光滑子是影响代数多重网格算法（AMG）求解效率的重要组件之一.本文考虑实际应用中普遍出现的一类多尺度稀疏矩阵，由于多尺度性质的影响，现有AMG光滑子的光滑效果不理想，从而影响AMG算法求解该类方程的效率.借助代数界面的概念，本文分析了代数界面对松弛型光滑子的影响，并通过扩展代数界面的内涵，设计了一种代数界面优先的光滑子（AI-Smoother）.以Gauss-Seidel （GS）光滑子为例，通过三维模型问题和实际问题测试了该光滑子（AI-GS）的有效性.测试表明，与自然序GS光滑子相比，AI-GS有效改善了AMG算法的收敛速度.对于三维随机系数扩散方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.2%的加速，对于激光聚变应用中的三温方程百万自由度算例，AI-GS可获得28.8%的加速.

高阶多尺度方法在计算数学、计算力学和计算材料学等领域得到了广泛的应用，为了进一步挖掘高阶多尺度方法的计算潜力，本文结合单胞边界条件优化选择和边界层构造，提出了一种高阶多尺度方法的数值精度提高策略，并给出了施加数值精度提高策略的高阶多尺度方法的误差分析.然后，建立了周期复合材料结构弹性力学问题具有数值精度提高策略的新的多尺度数值算法.最后，通过对周期复合材料结构弹性力学问题的模拟，验证了所提出数值精度提高策略的有效性和最优的数值精度.

经验插值法（empirical interpolation method，EIM）首先由Yvon Maday和他的合作者在2004年提出，旨在提升非仿射或非线性偏微分方程模型降阶（reduced basis technique）的计算效率，随后在模型降阶和数据同化领域得到了广泛应用.EIM的计算过程分为离线、在线两个过程：离线阶段，基于待插值函数空间的大量样本函数，通过EIM算法逐一计算插值基函数和插值点（魔数点）；在线阶段，基于在魔数点的函数值和基函数，在线重构待插值函数.本文重点研究了EIM算法得到的插值点的空间分布特性，提出了最小二乘格式的EIM （LS-EIM）以进一步提升EIM精度和稳定性.比较了EIM算法确定的魔数点和其它各种采样方法确定的点对LS-EIM的收敛性和精度的影响.通过数值计算发现，相比随机采样和其他方法选取的采样点，EIM算法得到的魔数点用于LS-EIM可获得最快收敛速度和最优重构精度，通常仅需不到2倍于基函数维数$n$的魔数点数，即不到2$n$个魔数点，LS-EIM即可实现对最佳重构的逼近.

高斯坐标因其直观、计算简单等特点广泛应用于我军作战指挥信息系统中，人工经常录入数值超界的无效坐标，轻则降低系统作战效率，重则导致系统出现射击诸元解算错误等严重问题.高斯投影公式表明横、纵坐标分量存在强关联，两坐标分量相互约束且映射关系复杂，考虑到系统中存在手持终端等大量低性能硬件环境，需对CSCS2000坐标系下的高斯坐标范围精确及快速求解算法进行研究.通过对高斯投影原理的分析，在已知高斯纵坐标情况下，可采用逐步逼近迭代算法来实现高斯横坐标取值范围的精确计算，也可采用最小二乘法实现快速计算；在已知高斯横坐标情况下，可采用折半查找算法实现高斯纵坐标取值范围的精确计算，也可采用最小二乘法与折半查找算法组合实现快速计算.通过对大量计算结果的数据对比与分析，计算精度和速度均满足要求，开发了相关工具软件，适合工程化实施和应用.

针对目前大多数的低秩张量填充模型存在稀疏过约束而导致恢复数据的细微特征被忽略的现象，本文借助低秩矩阵分解和框架变换，引入软阈值算子的$\ell_0$范数正则项，提出一个基于近似稀疏正则化的低秩张量填充模型.为有效地求解该模型，我们将$\ell_0$范数改写为具有非线性不连续权函数的加权$\ell_1$范数，并用连续权函数逼近不连续权函数，在此基础上设计块逐次上界极小化的求解算法.在一定条件下，证明该算法的收敛性.大量实验表明，本文所提出的算法比现有一些经典算法能更好地重建得到图像的局部细节特征.

在一元Multiquadric拟插值算子的基础上，将一元基函数扩展到多元，并重新定义了空间点之间的距离，提出了一种新的多元拟插值算子，并分析了其任意阶多项式再生性及逼近性.数值实验表明，新的多元拟插值算子可直接使用空间点集的坐标实现曲线的高精度拟插值重建.

研究Volterra型积分方程的Galerkin Legendre Jacobi数值积分方法.首先，利用Jacobi Galerkin数值积分对方程中的积分项进行离散，从而我们得到一个等价方程.其次，对该等价模型构造Legendre Galerkin方程，且在积分项部分用Chebyshev插值计算.然后，该方法还被推广到非线性Volterra积分方程的计算.最后，对计算区间较大的模型，基于上述方法，构造了两级多区域格式且将其应用于含有一个间断点的Volterra型积分方程的计算.此外，还将其推广到第三类Volterra积分方程.通过数值算例验证该方法的高阶精度与有效性.

基于第六类正交Chebyshev多项式混合Block-Pulse函数，获得了一种求解分数阶Lane-Emden型微分方程数值解的数值方法.混合函数由第六类正交Chebyshev多项式与Block-Pulse函数构成.在Rieman-Liouville分数阶积分定义下，利用Laplace变换导出了混合函数的分数阶积分公式表达式.利用混合函数积分公式以及结合有效的配点法，将具有边界条件的分数阶Lane-Emden微分方程转化成一个代数方程组，再运用迭代法进行数值求解.同时，还给出了混合函数展开的一致收敛性分析和误差估计.文中数值算例和数值结果验证了该方法的有效性和准确性.

基于集合卡尔曼滤波的反演算法已经成为处理贝叶斯反问题中越来越受欢迎的一类方法.这类方法可以看成是求解反问题的无梯度优化方法.然而这类方法是基于集合卡尔曼滤波算法的,所以它们可能不适用于求解强非高斯性观测模型.为了解决这一问题,在本文中我们提出一种基于仿射映射的变分集合卡尔曼反演算法,即确定一个先验集合到后验集合的仿射映射.数值实验结果表明,在强非高斯性观测模型中,我们提出的反演算法比标准的集合卡尔曼反演方法表现出更好的性能.

带有分数阶Laplacian算子的对流扩散方程常被用来刻画自然界与社会系统中的反常扩散现象. 本文提出了一种新的格子Boltzmann模型, 用于求解二维带分数阶Laplacian算子的对流扩散方程. 首先, 基于分数阶Laplacian算子的Fourier变换和Gauss型求积公式, 得到控制方程的近似方程. 然后, 将速度空间、时间和空间进行离散, 并构造合适的平衡态分布函数和离散作用力, 建立有效的格子Boltzmann-BGK模型. 通过Chapman-Enskog分析, 可由建立的格子Boltzmann-BGK模型恢复出宏观方程, 从而证明了模型的有效性. 最后, 将模型应用于求解带有解析解的数值算例和Allen-Cahn方程, 数值结果进一步验证了模型的正确性和有效性.

利用分离变量法给出了含点源的一维热传导方程的积分解,在此基础上,研究了一维热传导方程点源源强的反演问题,将源强反演问题转化为优化问题,利用变分伴随法得到了梯度表达式,借助Broyden族算法对其反演,并给出数值模拟,结果表明Broyden族算法可行且有效.

光滑粒子流体动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)方法是一种无网格拉格朗日粒子法, 目前在流体力学领域以及大变形和冲击载荷等问题的模拟方面具有广泛的应用, 众多学者在SPH算法方面开展了大量的研究, 以提高SPH算法的计算速度和精度. 针对现有SPH方法在边界附近粒子近似精度下降的问题, 本文在CSPH 方法和MSPH方法基础上提出了一种改进的核近似形式, 在求解场函数、一阶导数近似值以及二阶导数近似值过程中,对含二阶导数项的方程进行优化, 减少了二阶导数项近似值的求解个数, 相比MSPH方法减少了计算量. 此外, 本文基于改进的SPH算法, 建立了二维数值波浪水槽模拟推板造波, 通过数值模拟造波将SPH算法生成的波浪参数与理论值进行对比, 验证了改进的SPH方法在波浪生成和传播上具有较好的模拟效果, 为后续研究内波、畸形波以及非线性波相互作用提供了算法研究基础.

因子分析是一种可用于简化数据, 对数据进行降维的统计方法, 如今已被广泛应用于各个领域. 在因子分析中, 如何对因子个数进行选择是非常重要的问题. 在实际应用中, 因子个数的确定通常依赖于样本协方差矩阵. 本文利用~Kullback-Leibler (KL)散度刻画协方差矩阵估计的不确定性, 并基于此建立~KL散度正则化最小迹模型对因子个数进行估计. 同时, 采用具有全局收敛性的基于对称高斯-赛德尔分解的交替方向乘子法对所建立的模型进行求解, 并从数值实验的角度验证了模型和算法的有效性.

波形松弛(WR)方法是求解微分方程的一种重要数值方法,迄今为止,关于它的研究集中于收敛性,罕有对其稳定性的研究.提出了常微分方程WR方法稳定的定义.借鉴常微分方程经典数值方法稳定性的常规研究方法,研究WR方法的稳定性,给出了连续WR方法保持三种标准试验方程稳定性的充分条件.使用Lyapunov技巧研究WR方法的压缩性,得到了连续和离散WR方法保持试验方程压缩的充分条件.

大气动力学问题的数值模拟在气象预报等领域具有广泛的应用. 相关数值模拟依赖超级计算机平台实现高精度高分辨率的气象预报,隐式求解不受稳定性条件限制,相比显式求解更有优势.面向新的超级计算机架构特征研究隐式大气动力学问题中一系列算子操作的并行和优化方法是非常有必要的. 本文在规则递推关系的理论框架下对大气动力学问题预条件阶段的稀疏三角回代求解以及ILU矩阵分解操作的特征进行了总结,并结合申威26010Pro处理器的架构特点, 对现有结构化稀疏三角线性方程组问题的并行算法进行了推广,设计了一套面向单向规则递推关系的算法框架,解决了预条件阶段各类算子的并行加速问题. 本文还面向申威26010Pro处理器对大气动力学问题的模板计算等算子进行了移植和优化. 实验结果显示, 本文的算法框架对预条件阶段的算子能够实现26-33倍不等的加速效果,对模板计算等算子的优化相比串行计算有10-152倍的加速比. 在新的神威超级计算机上最大测试到1700多万核心,浮点性能达到20.5PFlop/s. 在大规模测试条件下的强(弱)可扩展性维持在56.81%(41.87%) 以上.

广义Dantzig选择器问题是解决参数估计的有效途径, 其中任何范数都可以用于估计. 本文采用对偶交替方向乘子法(dual Alternating Direction Method of Multipliers, 简称dADMM)求解$\ell_1$范数, $\ell_2$范数和$\ell_{\infty}$范数广义Dantzig选择器问题, 并给出了dADMM的全局收敛性和局部线性收敛速度. 数值试验验证了dADMM的有效性.

贝叶斯推断正逐渐成为解决反问题的一个越来越流行的工具, 这主要是因为它能够描述所获得的解的不确定性. 在许多实际的贝叶斯反问题中, 可能有多个潜在性能良好的模型可用来描述数据和感兴趣的参数. 在这种情况下, 基于贝叶斯的模型选择方法经常被用来选择"最佳"模型, 而这种方法依赖于对后验分布中归一化常数的估计. 因此, 估计归一化常数成为贝叶斯推断中的一项重要任务, 而这个问题对于标准抽样方法来说具有计算上的挑战性. 在这项工作中, 新提出的一种基于多正则蒙特卡洛技术(MMC)的归一化常数估计方法, 可以很好的解决上述难题, 这是一种自适应的重要性采样方法. 该方法可以以黑箱方式估计归一化常数, 使其特别适用于具有复杂基础模型的问题. 最后, 通过数值例子证明了所提出的方法可以有效且准确地计算出归一化常数的估计值.

近年来, 有关玻色-爱因斯坦凝聚态基态解的实验研究已经取得了一系列重要的成果. 本文在相关研究成果的基础上, 首先通过降维和无量纲化方法将玻色-爱因斯坦凝聚态基态解问题转换成能量泛函极值问题, 在离散该方程时,我们使用有限差分法和傅里叶谱方法分别离散该能量泛函方程的一维和二维情形. 其次, 本文采用了一种高效的数值优化算法-SQP优化方法来求解玻色-爱因斯坦凝聚态基态解问题并运用该算法分别对一维和二维的能量泛函极小值问题进行数值模拟. 最后通过分析实验数据结果和图像, 得出该算法能提高能量函数值的精确性.

基于贪婪准则和最大距离准则选择系数矩阵工作列的策略, 提出两种求解大规模超定不相容线性系统的斜方向的 Gauss-Seidel 方法, 即斜方向的贪婪随机 Gauss-Seidel (GRGSO) 方法和斜方向的快速最大距离 Gauss-Seidel (FMDGSO) 方法. 当系数矩阵是列满秩时, 理论表明这些方法收敛到线性系统的唯一的最小二乘解. 特别是当矩阵A的列接近线性相关时, 数值结果表明这些方法在求解性能方面比传统的 Gauss-Seidel 型方法更具优势.

本文考虑一个次扩散方程的反问题, 即根据某个时刻解在空间区域上的积分反向优化方程中的分数阶参数. 本文说明了当初值为0时, 以上问题可能有多个解. 基于时空有限元法, 我们提出了一个参数优化算法, 并利用离散Laplace变换技巧证明了该算法的全局收敛性. 另外针对球形区域, 利用-Δ算子的谱分解, 我们还提出了一个快速算法. 最后两个数值算例验证了算法的有效性.

本文通过引入一种新的增广变换, 发展了改进的偏牛顿校正算法, 建立并证明了一类四阶非线性偏微分方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系, 去掉了标准收敛假设, 使证明更简洁明了.分情况验证了该方程满足在 Nehari 子流形上全局分离定理的条件, 该分离定理为本文算法成功找到新解提供理论保障. 提出了二维非线性四阶偏微分方程 Dirichlet 边值问题的插值投影 Legendre-Galerkin 谱方法, 通过构造插值算子和投影算子, 对线性算子以及非线性项的处理进行了优化, 得到原问题的代数方程, 通过验证, 其与经典谱方法具有相同的条件数并都达到谱精度. 实验结果表明, 此方法与经典的谱方法或拟谱方法具有相同的收敛阶, 但计算所需CPU时间更少, 且能计算出更多的解.

针对二维椭圆型界面问题的离散化方程, 应用外推插值技巧和样条插值方法在细网格层上构造合适的迭代初始值, 加快V型多重网格法求解离散化系统的速度, 设计了外推完全多重网格(EXFMG)法. 数值实验表明新算法有效降低了迭代次数, 计算量更少.

本文在新的距离的框架下考虑 p-Laplace 方程的自适应有限元方法. 在文献[13]中作者考虑了2 ≤ p< ∞的情况, 给出了具有上界的后验误差估计.本文在此基础上发展了1 < p< ∞时具有上界和下界的后验误差估计. 数值实验验证了理论分析的结果.

描述芯片或电力系统运行规律的常用数学模型是高维微分代数方程组, 其中的微分方程组太大, 诸如线性多步法和Runge-Kutta(RK)法等经典数值方法均不能有效求解. 为求解这些微分方程组, 学者们提出了波形松弛(WR)方法. 多数情况下, 这些微分方程组是刚性的, 求解他们需要稳定性好的隐式方法, 尤其需要A-稳定的方法. 此外, RK方法是使用最广泛的常微分方程的数值方法. 然而, 迄今为止尚未发现RK型WR方法A-稳定的研究. 本文研究了RK型WR方法的A-稳定性, 获得了方法A-稳定的充分条件. 常见A-稳定的RK方法有Gauss-Legendre方法、Radau IA方法、Radau IIA方法、Lobatto IIIA方法、Lobatto IIIB 方法、Lobatto IIIC方法, 而且并非RK方法A-稳定, 相应的RK型WR方法也A-稳定. 在一个假设下, 本文所得结果说明当选择低阶Radau IA方法, 或Radau IIA方法, 或Lobatto IIIC方法为底层方法时, 存在分裂方式使得RK型WR方法是A-稳定的.

块Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种迭代算法.在每次迭代时,会将当前迭代点正交投影到约束子集的解空间.文章基于块Kaczmarz方法的原理,提出了高斯混合模型的随机块Kaczmarz方法(GMM-RBK (k)).其中块的划分是通过高斯混合模型进行划分的.为了避免伪逆的计算或者最小二乘问题的求解,提出了高斯混合模型的随机平均块Kaczmarz方法(GMM-RABK (k)).证明了当线性方程组是相容时,这两种算法是收敛的,并给出相应的收敛率公式.在最后的数值实验中也证实了GMM-RBK (k)方法和GMM-RABK (k)方法的有效性,且无伪逆GMM-RABK (k)方法要优于GMM-RBK (k)方法.

针对大规模垂直线性互补问题的求解,运用二步多分裂技术构建了二步模基矩阵同步多分裂并行迭代方法,新方法可以看成是已有文献中模基矩阵同步多分裂迭代法和二步模基矩阵分裂迭代法的推广.进一步地,在系统矩阵为$H_+$矩阵的假设下,给出算法收敛性分析,得到了参数矩阵的收敛域,推广了已有算法的收敛性结果.最后,在OpenMP框架下针对已有文献中的两个数值例子给出了数值试验,试验结果展示了二步多分裂技术能提升已有方法的计算效率.

一维非稳态渗流模型求解是试井研究的基础,这类模型目前解法分解析解法和数值解法两大类,解析解法主要通过拉普拉斯变换及数值反演完成,数值解法则主要依赖网格划分和方程离散.以动边界思想为基础,本文提出了一维非稳态渗流模型第三类解法——非线性方程迭代解法,基于稳态依次替换法和质量守恒定律,视压力探测半径内区域渗流为稳态流动,将非稳态渗流方程转化为稳态方程,分析不同流动时间下探测半径变化规律,推导建立了不同外边界条件下探测半径的非线性控制方程,最后通过牛顿法求解非线性方程得到不同时刻井底压力,对比非线性方程迭代解与解析解显示计算误差较小,且主要是计算初期误差稍大.与传统的解析解法和数值解法相比,非线性方程迭代解法精度较高、算法简单,每个时间步仅需解一个非线性方程,显著减少了计算时间,可以在其他一维非稳态渗流问题中推广应用.

压缩感知(CS)是快速核磁共振成像(MRI)的一种有效的方法,该方法旨在从少量的欠采样数据空间中重建核磁共振图像,加速核磁共振成像中的数据采集.为了提高当前MRI图像的重建精度和速度,本文将传统的基于模型驱动的压缩感知恢复算法和数据驱动的深度学习方法相结合,提出了一种新的算法--ADMM-CNN.该算法将交替方向乘子法(ADMM)中的一个子问题用卷积神经网络进行求解,然后通过构造损失函数,利用梯度下降法优化ADMM中的惩罚参数和拉格朗日乘子的更新率,从而得到训练好的ADMM模型,能够有效地从压缩感知测量中恢复核磁共振图像信号.本文设计的算法与传统的重建算法相比,具有较少的正则化参数和更低的计算复杂度,同时,将一个训练好的卷积神经网络直接引入,极大简化了训练过程和计算量,并且利用GPU来进行加速训练.实验结果表明,与传统的重建算法和其他深度学习方法相比,ADMM-CNN拥有较快的计算速度和良好的重建精度.

双子空间投影算法和多步惯性随机Kaczmarz算法是求解相干线性方程组的有效算法,本文通过软阈值函数对这两种算法进行修正,提出了稀疏双子空间投影算法和稀疏多步惯性随机Kaczmarz算法,并给出其在有噪声干扰和无噪声干扰情况下在期望意义下的线性收敛率估计.通过数值实验验证本文所提算法的有效性和优越性.

本文提出一种基于积极集识别技术的临近牛顿算法用以求解$\ell_1$问题.该方法的一个优势在于利用了ISTA算法良好的支集辨认性质去确定自由变量和积极集变量,另一个优势在于利用了部分Hessian矩阵的信息去更新自由变量.在适当的条件下,我们证明了所提出的算法在使用非单调线搜索策略情况下是全局收敛的.数值实验证明提出的算法是有效的.

Gegenbauer加法定理是Bessel函数相关理论体系中一个重要的理论,在数学物理问题中有广泛的应用.本文在由Bessel函数和Neumann函数极限形式所导出的上界基础上,对Gegenbauer加法定理的截断误差上界进行了估计,得到了明确的误差界及其收敛阶.最后,通过数值实验验证了估计的有效性和精确性.

基于“数值算法应尽可能地保持原问题的本质特征”这一思想,本文利用复合构造方法为Zakharov系统构造了一个局部动量守恒算法.本文所提出格式的优点是它在任何时空区域都能够保持局部动量守恒和局部质量守恒,即不依赖于任何的边界条件.在合适的边界条件下,例如齐次边界条件和周期边界条件,所提出的算法也保持了全局的动量守恒和质量守恒.数值实验给出了算法的时空二阶收敛性,并且验证了该算法的长时间计算稳定性和不变量守恒性.