内部分量与边界分量分别由参考正方形单元与参考单元边界上的正交多项式通过双线性变换来构造；而弱梯度逼近空间则由参考正方形上的正交多项式通过Piola变换构造.在此基础上，本文提出了二阶椭圆方程特征值问题的弱伽辽金四边形谱元方法逼近格式和实现算法，并通过对离散弱梯度核空间的系统研究，具体分析了逼近格式的适定性.通过大量的数值实验，本文具体分析了弱伽辽金四边形谱元方法的精度和收敛性，特别是逼近函数空间与离散弱梯度空间中多项式次数的不同搭配对精度和收敛性的影响.研究表明，p-型弱伽辽金四边形谱元方法承袭了谱方法的指数阶收敛性质；h-型弱伽辽金四边形谱元方法不但具有h-型方法在通常意义上的满阶收敛性，而且完全可以通过逼近空间多项式次数的灵活匹配达到超收敛.
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  求解Einstein-积张量方程的混合贪婪随机坐标下降法

  谢亚君, 马昌凤

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 323-336. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0661

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  贪婪随机坐标下降法是当前提出的求解最小二乘问题的有效方法.本文通过引入“残量最大下降指标”，给出了贪婪随机坐标下降法的修正版本及一个有效的两步混合加速算法.同时，将这些改进的有效算法用来求解带有Einstein-积的张量方程.理论及数值实验都充分验证了所提出算法的可行性和有效性.
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  扇形区域外问题的自适应边界元方法

  邱亚南, 王娜, 刘东杰

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 337-350. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0690

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  本文研究扇形区域外laplace问题的自适应自然边界元方法.我们充分利用了自然积分算子的特殊性质和积分核级数展开法，得到了两个新的可靠后验误差估计.数值算例验证了理论分析结果.
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  Korteweg-de Vries方程的时空谱配置方法

  马亚楠, 王天军, 李冰冰

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 351-360. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0692

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  针对全直线上的KdV方程构造了时空全离散Legendre-Hermite谱配置格式，也就是在时间方向上用Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点，在空间方向上用Hermite-Gauss节点为配置点，构造得到一个非线性矩阵方程，将其化为非线性方程组，利用通常的不动点迭代求解，数值实验表明这种方法的有效性.
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  复合凸优化问题的一个非精确多层梯度镜面下降算法

  肖斌, 周芷娟, 胡清洁

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 361-378. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0695

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  本文提出一个求解复合凸优化问题的非精确多层梯度镜面下降算法.该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差，在适当条件下分析了该算法函数值误差序列的O（1/k²）收敛速度，这里k表示迭代次数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.
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  两类向量序列加速收敛方法比较

  秦子康, 安恒斌, 王新玉

  数值计算与计算机应用. 2021, 42(4): 379-394. https://doi.org/10.12288/szjs.s2020-0704

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  迭代方法是求解大规模线性和非线性问题的主要方法.由迭代方法产生的向量序列的收敛速度直接影响方法的应用效果.为了提高向量序列的收敛速度，可以采用向量序列的迭代加速算法.目前，针对向量序列加速收敛的算法主要包括两类：基于外插类的方法和基于Anderson加速的方法.外插类加速方法通过对于原序列进行变形，以获得新的向量序列，使新的向量序列的收敛速度比原序列更快.典型的外插类方法有最小多项式外插（MPE）方法，修正的最小多项式外插（MMPE）方法，降秩外插（RRE）方法，拓扑ε算法（TEA），向量ε算法（VEA）等.Anderson加速方法结合不动点迭代格式，利用迭代过程中残差序列的信息构造新的迭代序列.本文选取RRE方法作为外插类加速方法的代表，与Anderson加速方法进行比较，并重点通过几类典型应用进行测试和分析.结果表明，Anderson加速方法和RRE方法均可提高向量序列的收敛速度，并且Anderson加速方法比RRE方法更为稳定和有效.